現在我們可以將 One step Tree拓展到 Two steps 的情況。
在前篇文章我們有提過，事實上如果把二項樹的step拓展到 無窮大，則Binomial pricing會收斂成為 Black-Scholes formula。
我們手上現在有兩種方法 (此兩種方法等價)來對選擇權進行定價：
1. Binomial Pricing：
2. Risk-Neutral Pricing：風險中性機率 $P$ 再任意二項樹的步都是定值 (因為投資人對風險漠不關心，故股票上漲或下跌對投資人來說沒有影響。故 $P$ 值不變).
先給個例子看看兩步的二項樹是怎麼回事：
Example
現在考慮一個 兩步的二項樹：
今日股價 $S_0 =20$，下圖二項樹的每一步中股價上漲 或者下跌 $10 \%$，假設二項樹中每一步長度$h$為3個月 $h=3/12$ (亦即兩步為 6個月 $T=6/12$)，無風險利率 $r =12 \%$ p. a. (連續複利)，考慮 執行價格為 $K=21$ 的 歐式 看漲選擇權 ( European Call option) 。
我們這邊使用 風險中性定價法求解 $f$：關於風險中性定價有興趣的讀者請參考
[衍生商品] 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing)
步驟如下：
1. 首先求解 (二項樹中 任意一步的) 風險中性機率 $P$：
其中 $r =0.12, h=3/12, u=1.1, d=0.9$，可解得
\[
P = \frac{{{e^{r h}} - d}}{{u - d}} =0.6523
\]
2. 接著我們可以計算各節點的 看漲選擇權 價格：
首先計算 到期時 at expiration $T$ (6個月) 的 看漲選擇權 價格
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_{uu}} = \max \{ {S_T} - K,0\} = \max \{ 24.2 - 21,0\} = 3.2\\
{f_{ud}} = \max \{ {S_T} - K,0\} = \max \{ 19.8 - 21,0\} = 0\\
{f_{dd}} = \max \{ {S_T} - K,0\} = \max \{ 16.2 - 21,0\} = 0
\end{array} \right.
\]接著再計算中間節點的 看漲選擇權價格 (3個月 $h=3/12$)
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_u} = \left( {P{f_{uu}} + \left( {1 - P} \right){f_{du}}} \right){e^{ - rh}} = \left( {0.6523\left( {3.2} \right) + 0} \right){e^{ - 12\% \left( {3/12} \right)}} = 2.0257\\
{f_d} = \left( {P{f_{du}} + \left( {1 - P} \right){f_{dd}}} \right){e^{ - rh}} = \left( {0 + 0} \right){e^{ - 12\% \left( {3/12} \right)}} = 0
\end{array} \right.
\]最後在計算 $f$
\[f = \left( {P{f_u} + \left( {1 - P} \right){f_d}} \right){e^{ - rh}} = \left( {0.6523\left( {2.0257} \right) + 0} \right){e^{ - 12\% \left( {3/12} \right)}} = 1.2823
\] $\square$
============
那麼現在產生一個簡單的問題，如果是上述例子變成 美式選擇權(American option) 我們可以進行估價嗎?
答案是肯定的。
那麼該怎麼做呢?
Idea: 美式選擇權與歐式選擇權最大差別在於美式選擇權可以在到期時間之前都可以被執行。故我們首先計算歐式選擇權的價格，再逐點討論是否要提早執行該選擇權。
現在回頭再看看剛剛我們解完的 歐式看漲選擇權 的例子：
現在我們逐點討論是否要提早執行該選擇權。
NOTE:
在解題之前我們先注意到一個common sense：
美式 看漲選擇權 在股票未配發股息 的情況之下，永遠都不應該提早執行 (WHY!?)，
因為如果立刻執行我們會得到 $S - K$，但是如果我們不選擇立刻執行而是把美式選擇權賣出，由於美式選擇權可以在到期之前隨時執行，故其價格會比歐式選擇權 要來的高，則我們會得到選擇權價格有如下關係：
\[
C_{american} \geq C_{european}
\]又由歐式看漲選擇權我們知道選擇權的價格具有下界 (內部價值 + 時間價值 $ max\{ S-K, 0\}$)：故我們知道歐式選擇權會有如下關係
\[ C_{european} \geq S-K
\]，故合併上式我們得到
\[
C_{american} \geq C_{european} \geq S-K
\]這說明了如果立刻執行只有得到下界 $S-K$，但我們如果賣出 美式看漲選擇權則可以得到 $C_{american}$，這說明了 看漲選擇權在未配發股息的情況永遠不該提早執行。以下分析可以作為一個驗證：
現在我們開始逐點討論，對上述例子而言，是否要提早執行 美式選擇權
注意到如果我們考慮 到期時 at expiration $T$，則我們的美式選擇權 $f_{uu}, f_{du}, f_{dd}$ 三點與歐式選擇權價格相同 (因為已經到期!)。
故我們只需討論 $f_u, f_d$ 以及 $f$ 是否需要提早執行。
首先檢驗 $f_u$ (亦即股票從 $20$ 上漲到 $22$的情況)，歐式選擇權計算的結果是 $f_u = 2.0257$，
現在如果是美式選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{S_{h=3month} - K, 0 \} = \max\{22 - 21, 0 \} =1$，可以發現 $f_u =2.0275 >1 $ 故不執行。
接著檢驗 $f_d$ (亦即股票從 $20$ 下跌到 $18$的情況)，歐式選擇權計算的結果是 $f_u = 0$，
現在如果是美式選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{S_{h=3month} - K \} = \max\{18 - 21, 0 \} =0$，可以發現 $f_u =0 = 0 $ 故不執行。
最後再檢驗 $f$ (亦即現在 )，歐式選擇權計算的結果是 $f = 1.2823$，
現在如果是美式選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{S_{h=0} - K \} = \max\{20 - 21, 0 \} =0$，可以發現 $f_u =0 = 0 $ 故不執行。
=====================
現在我們來看個 美式看跌選擇權的例子
Example
同上例，考慮一個 兩步的二項樹：
今日股價 $S_0 =20$，下圖二項樹的每一步中股價上漲 或者下跌 $10 \%$，假設二項樹中每一步長度$h$為3個月 $h=3/12$ (亦即兩步為 6個月 $T=6/12$)，無風險利率 $r =12 \%$ p. a. (連續複利)，考慮 執行價格為 $K=21$ 的 美式 看跌選擇權 ( American Put option) 。
我們這邊使用 風險中性定價法求解 $f$：同樣的第一步先求解 歐式看跌選擇權在做逐步討論
步驟如下：
1. 首先求解 (二項樹中 任意一步的) 風險中性機率 $P$：
其中 $r =0.12, h=3/12, u=1.1, d=0.9$，可解得
\[
P = \frac{{{e^{r h}} - d}}{{u - d}} =0.6523
\]
2. 接著我們可以計算各節點的 看跌選擇權 價格：
首先計算 到期時 at expiration $T$ (6個月) 的 看跌選擇權 價格
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_{uu}} = \max \{ K - S_T,0\} = \max \{ 21-24.2 ,0\} = 0\\
{f_{ud}} = \max \{ K - S_,0\} = \max \{21 - 19.8,0\} = 1.2\\
{f_{dd}} = \max \{ K - S_,0\} = \max \{ 21-16.2,0\} = 4.8
\end{array} \right.
\]接著再計算中間節點的 看跌選擇權價格 (3個月 $h=3/12$)
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_u} = \left( {P{f_{uu}} + \left( {1 - P} \right){f_{du}}} \right){e^{ - rh}} = 0.4049\\
{f_d} = \left( {P{f_{du}} + \left( {1 - P} \right){f_{dd}}} \right){e^{ - rh}} = 2.3793
\end{array} \right.
\]最後在計算 $f$
\[f = \left( {P{f_u} + \left( {1 - P} \right){f_d}} \right){e^{ - rh}} = 1.0591 \ \ \ \ \square
\]
故我們可得到如下 兩步的 二項樹圖：
現在我們逐點討論美式選擇權是否要提早執行。
同樣地，注意到如果我們考慮 到期時 at expiration $T$，則我們的美式 看跌選擇權 $f_{uu}, f_{du}, f_{dd}$ 三點與歐式 看跌選擇權價格相同 (因為已經到期!)。
故我們只需討論 $f_u, f_d$ 以及 $f$ 是否需要提早執行。
首先檢驗 $f_u$ (亦即股票從 $20$ 上漲到 $22$的情況是否需要提早執行)，歐式 看跌 選擇權計算的結果是 $f_u = 0.4049$，
現在如果是美式 看跌選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{K-S_{h=3month} , 0 \} = \max\{21-22, 0 \} = 0$，(out of money!) ，故不執行。
接著檢驗 $f_d$ (亦即股票從 $20$ 下跌到 $18$的情況是否需要提早執行)，歐式 看跌選擇權計算的結果是 $f_u = 0$，
現在如果是美式看跌選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{ K-S_{h=3month} \} = \max\{21-18, 0 \} =3$，可以發現 $f_u =2.3793 < 3 $ 故此時提早執行有利投資人!!。故對美式 看跌選擇權而言， $f_d =2.3793 $需被 $f_{d_{american}} = 3$ 替換!
且因為 $f_d$ 已經被 $f_{d_{american}}$取代，故我們需要重新計算 $f$
\[
f = f_{american} = \left( {P{f_u} + \left( {1 - P} \right){f_{d_{american}}}} \right){e^{ - rh}}=1.2686
\]
最後再檢驗我們剛計算出來的 新 $f$ (亦即現在 是否需要提早執行 )，歐式 看跌選擇權計算的結果是 $f = 1.2686$，
現在如果是美式 看跌選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{ K - S_{h=0} \} = \max\{21-20, 0 \} =1$，可以發現 $f_u =1.2686 >1 $ 故不執行。
故美式 看跌選擇權 的價格 $f_{american} = 1.2685$
歐式 看跌選擇權最 的價格 $f = 1.0591$
ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.
在前篇文章我們有提過，事實上如果把二項樹的step拓展到 無窮大，則Binomial pricing會收斂成為 Black-Scholes formula。
我們手上現在有兩種方法 (此兩種方法等價)來對選擇權進行定價：
1. Binomial Pricing：
2. Risk-Neutral Pricing：風險中性機率 $P$ 再任意二項樹的步都是定值 (因為投資人對風險漠不關心，故股票上漲或下跌對投資人來說沒有影響。故 $P$ 值不變).
先給個例子看看兩步的二項樹是怎麼回事：
Example
現在考慮一個 兩步的二項樹：
今日股價 $S_0 =20$，下圖二項樹的每一步中股價上漲 或者下跌 $10 \%$，假設二項樹中每一步長度$h$為3個月 $h=3/12$ (亦即兩步為 6個月 $T=6/12$)，無風險利率 $r =12 \%$ p. a. (連續複利)，考慮 執行價格為 $K=21$ 的 歐式 看漲選擇權 ( European Call option) 。
我們這邊使用 風險中性定價法求解 $f$：關於風險中性定價有興趣的讀者請參考
[衍生商品] 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing)
步驟如下：
1. 首先求解 (二項樹中 任意一步的) 風險中性機率 $P$：
其中 $r =0.12, h=3/12, u=1.1, d=0.9$，可解得
\[
P = \frac{{{e^{r h}} - d}}{{u - d}} =0.6523
\]
2. 接著我們可以計算各節點的 看漲選擇權 價格：
首先計算 到期時 at expiration $T$ (6個月) 的 看漲選擇權 價格
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_{uu}} = \max \{ {S_T} - K,0\} = \max \{ 24.2 - 21,0\} = 3.2\\
{f_{ud}} = \max \{ {S_T} - K,0\} = \max \{ 19.8 - 21,0\} = 0\\
{f_{dd}} = \max \{ {S_T} - K,0\} = \max \{ 16.2 - 21,0\} = 0
\end{array} \right.
\]接著再計算中間節點的 看漲選擇權價格 (3個月 $h=3/12$)
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_u} = \left( {P{f_{uu}} + \left( {1 - P} \right){f_{du}}} \right){e^{ - rh}} = \left( {0.6523\left( {3.2} \right) + 0} \right){e^{ - 12\% \left( {3/12} \right)}} = 2.0257\\
{f_d} = \left( {P{f_{du}} + \left( {1 - P} \right){f_{dd}}} \right){e^{ - rh}} = \left( {0 + 0} \right){e^{ - 12\% \left( {3/12} \right)}} = 0
\end{array} \right.
\]最後在計算 $f$
\[f = \left( {P{f_u} + \left( {1 - P} \right){f_d}} \right){e^{ - rh}} = \left( {0.6523\left( {2.0257} \right) + 0} \right){e^{ - 12\% \left( {3/12} \right)}} = 1.2823
\] $\square$
============
那麼現在產生一個簡單的問題，如果是上述例子變成 美式選擇權(American option) 我們可以進行估價嗎?
答案是肯定的。
那麼該怎麼做呢?
Idea: 美式選擇權與歐式選擇權最大差別在於美式選擇權可以在到期時間之前都可以被執行。故我們首先計算歐式選擇權的價格，再逐點討論是否要提早執行該選擇權。
現在回頭再看看剛剛我們解完的 歐式看漲選擇權 的例子：
現在我們逐點討論是否要提早執行該選擇權。
NOTE:
在解題之前我們先注意到一個common sense：
美式 看漲選擇權 在股票未配發股息 的情況之下，永遠都不應該提早執行 (WHY!?)，
因為如果立刻執行我們會得到 $S - K$，但是如果我們不選擇立刻執行而是把美式選擇權賣出，由於美式選擇權可以在到期之前隨時執行，故其價格會比歐式選擇權 要來的高，則我們會得到選擇權價格有如下關係：
\[
C_{american} \geq C_{european}
\]又由歐式看漲選擇權我們知道選擇權的價格具有下界 (內部價值 + 時間價值 $ max\{ S-K, 0\}$)：故我們知道歐式選擇權會有如下關係
\[ C_{european} \geq S-K
\]，故合併上式我們得到
\[
C_{american} \geq C_{european} \geq S-K
\]這說明了如果立刻執行只有得到下界 $S-K$，但我們如果賣出 美式看漲選擇權則可以得到 $C_{american}$，這說明了 看漲選擇權在未配發股息的情況永遠不該提早執行。以下分析可以作為一個驗證：
現在我們開始逐點討論，對上述例子而言，是否要提早執行 美式選擇權
注意到如果我們考慮 到期時 at expiration $T$，則我們的美式選擇權 $f_{uu}, f_{du}, f_{dd}$ 三點與歐式選擇權價格相同 (因為已經到期!)。
故我們只需討論 $f_u, f_d$ 以及 $f$ 是否需要提早執行。
首先檢驗 $f_u$ (亦即股票從 $20$ 上漲到 $22$的情況)，歐式選擇權計算的結果是 $f_u = 2.0257$，
現在如果是美式選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{S_{h=3month} - K, 0 \} = \max\{22 - 21, 0 \} =1$，可以發現 $f_u =2.0275 >1 $ 故不執行。
接著檢驗 $f_d$ (亦即股票從 $20$ 下跌到 $18$的情況)，歐式選擇權計算的結果是 $f_u = 0$，
現在如果是美式選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{S_{h=3month} - K \} = \max\{18 - 21, 0 \} =0$，可以發現 $f_u =0 = 0 $ 故不執行。
最後再檢驗 $f$ (亦即現在 )，歐式選擇權計算的結果是 $f = 1.2823$，
現在如果是美式選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{S_{h=0} - K \} = \max\{20 - 21, 0 \} =0$，可以發現 $f_u =0 = 0 $ 故不執行。
=====================
現在我們來看個 美式看跌選擇權的例子
Example
同上例，考慮一個 兩步的二項樹：
今日股價 $S_0 =20$，下圖二項樹的每一步中股價上漲 或者下跌 $10 \%$，假設二項樹中每一步長度$h$為3個月 $h=3/12$ (亦即兩步為 6個月 $T=6/12$)，無風險利率 $r =12 \%$ p. a. (連續複利)，考慮 執行價格為 $K=21$ 的 美式 看跌選擇權 ( American Put option) 。
我們這邊使用 風險中性定價法求解 $f$：同樣的第一步先求解 歐式看跌選擇權在做逐步討論
步驟如下：
1. 首先求解 (二項樹中 任意一步的) 風險中性機率 $P$：
其中 $r =0.12, h=3/12, u=1.1, d=0.9$，可解得
\[
P = \frac{{{e^{r h}} - d}}{{u - d}} =0.6523
\]
2. 接著我們可以計算各節點的 看跌選擇權 價格：
首先計算 到期時 at expiration $T$ (6個月) 的 看跌選擇權 價格
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_{uu}} = \max \{ K - S_T,0\} = \max \{ 21-24.2 ,0\} = 0\\
{f_{ud}} = \max \{ K - S_,0\} = \max \{21 - 19.8,0\} = 1.2\\
{f_{dd}} = \max \{ K - S_,0\} = \max \{ 21-16.2,0\} = 4.8
\end{array} \right.
\]接著再計算中間節點的 看跌選擇權價格 (3個月 $h=3/12$)
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_u} = \left( {P{f_{uu}} + \left( {1 - P} \right){f_{du}}} \right){e^{ - rh}} = 0.4049\\
{f_d} = \left( {P{f_{du}} + \left( {1 - P} \right){f_{dd}}} \right){e^{ - rh}} = 2.3793
\end{array} \right.
\]最後在計算 $f$
\[f = \left( {P{f_u} + \left( {1 - P} \right){f_d}} \right){e^{ - rh}} = 1.0591 \ \ \ \ \square
\]
故我們可得到如下 兩步的 二項樹圖：
現在我們逐點討論美式選擇權是否要提早執行。
同樣地，注意到如果我們考慮 到期時 at expiration $T$，則我們的美式 看跌選擇權 $f_{uu}, f_{du}, f_{dd}$ 三點與歐式 看跌選擇權價格相同 (因為已經到期!)。
故我們只需討論 $f_u, f_d$ 以及 $f$ 是否需要提早執行。
首先檢驗 $f_u$ (亦即股票從 $20$ 上漲到 $22$的情況是否需要提早執行)，歐式 看跌 選擇權計算的結果是 $f_u = 0.4049$，
現在如果是美式 看跌選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{K-S_{h=3month} , 0 \} = \max\{21-22, 0 \} = 0$，(out of money!) ，故不執行。
接著檢驗 $f_d$ (亦即股票從 $20$ 下跌到 $18$的情況是否需要提早執行)，歐式 看跌選擇權計算的結果是 $f_u = 0$，
現在如果是美式看跌選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{ K-S_{h=3month} \} = \max\{21-18, 0 \} =3$，可以發現 $f_u =2.3793 < 3 $ 故此時提早執行有利投資人!!。故對美式 看跌選擇權而言， $f_d =2.3793 $需被 $f_{d_{american}} = 3$ 替換!
且因為 $f_d$ 已經被 $f_{d_{american}}$取代，故我們需要重新計算 $f$
\[
f = f_{american} = \left( {P{f_u} + \left( {1 - P} \right){f_{d_{american}}}} \right){e^{ - rh}}=1.2686
\]
最後再檢驗我們剛計算出來的 新 $f$ (亦即現在 是否需要提早執行 )，歐式 看跌選擇權計算的結果是 $f = 1.2686$，
現在如果是美式 看跌選擇權，且如果我們在此時 執行選擇權會得到 $\max\{ K - S_{h=0} \} = \max\{21-20, 0 \} =1$，可以發現 $f_u =1.2686 >1 $ 故不執行。
故美式 看跌選擇權 的價格 $f_{american} = 1.2685$
歐式 看跌選擇權最 的價格 $f = 1.0591$
ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.
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