[衍生商品] 常見的選擇權交易策略(1) - Asymmetric Butterfly Spreads

這次要介紹的是如何透過使用Call option 建構非對稱蝶式交易策略 ( Asymmetric Butterfly Spread)。
現在假設三個不同的執行價格滿足 $0<K_1 < K_2 < K_3$, 那麼 asymmetric butterfly spread 可以透過購買 $x$ 個 執行價格為 $K_1$ 的 call option ，與賣出 $y$ 個執行價格為 $K_2$ 的 call options，接著再購入 $y-x$ 個執行價格為 $K_3$ 的 call options at $K_3$ 建構而成

現在如果我們考慮透過上述方法建構而得的 asymmetric Butterfly Spread 其最大的 payoff 為 $h$ ，則我們可以繪製其對應的 payoff 如下圖所示

現在利用簡單的幾何關係 ( $x$ 與 $x-y$ 分別上圖的斜率)
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{h - 0}}{{{K_2} - {K_1}}}\\
x - y = \frac{{0 - h}}{{{K_3} - {K_2}}}
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{{K_3} - {K_2}}}{{{K_3} - {K_1}}}y
\] 亦即，Asymmetric Butterfly Spread 必須滿足上述條件，且我們即可使用 前述的方法建構 我們的Asymmetric Butterfly Spread 交易策略：

1. 購買 $x$ 個 執行價格為 $K_1$ call option ，
2. 賣出 $y$ 個執行價格為 $K_2$ 的 call options，
3. 再購入 $y-x$ 個執行價格為 $K_3$的 call options at $K_3$

Comments:
上述 $x, y$ 須為整數。


另外我們來看個 Claim：
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Claim: (Equivalent Cost of Symmetric Butterfly Spread )

令 執行價格為 $K_1 < K_2 < K_3$ 且 ${K_2} = \frac{{{K_3} + {K_1}}}{2} $，則透過 Call option 建構的 Butterfly Spread 所需的花費等同於 Put option 所建構的 Butterfly Spread。
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Proof
考慮透過 Call option 來建構 Butterfly Spread：
則我們知道需要 Long one call at $K_1$, Short two call at $K_2$, Long one call at $K_3$

現在令
$C_1$ 為 at $K_1$ call option price，$C_2$ 為 at $K_2$ call option price，$C_3$ 為 at $K_3$ call option price；

$P_1$ 為 at $K_1$ Put option price，$P_2$ 為 at $K_2$ Put option price，$P_3$ 為 at $K_3$ Put option price；

故透過 Call option 建構 Butterfly spread 所需的花費為
\[
- C_1^{} + 2C_2^{} - C_3^{}
\] 我們要證明其花費等同於
\[
- P_1^{} + 2P_2^{} - P_3^{}
\]
現在利用 Put-Call Parity  $C - P = {S_0}{e^{ - qT}} - {K}{e^{ - rT}}$

我們可知對應 $C_1, C_2, C_3$ 的 Put Call parity為
\[\left\{ \begin{array}{l}
C_1^{} - {P_1} = {S_0}{e^{ - qT}} - {K_1}{e^{ - rT}}\\
C_2^{} - {P_2} = {S_0}{e^{ - qT}} - {K_2}{e^{ - rT}}\\
C_3^{} - {P_3} = {S_0}{e^{ - qT}} - {K_3}{e^{ - rT}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
C_1^{} = {P_1} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_1}{e^{ - rT}}\\
C_2^{} = {P_2} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_2}{e^{ - rT}}\\
C_3^{} = {P_3} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_3}{e^{ - rT}}
\end{array} \right.
\] 計算
\[
\small{\begin{array}{l}
 \Rightarrow  - C_1^{} + 2C_2^{} - C_3^{} =  - \left( {{P_1} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_1}{e^{ - rT}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} + 2\left( {{P_2} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_2}{e^{ - rT}}} \right) - \left( {{P_3} + {S_0}{e^{ - qT}} - {K_3}{e^{ - rT}}} \right)\\
 \Rightarrow  - C_1^{} + 2C_2^{} - C_3^{} =  - {P_1} + 2{P_2} - {P_3} + {K_1}{e^{ - rT}} - 2{K_2}{e^{ - rT}} + {K_3}{e^{ - rT}}
\end{array}
}\]現在利用 Claim 的假設 ${K_2} = \frac{{{K_3} + {K_1}}}{2}$ 將其代入上式可得
\[ \Rightarrow  - C_1^{} + 2C_2^{} - C_3^{} =  - {P_1} + 2{P_2} - {P_3}
\] 即為所求 $\square$