[隨機分析] Ito Integral 淺談 (V) - Ito Integral on L^2 Local space and the connection with Gaussian process

這次要介紹的是 Ito integral on L^2 Local space 的另外一個重要結果：

如果我們考慮 積分變數 $f$ 不再是隨機過程，亦即 $f$ 為一非隨機函數, e.g., $f(t)$ (不再是 $f(t,\omega)$)，則對此函數的 Ito integral：
\[
 \int_0^t f(s) dB_s
\]為一個 Gaussian Process with zero mean 與 variance $\int_0^t f(s)^2 ds$。我們將此結果計做以下定理

Theorem (Nonrandom integrand of Ito integral yields a Gaussian process)
若 $f \in \mathcal{C}[0,T]$ 為非隨機 連續函數，則由 Ito integral 所定義的 隨機過程 $X_t$
\[
X_t := \int_0^t f(s) dB_s \ , \ t \in [0,T]
\]為 mean zero Gaussian process 且有互相獨立增量與 covariance function
\[
Cov(X_s,S_t) = \int_0^{s \wedge t} f^2(u) du
\]除此之外，如果我們取在 $[0,T]$  上 Partition 定義如下
\[
t_i := iT/n, \ 0 \leq i \leq n
\] ，且選擇 $t_i^*$ 滿足 $t_{i-1} \leq t_i^* \leq t_i \ , \forall 1 \leq i \leq n$，則我們有 Riemann Representation 如下:
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(t_i^*) (B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) = \int_0^T f(s) dB_s
\]其中上述 Limit 表 convergence in probability.

Proof
此處的 Riemann Representation proof 可視為 之前 我們討論過的 對隨機函數 $f(B_s)$ 的 Riemann Representation 的特例， 詳細證明請參閱之前文章
[隨機分析] Ito Integral 淺談 (IV) - Ito Integral on L^2 Local space and its Riemann Representation

我們只需證明第一部分：
首先證明 $X_t$ 由獨立增量 (independent increments)。

由 Riemann Representation，我們可知
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f(t_i^*) (B_{t_i} - B_{t_{i-1}}) = \int_0^T f(s) dB_s
\]因為 $B_{t_i}$ 為標準布朗運動，故由標準布朗運動定義可知 對 $0 \leq i \leq n$$B_{t_i} - B_{t_{i-1}}$ 為獨立增量，$X_t$ 確實具有獨立增量，且標準布朗運動可視為 Gaussian Process，故 $X_t$ 亦為 Gaussian Process。

再者由 Riemann Representation 我們可計算其 mean
\[
E[X_t] = 0
\] 與 Variance  (利用 Ito Isometry)
\[
Var[X_t] = E \left[ \left( \int_0^t f(s) dB_s \right )^2 \right ] = \int_0^t f(s)^2 ds
\] 上式可用 Ito isometry 是因為積分變數為 $f \in \mathcal{C} \Rightarrow f \in L_{LOC}^2 [0,T]$，故為平方可積。Ito isometry 可以使用!。

最後，Covariance function 可由上述 Variance formula 與 獨立增量求得。 $\square$

對於非隨機積分變數的 Ito Integral 為 Gaussian Process 這點可以很大的程度上幫助我們計算 distribution。下面我們看幾個定理的應用：

Example 1
試求一確定 (deterministic) 函數 $\tau : [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ 使得
\[
X_t = \int_0^t e^s dB_s \ \ \text{and} \ \ Y_t = B_{\tau(t)}
\]具有相同的 distribution。 Hint: 使用上述定理。

Proof
首先觀察 $X_t = \int_0^t e^s dB_s$，由於 積分變數 $e^s$ 為確定 (非隨機) 函數，故由上述定理可知，$X_t$ 為 Gaussian process with zero mean 與 covariance： 對 $s<t$
\[
Cov(X_t,X_s) = \int_0^s e^{2u} du =\frac{1}{2}\left( {{e^{2s}} - 1} \right)
\]
現在回頭觀察 $Y_t= B_{\tau(t)}$ ，由於其為標準布朗運動，故亦為 Gaussian process with zero mean，且其 Covariance ： 對 $s<t$

\[\begin{array}{l}
Cov\left( {{Y_t},{Y_s}} \right) = Cov\left( {{B_{\tau (t)}},{B_{\tau (s)}}} \right) = E\left[ {{B_{\tau (t)}}{B_{\tau (s)}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{\rm{ = }}
\end{array}E\left[ {\left( {\left( {{B_{\tau (t)}} - {B_{\tau (s)}}} \right) + {B_{\tau (s)}}} \right){B_{\tau (s)}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{\rm{ = }}
\end{array}E\left[ {\left( {{B_{\tau (t)}} - {B_{\tau (s)}}} \right){B_{\tau (s)}}} \right] + E\left[ {{B_{\tau (s)}}{B_{\tau (s)}}} \right]\\
by\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}independence\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{{\rm{ = }}E\left[ {{B_{\tau (t)}} - {B_{\tau (s)}}} \right]}
\end{array}E\left[ {{B_{\tau (s)}}} \right] + E\left[ {{B_{\tau (s)}}{B_{\tau (s)}}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{\rm{ = }}
\end{array}\tau (s)
\end{array}
\] 由於 Gaussian process 完全由 mean function 與 covariance function 決定，故令
\[
\tau (s)=\frac{1}{2}\left( {{e^{2s}} - 1} \right)
\]則 $X_t$ 與 $Y_t$ 的 即有相同 distribution 。

Example 2
令 $f \in L^1 [0,T]$ 且 $B_t$ 為在機率空間 $(\Omega, \cal{F}, P)$ Standard Brownian Motion。現在定義
\[
Y_f(\omega) = \int_0^T f(s) B_s ds
\] (a) 試求此積分

(b) 基於結果 (a)，現在對任意兩函數 $f, g \in L^1[0,T]$，試求其 Joint distribution of
\[ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{Y_f}}\\
{{Y_g}}
\end{array}} \right]\]

Comment: 此積分 $Y_f(\omega) = \int_0^T f(s) B_s ds$ 結果為 random variable ，因為是積分到 "固定"大 $T$ (而非任意時刻 $t$)，另外此積分不是 Ito Integral 因為其為對 $ds$ 積分。

Proof
利用積分形式的 Integration by part
\[\begin{array}{l}
d\left( {{U_t}{V_t}} \right) = {U_t}d{V_t} + {V_t}d{U_t} + d\left\langle {{U_t},{V_t}} \right\rangle \\
 \Rightarrow {U_t}{V_t} - {U_0}{V_0} = \int_0^t {{U_s}d{V_s}}  + \int_0^t {{V_s}d{U_s}}  + \left\langle {{U_t},{V_t}} \right\rangle
\end{array}
\]選 $U_t := f(t), V_t := B_t$，則我們有
\[\begin{array}{l}
F\left( t \right){B_t} = \int_0^t {F\left( s \right)d{B_s}}  + \int_0^t {{B_s}dF\left( s \right)}  + 0\\
 \Rightarrow F\left( t \right){B_t} = \int_0^t {F\left( s \right)d{B_t}}  + \int_0^t {{B_t}f\left( s \right)ds} \\
 \Rightarrow \int_0^t {{B_s}f\left( s \right)ds}  = F\left( t \right){B_t} - \int_0^t {F\left( s \right)d{B_t}}
\end{array}
\]注意到 $F\left( t \right){B_t} = F\left( t \right)\int_0^t {d{B_s}}  = \int_0^t {F\left( t \right)d{B_s}}$，故我們可以改寫上面的結果:
\[\begin{array}{l}
\int_0^t {f\left( s \right){B_s}ds}  = F\left( t \right){B_t} - \int_0^t {F\left( s \right)d{B_t}} \\
 \Rightarrow \int_0^t {f\left( s \right){B_s}ds}  = \int_0^t {\left[ {F\left( t \right) - F\left( s \right)} \right]d{B_s}}  = \int_0^t {\left[ {\int_s^t {f\left( u \right)du} } \right]d{B_s}}
\end{array}\]故
\[
\int_0^T {f\left( s \right){B_s}ds}  = \int_0^T {\left[ {\int_s^T {f\left( u \right)du} } \right]d{B_s}}
\] 且由於積分變數 ${\int_s^T {f\left( u \right)du} }$ 為非隨機。故由 上述定理可知其為 Gaussian random variable (因為 $T$ fixed，積分不在是 stochastic process，而是一個 random variable) with zero mean 且 Variance 為
\[
\int_0^T {{{\left[ {\int_s^T {f\left( u \right)du} } \right]}^2}ds}
\]亦即
\[\int_0^T {f\left( s \right){B_s}ds} \sim \mathcal{N}(0, \int_0^T {{{\left[ {\int_s^T {f\left( u \right)du} } \right]}^2}ds})
\]

由 Gaussian random variable 定義可知：若
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
X\\
Y
\end{array}} \right]
\] 為 normal 若且為若 (if and only if) 對所有的 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $\alpha X + \beta Y $為 Normal；且若 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
X\\
Y
\end{array}} \right]
$ 為 mean zero，則我們有
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
X\\
Y
\end{array}} \right]{{\sim}}\left( {{\rm{0}},\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sigma _X^2}&{{\mathop{\rm cov}} \left( {X,Y} \right)}\\
{{\mathop{\rm cov}} \left( {Y,X} \right)}&{\sigma _Y^2}
\end{array}} \right]} \right)
\]則應用 part(a) 類似方法讀者可計算上述 Covariance 與 Variance 求得答案。

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer