[隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (0)

這次要介紹 Black-Scholes Model for European Call option，也就是對於一個 歐式選擇權 (European Call option) 該如何為其制定價格。

由於 選擇權 本身是衍生商品的一種，也就是其本身的價值是隨某個標的資產 (Underlying asset)做變動，故如何對於此種衍生商品的做出合理的定價 (這邊所謂的合理指的是無套利機會的定價 亦即 No-arbitrage price) 就顯得相當不容易，在這邊我們考慮的是歐式股票選擇權，故其標的資產為股票，故可以想見此 European Call option 的定價在最後必定跟 股價有關，此定價公式被稱作 Black-Scholes Formula。在這邊我們需要兩種數學工具來幫助我們求解 Black-Scholes Formula：機率論隨機分析中的隨機微分方程 SDE 與 偏微分方程 PDE 求解邊界值問題



我們首先定義 $S_t$ 為在時間 $t$ 時的股價，且 $\beta_t$ 為在時間 $t$ 的債卷價格
且我們選取下列的隨機微分方程 (SDE) 來描述我們的 股價 與 債卷價格：

股票價格 模型： $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t$
債卷價格 模型： $d \beta_t = r \beta_t dt$

其中 $r$ 為無風險利率(risk-free interest rate)，實務上多以 LIBOR 或者 Treasury bond 的利率作為 $r$。

注意到上式中，股價模型為幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)，債卷模型則是一個為連續複利的確定(非隨機)過程。(WHY? 注意到債卷模型為ODE，可直接求解)
$$\begin{array}{l} d{\beta _t} = r{\beta _t}dt \Rightarrow \int_0^t {\frac{{d{\beta _t}}}{{{\beta _t}}}}  = \int_0^t {rds} \\  \Rightarrow \ln {\beta _t} - \ln {\beta _0} = rt\\  \Rightarrow {\beta _t} = {\beta _0}{e^{rt}} \end{array}$$ 上述的解 $\beta_t$ 即為連續複利 在時間 $t$ 時的 債卷價格

現在，我們考慮執行價格為 $K$ 的 European Call option，且到期時間為 $T$，則在到期時的收益必須滿足
$$h(S_T) = \max\{S_T - K, 0 \} = (S_T - K)_+$$
基本上我們想法就是要建構一組投資組合(portfolio)使得我們的組合可以複製上述的European Call option 的到期收益 $h(S_T)$，且在到期之前不會收到/賠掉 任何資金 (維持淨現金流為零)，但因為我們的股價與債卷模型都是連續時間隨機過程，故此投資組合必須隨時間不斷動態調整。

現在我們來看看該如何建構這樣的一組投資組合，
首先考慮
$a_t$ 為 在時間 $t$ 時，用來建構此組投資組合所需的 股票數量
$b_t$ 為 在時間 $t$ 時，用來建構此組投資組合所需的 債卷數量
則我們的投資組合在時間 $t$ 時的價值 $V_t$ 即為
$$V_t = a_t S_t + b_t \beta_t$$ 且此投資組合必須複製我們的European Call option 在到期時後的收益，故我們有一個terminal constraint
$$V_T = h(S_T) = (S_T - K)_+$$ 且投資組合在到期之前必須維持淨現金流為零 (no cash flow ! 透過 dynamic hedging 不斷買/賣 股票與債卷維持 no cash flow)，此條件可視為在到期之前我們不斷地在進行自我融資 (self-financing)，此條件可用隨機微分方程來表示：稱作 Self-financing condition
$$dV_t = a_t dS_t + b_t d\beta_t$$ 此條件加入了對於我們股票數量 $a_t$ 與 債卷數量 $b_t$ 上的限制，由上述的 terminal constraint 與 self-financing condition 我們可以求解 $a_t$ 與 $b_t$

現在注意到如果我們的投資組合的價值 $V_t$ 為時間 $t$ 與 股價 $S_t$ 的函數，可將其寫作
$$V_t = f(t, S_t)$$ 則由 Ito-formula，我們有
$$\begin{array}{l} d{V_t} = {f_t}(t,{S_t})dt + {f_x}(t,{S_t})d{S_t} + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t})d{\left\langle S \right\rangle _t}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = {f_t}(t,{S_t})dt + {f_x}(t,{S_t})\left( {\mu {S_t}dt + \sigma {S_t}d{B_t}} \right) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2dt\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \left[ {{f_t}(t,{S_t}) + {f_x}(t,{S_t})\mu {S_t} + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2} \right]dt + \sigma {S_t}{f_x}(t,{S_t})d{B_t} \end{array}$$ 但是我們由 Self-financing condition 可知
$$\begin{array}{l} d{V_t} = {a_t}d{S_t} + {b_t}d{\beta _t}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = {a_t}\left( {\mu {S_t}dt + \sigma {S_t}d{B_t}} \right) + {b_t}\left( {r{\beta _t}dt} \right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \left( {{a_t}\mu {S_t} + {b_t}r{\beta _t}} \right)dt + {a_t}\sigma {S_t}d{B_t} \end{array}$$ 由 Ito formula 所求得的 $dV_t$ 必與上式相等，故比較係數可得 $a_t$ 與 $b_t$
$$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sigma {S_t}{f_x}(t,{S_t}) = {a_t}\sigma {S_t}\\ {f_t}(t,{S_t}) + {f_x}(t,{S_t})\mu {S_t} + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2 = {a_t}\mu {S_t} + {b_t}r{\beta _t} \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_t} = {f_x}(t,{S_t})\\ {b_t} = \frac{1}{{r{\beta _t}}}\left[ {{f_t}(t,{S_t}) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2} \right] \end{array} \right. \end{array}$$ 再者，由於我們的投資組合的價值 $V_t = f(t, S_t)$ (由Ito-formula) 且 $V_t = a_t S_t + b_t \beta_t$ (由 $V_t$ 定義)，故此兩者亦相等，我們得到
$$\begin{array}{l} {V_t} = {a_t}{S_t} + {b_t}{\beta _t} = f(t,{S_t})\\  \Rightarrow f(t,{S_t}) = {f_x}(t,{S_t}){S_t} + \frac{1}{{r{\beta _t}}}\left[ {{f_t}(t,{S_t}) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2} \right]{\beta _t}\\  \Rightarrow f(t,{S_t}) = {f_x}(t,{S_t}){S_t} + \frac{1}{r}\left[ {{f_t}(t,{S_t}) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2} \right]\\  \Rightarrow rf(t,{S_t}) = r{f_x}(t,{S_t}){S_t} + {f_t}(t,{S_t}) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2 \end{array}$$ 現在如果我們把 $S_t$ 用 $x$ 取代，則我們得到 Black-Scholes PDE:
$$rf(t,x) = {f_t}(t,x) + rx{f_x}(t,x) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,x){\sigma ^2}{x^2}$$ 且有終端邊界條件 $f(T,x) = h(x), \ \forall x \in \mathbb{R}$

如果我們對 Black-Scholes PDE + 上述的終端邊界條件 求解 (借助PDE的 Diffusion equaiton)，即會得到大名鼎鼎的 Black-Scholes Formula。亦即 European call option 在 時間 $t$ 時候的價格 $C_t = f(t,x)$ 可由下式求得
$${\small C_t = S \Phi \left( \frac{\ln(S/K) + (r+\frac{1}{2} \sigma^2) \tau }{\sigma \sqrt{\tau}}\right) - K e^{-r \tau} \Phi \left( \frac{\ln(S/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau }{\sigma \sqrt{\tau}}\right)}$$ 其中 $S$ 為當前股價，$T$ 為到期時間，$K$ 為執行價格，，$r$ 為無風險利率， $\sigma$ 為股價波動度，$\Phi(\cdot)$ 為 Standard normal cdf，$\tau$ 為到期之前的 剩餘時間，亦即 $\tau = T-t$

延伸閱讀
[隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (1)

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer