[隨機分析] Ito Integral 淺談 (IV) - Ito Integral on L^2 Local space and its Riemann Representation

延續 第三篇，
[隨機分析] Ito Integral 淺談 (III) - Localization

我們有了 Localizing sequence $\{ \upsilon_n \}$之後，便可以開始著手拓展 Ito Integral 到 $f \in L_{LOC}^2[0, T]$。亦即
\[
\int_0^t f(\omega,s) dB_s \ \ \text{for $f \in L_{LOC}^2[0,T]$}
\]
在定義上述Ito Integral之前，我們需要先介紹一個新的概念： Local Martingale

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Definition (Local Martingale)
考慮 $t \in [0,T]$，令 $M_t$ 為一個對 filtration $\{ \mathcal{F}_t\}$ adapted 的隨機過程，則我們說 $M_t$ 為一個 Local Martingale 若下列條件成立：

存在一組 停止時間 的sequence  $\upsilon_1(\omega) \leq \upsilon_2(\omega) \leq ... \leq \upsilon_n(\omega) \leq ...$ 使得對所有的 $n$，

\[ M_{t \wedge \upsilon_n(\omega)} - M_0 \] 為一個 Martingale， 且機率 $P\left( \bigcup\limits_n {\left\{ {\upsilon_n(\omega) = T} \right\}} \right) =1$

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Comment: 上述的一組停止時間的sequence 即為我們先前所介紹的 Localizing sequence。


有了 Local Martingale 在手之後，我們便可以開始著手拓展Ito Integral 到 $f \in L_{LOC}^2[0, T]$。

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Definition: (Construction of the Ito Integral for $f \in L_{LOC}^2$)
考慮對所有 $n$， $X_{n,t}$ 為連續時間的 Ito Integral。
\[
X_{n,t} := \int_0^t f(\omega, s) \cdot 1_{\{s \leq \upsilon_n(\omega)\}} dB_s(\omega)\] ，則存在一組連續的 Local Martingale 使得 對 almost every $\omega$而言，下列隨機過程
\[
X_t(\omega) = X_{n,t}(\omega), \ \text{ $\forall$ n s.t. $\upsilon_n(\omega) \geq t$ }
\]且隨機過程 $X_t(\omega)$ 與 Localizing sequence $\{ \upsilon_n \}$的選取無關，故定義 Ito Integral for $f \in L_{LOC}^2$ :
\[
X_t := \int_0^t f(\omega,s) dB_s
\]
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事實上此定義需要進一步證明，但這邊我們先假定此定義是well-defined。然後我們想要進一步討論以下這個重要結果。

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Theorem (Riemann Representation)：
令 $f \in \mathcal{C}(\mathbb{R})$ (即 $f$ 為連續實數函數)，且定義 Partition
\[
\Delta_n :=\{ 0 = t_0^n<...<t_n^n=T\}
\]，並 mesh $||\Delta_n|| \rightarrow 0$，則
\[
\int_0^T f(B_s) dB_s = \lim_{||\Delta_n|| \rightarrow 0} \sum_i f(B_{t_{i-1}})(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) \ \text{in Probability}
\]================
Proof:
我們要證明
\[
\int_0^T f(B_s) dB_s = \lim_{||\Delta_n|| \rightarrow 0} \sum_i f(B_{t_{i-1}})(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) \ \text{in Probability}
\]
注意到我們現在是落在 compact $[0,T]$，且 布朗運動 $B_t$ 為連續函數，故連續函數在compact domain必定有界。這暗示了$f(B_t)$ 在 $[0,T]$亦為有界。我們把此結果稱作 $(1)$。

有了這個資訊，我們便可先定義一組 停止時間的sequence
\[
\tau_M(\omega) := \inf \{ t \geq 0: |B_t| \geq M \ or \ t=T \}
\]則由結果$(1)$我們知道 $ f(B_t) \cdot 1_{\{ t \leq \tau_M(\omega)\}} \in \mathcal{H}^2[0,T]$ 且 對almost every $\omega$與足夠大的 $n$而言，$\tau_M(\omega) =T$。故此組 停止時間sequence localized $f(B_t(\omega))$，也就是說這組停止時間seqeunce讓 $f(B_t(\omega)) \in L_{LOC}^2[0,T]$。


有了上述結果之後，我們可以開始著手進一步的證明，首先由定理的假設我們引入一個新的函數 $f_M \in \mathcal{C}_c(\mathbb{R})$； ( 其中 $\mathcal{C}_c(\mathbb{R})$ 表連續，且 compactly supported on $\mathbb{R}$ 的space) 使得
\[
f_M(x) = f(x) \ \text{for $|x| \leq M$}
\]因此， $f_M$ 為有界函數(bounded)，故取平方積分後依然有界，故我們可推知 $f_M(B_t) \in \mathcal{H}^2[0,T]$，那麼對於此 $f_M$，我們便可應用先前的 $L^2$ space的結果。

對固定 $M$，我們可以計算對 $f_M$函數的 Ito Integral ： $\int_0^T f_M(B_s) dB_s$。

由於$f_M(B_t) \in \mathcal{H}^2[0,T]$， 回憶 Density LEMMA ( $\mathcal{H}_0^2$  $\text{is Dense in}$ $\mathcal{H}^2$) 可知，我們可以找到一組 approximating sequence $\phi_n \in \mathcal{H}_0^2$ 使得當 $n \rightarrow \infty$，
\[
||  \phi_n - f_M ||_{L^2{(dP \times dt)}} \rightarrow 0  \ \ \ \ (*)
\]因為$\phi_n \in \mathcal{H}_0^2$ ，我們令
\[
 \phi_n(\omega,s) = \sum_{i=1}^n f_M(B_{t_{i-1}}) \cdot 1_{\{ t_{i-1} < s \leq t_{i} \}}
\]
為了要檢驗此 $\{ \phi_n\}$ 為我們的approximating sequence to $f_M(B_t)$，故我們由 $(*)$計算其 $L^2$ norm，
\[
\begin{array}{l}
||{\phi _n}\left( {\omega ,s} \right) - {f_M}\left( {{B_s}} \right)|{|_{{L^2}(dP \times dt)}}= E\left[ {\int_0^T {{{\left( {{\phi _n}\left( {\omega ,s} \right) - {f_M}\left( {{B_s}} \right)} \right)}^2}ds} } \right]\\

 = E\left[ {\int_0^T {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{f_M}} ({B_{{t_{i - 1}}}}) \cdot {1_{\{ {t_{i - 1}} < s \le {t_i}\} }} - {f_M}\left( {{B_s}} \right)} \right)}^2}ds} } \right]\\

 = E\left[ {\int_0^T {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{f_M}({B_{{t_{i - 1}}}}) - {f_M}\left( {{B_s}} \right)} \right)}  \cdot {1_{\{ {t_{i - 1}} < s \le {t_i}\} }}} \right)}^2}ds} } \right]\\

 = E\left[ {\int_0^T {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{f_M}({B_{{t_{i - 1}}}}) - {f_M}\left( {{B_s}} \right)} \right)}^2}}  \cdot {1_{\{ {t_{i - 1}} < s \le {t_i}\} }}ds} } \right]\\

 = \int_{{t_{i - 1}}}^{{t_i}} {\sum\limits_{i = 1}^n {E{{\left( {{f_M}({B_{{t_{i - 1}}}}) - {f_M}\left( {{B_s}} \right)} \right)}^2}} ds} \\

 \le \int_{{t_{i - 1}}}^{{t_i}} {ds} \sum\limits_{i = 1}^n {E\left( {\mathop {\sup }\limits_{\{ s:{t_{i - 1}} < s \le {t_i}\} } {{\left( {{f_M}({B_{{t_{i - 1}}}}) - {f_M}\left( {{B_s}} \right)} \right)}^2}} \right)} \\

 = (t_i  - t_{i-1}) \sum\limits_{i = 1}^n {E\left[ {\mathop {\sup }\limits_{\{ s:{t_{i - 1}} < s \le {t_i}\} } {{\left( {{f_M}({B_{{t_{i - 1}}}}) - {f_M}\left( {{B_s}} \right)} \right)}^2}} \right]}
\end{array}
\ \ \ \ (\star)\]
注意到，如果我們定義
\[
\mu(h) := \sup \{ | f_M(x) - f_M(y)|: |x-y| \leq h\}
\]則由於 $f_M$為落在Compact domain的連續函數，故其必定有界；亦即存在一個夠大的常數$B$使得
\[
\mu(h) \leq B
\]且由連續性可知，當 $h \rightarrow 0 \Rightarrow \mu(h) \rightarrow 0$

故如果我們現在定義
\[
M_i := {\displaystyle \mathop {\sup }\limits_{\{ s:{t_{i - 1}} < s \le {t_i}\} } {{ |  {({B_{{t_{i - 1}}}}) - \left( {{B_s}} \right)}} |}}
\]由上述定義，我們可推知 $(\star)$ 有如下關係：
\[
  (t_i  - t_{i-1}) \sum\limits_{i = 1}^n {E\left[ {\mathop {\sup }\limits_{\{ s:{t_{i - 1}} < s \le {t_i}\} } {{\left( {{f_M}({B_{{t_{i - 1}}}}) - {f_M}\left( {{B_s}} \right)} \right)}^2}} \right]}
\leq E[\mu^2(M_i))] \\
\]
其中 $ \mu^2(M_i)  \leq B \cdot \mu(M_i) \rightarrow 0  \text{as $n \rightarrow \infty$}$
故由 Dominated Convergence theorem，可知當 $n \rightarrow \infty$，我們有
\[
  (t_i  - t_{i-1}) \sum\limits_{i = 1}^n {E\left[ {\mathop {\sup }\limits_{\{ s:{t_{i - 1}} < s \le {t_i}\} } {{\left( {{f_M}({B_{{t_{i - 1}}}}) - {f_M}\left( {{B_s}} \right)} \right)}^2}} \right]}
\leq E[\mu^2(M_i))] \rightarrow 0
\]
故 $\{ \phi_n\}$ 為我們的approximating sequence to $f_M(B_t)$。

故我們現在可以計算 $\phi_n$對應的 Ito Integral
\[
I(\phi_n) = \sum_i f_M(B_{t_{i-1}})(B_{t_i} - B_{t_{i-1}})
\]且由 Ito Isometry，我們知道 $I(\phi_n) \rightarrow I(f_M)$ in $L^2(dP)$，故我們有了對 $f_M$的Riemann Representation
\[
 I(f_M) = \int_0^T f_M(B_s) dB_s = \lim_{||\Delta_n|| \rightarrow 0} \sum_i f_M(B_{t_{i-1}})(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}). \ \ (**)
\]

但注意到上式是對 $f_M$，我們想要定義的是 $f$，故現在我們可以開始證明convergence in probability。

首先觀察 $f$ 與  $f_M$ 的兩者間的關係如下：
對所有的 $\omega \in \{ \omega: \tau_M(\omega) =T \}$，我們有 $f(B_{t_i}) = f_M(B_{t_i}) \ \forall \ 0 \leq i \leq n$，故考慮 事件 $\{ \tau_M(\omega) = T\}$，則有如下結果
\[
\int_0^T f(B_s) dB_s = \int_0^T f(B_s) \cdot 1_{\{s \leq \tau_M(\omega) \}}dB_s
\]
定義下列事件 $A_n(\varepsilon )$
\[
A_n(\varepsilon ) := \left\{ {\omega :\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{B_{{t_{i - 1}}}}} \right)\left( {{B_{{t_i}}} - {B_{{t_{i - 1}}}}} \right)}  - \int_0^T {f\left( {{B_s}} \right)d{B_s}} } \right| \ge \varepsilon } \right\}
\]
故現在我們需要證明的是 對所有的 $\varepsilon >0 $，當$n \rightarrow \infty$，上述事件 $A_n(\varepsilon )$發生的機率為0

我們首先將事件 $A_n(\varepsilon )$ 分成兩部分：
\[P\left( {\left\{ {{A_n}\left( \varepsilon  \right) \cap \left\{ {{\tau _M}\left( \omega  \right) < T} \right\}} \right\}} \right) + P\left( {\left\{ {{A_n}\left( \varepsilon  \right) \cap \left\{ {{\tau _M}\left( \omega  \right) = T} \right\}} \right\}} \right)\]當 $M$夠大的時候，第一項 $P\left( {\left\{ {{A_n}\left( \varepsilon  \right) \cap \left\{ {{\tau _M}\left( \omega  \right) < T} \right\}} \right\}} \right) \leq  P\left( {\left\{ {{\tau _M}\left( \omega  \right) < T} \right\}} \right) \rightarrow 0$

現在注意第二項，利用 Chebyshev's inequality，我們可以得到下面關係：
\[\begin{array}{l}
P\left( {\left\{ {{A_n}\left( \varepsilon  \right) \cap \left\{ {{\tau _M}\left( \omega  \right) = T} \right\}} \right\}} \right)\\

 \le P\left( {\left\{ {\omega :\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {{f_M}\left( {{B_{{t_{i - 1}}}}} \right)\left( {{B_{{t_i}}} - {B_{{t_{i - 1}}}}} \right)}  - \int_0^T {{f_M}\left( {{B_s}} \right)d{B_s}} } \right| \ge \varepsilon } \right\}} \right)\\
 \le \frac{1}{{{\varepsilon ^2}}}E\left[ {{{\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {{f_M}\left( {{B_{{t_{i - 1}}}}} \right)\left( {{B_{{t_i}}} - {B_{{t_{i - 1}}}}} \right)}  - \int_0^T {{f_M}\left( {{B_s}} \right)d{B_s}} } \right|}^2}} \right] \rightarrow 0
\end{array}\]
最後式成立是來自之前 Rimenn Representation $ (**)$ 的結果。故我們得到
\[
\int_0^T f(B_s) dB_s = \lim_{||\Delta_n|| \rightarrow 0} \sum_i f(B_{t_{i-1}})(B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) \ \text{in Probability}
\]至此證明完畢。 $\square$

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer