[隨機分析] Ito Integral 淺談 (III) - Localization

這次要介紹的是 Localization 的概念。

回憶之前我們所定義的 Ito Integral 都要求 我們的積分變數 $f \in \mathcal{H}^2$，亦即積分變數必須滿足如下 $L^2$ 可積性條件
\[
E \left[ \int_0^T f^2(\omega, t) dt \right] < \infty
\]
現在如果我們考慮如下 Ito Integral：
考慮 $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 為連續函數
\[
\int_0^t g(B_s)dB_s
\]則此 連續函數的積分變數 $g$ 並無法滿足我們的可積性條件 (WHY?)：比如說如果我們選擇
\[
g(B_t) :={e^{{B_t}^4}}
\]，為一個連續函數，但如果我們現在去觀察其期望值： (by Jensen's inequality)
\[
E[{e^{{B_t}^4}}] \ge {e^{E[{B_t}^4]}} = {e^{E[{B_t}^4]}} = {e^{3{t^2}}}
\]上式透過Jensen inequality告訴我們有明確的下界，但並無上界 (隨著 $t$ 變大，下界跟著exponetially 變大)，也就是說 $E[{e^{{B_t}^4}}] \rightarrow \infty$ 還沒開始積分就爆掉了。為了解決這個問題。 我們需要進一步拓展可積分的函數範圍，我們利用 Stopping time來巧妙的幫助我們拓展Ito Integral至更廣泛的函數 (EX: 連續函數)。

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Definition: $f \in L_{LOC}^2 [0,T]$ space
令函數 $f: \Omega \times [0,T] \rightarrow \mathbb{R}$ 為 measurable 與 adapted；若存在一組 非遞減 (nondecreasing) 停止時間(stopping time) 的 sequence
\[
\upsilon_1(\omega) \leq \upsilon _2(\omega) \leq ... \leq \upsilon_n(\omega) \leq ...
\] 使得 $f_n(\omega,t) := f(\omega,t) \cdot 1_{ \{ t \leq \upsilon_n(\omega) \} } \in \mathcal{H}^2[0,T]$ 且對足夠大的 $n$而言， $\upsilon_n(\omega) = T$ for almost every $\omega$；則我們說
\[
f \in L_{LOC}^2 [0,T]
 \]

Comments:
1. 上述定義中的 停止時間(stopping time) 的 sequence 稱作 Localizing sequence. 用來把增加的太快的函數用 stopping time 擋下來 使其仍然落在 $\mathcal{H}^2$ 之中。

2. 由 $f \in L_{LOC}^2$ 的定義，可知  $\mathcal{H}^2 \subset L_{LOC}^2$，故對任意連續函數 $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 而言，我們有 $f(\omega, t) = g(B_t)$，注意到標準布朗運動 $B_t$ 為連續函數，故 $g(B_t)$亦為連續函數。現在如果我們的 $ f(\omega,t) = g(B_t) \in L_{LOC}^2$，則有一組停止時間使得我們的積分變數都落在 $\mathcal{H}^2$又因為連續函數在compact domain必為有界，故我們可以推論對任意固定 $\omega$，函數 $t \mapsto g(B_t(\omega))$ 在閉區間 $[0, T]$ 為有界，亦即 $ f(\omega,t) = g(B_t) \in L_{LOC}^2$。積分變數為連續函數的 Ito Integral 亦可被定義。

3. 上述的定義適合用於拓展Ito積分到 $L_{LOC}^2$，但並不容易用來確認函數是否落在 $L_{LOC}^2$。故下面我們給出一個等價的定義結果：

Claim: $f \in L_{LOC}^2 \Leftrightarrow \int_0^T f(\omega,t)^2 dt < \infty$ for almost every $\omega$

Proof
先證 $ ( \Rightarrow )$
假設 $f \in L_{LOC}^2$，我們要證明 $\int_0^T f(\omega,t)^2 dt < \infty$ for almost every $\omega$

由定義 $f \in L_{LOC}^2 [0,T]$ space，可知 存在一組 非遞減 (nondecreasing) 停止時間(stopping time) 的 sequence
\[
\upsilon_1(\omega) \leq \upsilon _2(\omega) \leq ... \leq \upsilon_n(\omega) \leq ...
\] 使得 $f_n(\omega,t) = f(\omega,t) \cdot 1_{ \{ t \leq \upsilon_n(\omega) \} } \in \mathcal{H}^2[0,T]$
且對足夠大的 $n$而言， $\upsilon_n(\omega) = T$ for almost every $\omega$

我們首先利用 $f_n(\omega,t) \in \mathcal{H}^2$ 可知，
\[
E \left [ \int_0^T f^2_n(\omega,t) dt \right ] < \infty
\] 亦即
\[
\Rightarrow E \left [ \int_0^T f^2(\omega,t) \cdot 1_{ \{ t \leq \upsilon_n(\omega) \} } dt \right ] < \infty \ \ \ (*)
\] 注意到其實上式已經幾乎是我們要的，如果我們能證明期望值內部的積分是有限的。故我們定義一個事件為 " $f_n(\omega,t)$ 為平方可積分的事件"，亦即定義事件 $\Gamma_n$如下
\[
\Gamma_n := \left \{ \omega:  \int_0^T f^2_n(\omega,t) dt <\infty \right \}
\]
則機率 $P \{ \Gamma_n \} = 1$

現在，我們對$\Gamma_n$取交集，得到 $\Gamma  = \bigcap\limits_n {{\Gamma _n}} $，且 $P \{ \Gamma \} = 1$；

現在我們使用為尚未用上的 $f \in L_{LOC}^2 [0,T]$ space 定義：對足夠大的 $n$而言， $\upsilon_n(\omega) = T$ for almost every $\omega$，

故令 $\omega \in \Gamma$ 且 $n$ 足夠大。使得$\upsilon_n(\omega) = T$；則我們觀察式 $(*)$ 的等號右邊
\[
  \int_0^T f^2(\omega,t) \cdot 1_{ \{ t \leq \upsilon_n(\omega) \} } dt =  \int_0^T f^2(\omega,t) \cdot 1_{ \{ t \leq  T \} } dt <\infty
\]但是又注意因為上式 Indicator function 為 $1_{ \{ t \leq  T \}}$ 而積分範圍是從 $0$ 到 $T$，故此$1_{ \{ t \leq  T \}} =1$，亦即
\[
  \int_0^T f^2(\omega,t) \cdot 1_{ \{ t \leq  T \} } dt = \int_0^T f^2(\omega,t) dt  <\infty
\]
故得證 $(\Rightarrow)$

接著我們證明另一個方向 $(\Leftarrow)$：
假設  $\int_0^T f(\omega,t)^2 dt < \infty$ for almost every $\omega$，我們要證明  $f \in L_{LOC}^2$。

也就是要證明："存在一組 非遞減 (nondecreasing) 停止時間(stopping time) 的 sequence
\[
\upsilon_1(\omega) \leq \upsilon _2(\omega) \leq ... \leq \upsilon_n(\omega) \leq ...
\] 使得 $f_n(\omega,t) := f(\omega,t) \cdot 1_{ \{ t \leq \upsilon_n(\omega) \} } \in \mathcal{H}^2[0,T]$ 且對足夠大的 $n$而言， $\upsilon_n(\omega) = T$ for almost every $\omega$ "

故我們現在定義一組符合上述要求 停止時間的sequence
\[
\upsilon_n(\omega) := \inf \left \{ s \geq 0 : \int_0^s f(\omega, u)^2 du \geq n \ or \ s=T \right \}
\]由基本積分理論可知 $s \mapsto \int_0^s f(\omega, s)^s du$ 為一個連續函數，故我們有下列結果
\[
\int_0^{\upsilon_n(\omega)} f^2(\omega, u) du \leq n \Rightarrow \int_0^T f^2(\omega, u) \cdot 1_{ \{u \leq \upsilon_n(\omega)\}} du \leq n
\]第二式成立是因為對時間 $(du)$ 積分 (非對 $d B_u$積分的 隨機積分)。又因為上式為小於或等於 $n$ 故 我們對其取期望值
\[
E[ \int_0^T f^2(\omega, u) \cdot 1_{\{u \leq \upsilon_n(\omega)\}} du] \leq n < \infty
\]
亦即， $f(\omega,u) \cdot 1_{\{ u \leq \upsilon_n(\omega) \} } \in \mathcal{H}^2[0,T]$. 即為所求 $\square$

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延伸閱讀
[隨機分析] Ito Integral 淺談 (IV) - Ito Integral on L^2 Local space

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer