[隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (1)

延續上篇 [隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (0)，這次要來證明 Black-Scholes Formula
\[
{\scriptsize f(t,S_t) = S \Phi \left( \frac{\ln(S_t/K) + (r+\frac{1}{2} \sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}}\right) - K e^{-r (T-t)} \Phi \left( \frac{\ln(S_t/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}}\right)}
\]其中 $\Phi (\cdot)$ 為 Standard Normal Cumulative distribution function (CDF)

現在令 $x= S_t$，上述的 Black-Scholes Formula 確實為 Black-Scholes PDE 的解，亦即上式為下列PDE的解：
\[
rf(t,x) = {f_t}(t,x) + rx{f_x}(t,x) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,x){\sigma ^2}{x^2}
\]且滿足終端邊界條件 $f(T,x) = h(x), \ \forall x \in \mathbb{R}$


我們將分成下列幾個小步驟逐步完成此證明：


步驟1：首先證明下列等式成立：

Claim 1: $K e^{-r(T-t)} \Phi ' (d_2(T-t,x)) = x \Phi' (d_1(T-t,x))$
其中
\[
d_1 (T-t, x) =  \frac{\ln(x/K) + (r+\frac{1}{2} \sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}} \\
d_2 (T-t,x) =  \frac{\ln(x/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^2) (T-t) }{\sigma \sqrt{T-t}} \\
\]
Proof
我們證明
\[
K e^{-r(T-t)} \Phi ' (d_2(T-t,x))- x \Phi' (d_1(T-t,x))=0
\]由於 $\Phi (\cdot)$ 為 Standard Normal Cumulative distribution function (CDF) ，故 $\Phi '(\cdot)$ 即為 Standard Normal density，亦即
 \[\left\{ \begin{array}{l}
\Phi'\left( {{d_1}\left( {T - t,x} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{d_1}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}\\
\Phi'\left( {{d_2}\left( {T - t,x} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{d_2}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}
\end{array} \right.
\]現在觀察 $d_2(T-t,x) = d_1(T-t,x) - \sigma \sqrt{T-t}$，故直接計算
\[\begin{array}{l}
K{e^{ - r(T - t)}}\Phi '({d_2}(T - t,x)) - x\Phi '({d_1}(T - t,x))\\
 = K{e^{ - r(T - t)}}\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{d_2}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}} - x\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{d_1}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {K{e^{ - r(T - t)}}{e^{ - \frac{{{d_2}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}} - x{e^{ - \frac{{{d_1}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}} \right]\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {K{e^{ - r(T - t)}}{e^{ - \frac{{{{\left[ {{d_1}\left( {T - t,x} \right) - \sigma \sqrt {T - t} } \right]}^2}}}{2}}} - x{e^{ - \frac{{{d_1}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}} \right]\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {K{e^{ - r(T - t)}}{e^{ - \frac{{{d_1}^2\left( {T - t,x} \right) - 2{d_1}\left( {T - t,x} \right)\sigma \sqrt {T - t}  + {\sigma ^2}\left( {T - t} \right)}}{2}}} - x{e^{ - \frac{{{d_1}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}} \right]\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{d_1}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}\left[ {K{e^{ - r(T - t)}}{e^{\frac{{2{d_1}\left( {T - t,x} \right)\sigma \sqrt {T - t} }}{2}}}{e^{\frac{{ - {\sigma ^2}\left( {T - t} \right)}}{2}}} - x} \right]\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{d_1}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}\left[ {K{e^{ - r(T - t)}}{e^{\frac{{\ln (x/K) + (r + \frac{1}{2}{\sigma ^2})\left( {T - t} \right)}}{{\sigma \sqrt {T - t} }}\sigma \sqrt {T - t} }}{e^{\frac{{ - {\sigma ^2}\left( {T - t} \right)}}{2}}} - x} \right]\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{d_1}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}\left[ {K{e^{ - r(T - t)}}\left( {\frac{x}{K}} \right){e^{(r + \frac{1}{2}{\sigma ^2})\left( {T - t} \right)}}{e^{\frac{{ - {\sigma ^2}\left( {T - t} \right)}}{2}}} - x} \right]\\
 = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{ - \frac{{{d_1}{{\left( {T - t,x} \right)}^2}}}{2}}}\left[ {{e^{ - r(T - t)}}x{e^{r\left( {T - t} \right)}} - x} \right] = 0. \ \ \ \ \square
\end{array}
\]

步驟2：證明下列Claim：
Claim 2: (Theta of the Option)
\[
{f_t}\left( {t,x} \right) =  - rK{e^{ - r(T - t)}}\Phi ({d_2}(T - t,x)) - \frac{{\sigma x}}{{2 \sqrt {T - t} }}\Phi '({d_1}(T - t,x))
\]

Proof
直接計算 $f(t,x)$ 的對 $t$ 偏導數
\[\begin{array}{l}
{f_t}(t,x) = \frac{\partial }{{\partial t}}f\left( {t,x} \right) = \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {x\Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right) - K{e^{ - rT}}{e^{rt}}\Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right)} \right]\\
 \Rightarrow {f_t}(t,x) = x\frac{{\partial \Phi }}{{\partial t}}\left( {{d_1}(T - t,x)} \right) \\
 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - K{e^{ - r(T)}}\left[ {r{e^{r(t)}}\Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right) + {e^{r(t)}}\frac{{\partial \Phi }}{{\partial t}}\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)} \right]\\
 \Rightarrow {f_t}(t,x) =  - rK{e^{ - r(T - t)}}\Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right) + x\frac{{\partial \Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}}{{\partial t}} \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - K{e^{ - r(T - t)}}\frac{{\partial \Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}}{{\partial t}} \ \ \ \ (*)
\end{array}
\]由 Standard Normal CDF $\Phi(\cdot)$ 定義，我們可以分別計算：
\[\begin{array}{l}
\frac{{\partial \Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left\{ {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int_{ - \infty }^{{d_1}(T - t,x)} {{e^{\frac{{ - {z^2}}}{2}}}} dz} \right\} \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{\partial }{{\partial t}}{d_1}(T - t,x)} \right]\\
\frac{{\partial \Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}}{{\partial t}} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{\partial }{{\partial t}}{d_2}(T - t,x)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {{d_1}(T - t,x) - \sigma \sqrt {T - t} } \right]} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\left[ {\frac{{\partial {d_1}(T - t,x)}}{{\partial t}} + \frac{\sigma }{{2\sqrt {T - t} }}} \right]
\end{array}
\]將上面計算出來的兩項偏導數式子帶回 $(*)$，並利用 Claim 1 的結果整理可得
\[
 \Rightarrow {f_t}(t,x) =  - rK{e^{ - r(T - t)}}\Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right) \\
 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \frac{\sigma }{{2\sqrt {T - t} }}K{e^{ - r(T - t)}}\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\\
\]利用 $d_1(T-t,x) = d_2(T-t,x) - \sigma \sqrt{T-t}$，帶入上式
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow {f_t}(t,x) =  - rK{e^{ - r(T - t)}}\Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right) \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \frac{\sigma }{{2\sqrt {T - t} }}K{e^{ - r(T - t)}}\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_1}(T - t,x) - \sigma \sqrt {T - t} } \right)}^2}}}{2}}}\\
 \Rightarrow {f_t}(t,x) =  - rK{e^{ - r(T - t)}}\Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} - \frac{\sigma }{{2\sqrt {T - t} }}K{e^{ - r(T - t)}}\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - {d_1}^2(T - t,x)}}{2}}}{e^{\frac{{2\sigma {d_1}(T - t,x)\sqrt {T - t} }}{2}}}{e^{\frac{{ - {\sigma ^2}\left( {T - t} \right)}}{2}}}\\
 \Rightarrow {f_t}(t,x) =  - rK{e^{ - r(T - t)}}\Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right) - \frac{{\sigma x}}{{2\sqrt {T - t} }}\Phi '\left( {{d_1}(T - t,x)} \right)
\end{array}
\] $\square$

步驟3：證明下列Claim：
Claim 3: (Delta of the Option)
\[
{f_x}\left( {t,x} \right) =  \Phi ({d_1}(T - t,x))
\]

Proof
想法同Claim 2，直接計算對 $x$ 偏導數
\[\begin{array}{l}
{f_x}\left( {t,x} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}f(t,x) = \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {x\Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right) - K{e^{ - r(T - t)}}\Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right) + x\frac{\partial }{{\partial x}}\Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} - K{e^{ - r(T - t)}}\frac{\partial }{{\partial x}}\Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right) \ \ \ \ (**)
\end{array}
\]分別計算
\[\begin{array}{l}
\frac{{\partial \Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left\{ {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\int_{ - \infty }^{{d_1}(T - t,x)} {{e^{\frac{{ - {z^2}}}{2}}}} dz} \right\}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{\partial }{{\partial x}}{d_1}(T - t,x)} \right]\\
\frac{{\partial \Phi \left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}}{{\partial x}} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{\partial }{{\partial x}}{d_2}(T - t,x)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {{d_1}(T - t,x) - \sigma \sqrt {T - t} } \right]} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\left[ {\frac{{\partial {d_1}(T - t,x)}}{{\partial x}}} \right]
\end{array}
\]帶回偏導式 $(**)$ 可得
\[\begin{array}{l}
{f_x}\left( {t,x} \right) = \Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right) + \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {x{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{\partial }{{\partial x}}{d_1}(T - t,x)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} - K{e^{ - r(T - t)}}\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\left[ {\frac{{\partial {d_1}(T - t,x)}}{{\partial x}}} \right]\\
 \Rightarrow {f_x}\left( {t,x} \right) = \Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left\{ {x{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}} - K{e^{ - r(T - t)}}{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_2}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}} \right\}\left[ {\frac{{\partial {d_1}(T - t,x)}}{{\partial x}}} \right]
\end{array}
\]利用Claim 1的結果，我們可知
\[{f_x}\left( {t,x} \right) = \Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right) \ \ \ \ \square
\]。

現在，由上述 Claim 2 的結果： ${f_x}\left( {t,x} \right) = \Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right)$ 我們可立刻求得 $f_x(t,x)$ 對 $x$ 的二階偏導數 (Gamma of the Option)：
\[{f_{xx}}\left( {t,x} \right) = \frac{{\partial \Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}}{{\partial x}} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{\partial }{{\partial x}}{d_1}(T - t,x)} \right]
\]由於
\[\frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {\frac{{\ln (x/K) + (r + \frac{1}{2}{\sigma ^2})(T - t)}}{{\sigma \sqrt {T - t} }}} \right] = \frac{1}{{\sigma \sqrt {T - t} }}\frac{1}{x}
\]故
\[{f_{xx}}\left( {t,x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{1}{{\sigma x\sqrt {T - t} }}} \right]\]

步驟4：證明下列 Claim：
Claim 4: Black-Scholes Formula satisfies Black-Scholes PDE

Proof
回憶 Black-Scholes PDE:
\[
rf(t,x) = {f_t}(t,x) + rx{f_x}(t,x) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,x){\sigma ^2}{x^2}
\]現在將 Claim 2, 3 計算出來的結果 $f_t(t,x), f_x(t,x)$ 與 二階偏導數 $f_{xx}(t,x)$ 帶入PDE中
\[
rf(t,x) = {f_t}(t,x) + rx{f_x}(t,x) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,x){\sigma ^2}{x^2}
\]，我們得到
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow rf(t,x) =  - rK{e^{ - r(T - t)}}\Phi ({d_2}(T - t,x)) - \frac{{\sigma x}}{{2\sqrt {T - t} }}\Phi '({d_1}(T - t,x))\\
 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + rx\Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right) + \frac{1}{2}\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}\left[ {{e^{\frac{{ - {{\left( {{d_1}(T - t,x)} \right)}^2}}}{2}}}\frac{1}{{\sigma x\sqrt {T - t} }}} \right]{\sigma ^2}{x^2}\\
 \Rightarrow f(t,x) = x\Phi \left( {{d_1}(T - t,x)} \right) - K{e^{ - r(T - t)}}\Phi ({d_2}(T - t,x))
\end{array}
\]$ \square$


步驟5：證明符合 Terminal condition：
Claim 5: $f(T,x) = h(x)$

Proof
考慮 $x>K$，我們得到
\[
\mathop {\lim }\limits_{t \to T} {d_1}\left( {T - t,x} \right) =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to T} {d_2}\left( {T - t,x} \right) =  + \infty
\]故
\[ \Rightarrow f(T,x) = S - K \ \ \ \ (1)
\]

考慮 $0<x<K$，
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to T} {d_1}\left( {T - t,x} \right) =  - \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to T} {d_2}\left( {T - t,x} \right) =  - \infty
\]故
\[ \Rightarrow f(T,x) = 0 \ \ \ \ (2)
\] 合併 $(1) + (2)$ 得到Terminal condition:
\[
f(T,x) = (x - K)_+ = h(x)
\] 

[隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (0)

這次要介紹 Black-Scholes Model for European Call option，也就是對於一個 歐式選擇權 (European Call option) 該如何為其制定價格。

由於 選擇權 本身是衍生商品的一種，也就是其本身的價值是隨某個標的資產 (Underlying asset)做變動，故如何對於此種衍生商品的做出合理的定價 (這邊所謂的合理指的是無套利機會的定價 亦即 No-arbitrage price) 就顯得相當不容易，在這邊我們考慮的是歐式股票選擇權，故其標的資產為股票，故可以想見此 European Call option 的定價在最後必定跟 股價有關，此定價公式被稱作 Black-Scholes Formula。在這邊我們需要兩種數學工具來幫助我們求解 Black-Scholes Formula：機率論隨機分析中的隨機微分方程 SDE 與 偏微分方程 PDE 求解邊界值問題



我們首先定義 $S_t$ 為在時間 $t$ 時的股價，且 $\beta_t$ 為在時間 $t$ 的債卷價格
且我們選取下列的隨機微分方程 (SDE) 來描述我們的 股價 與 債卷價格：

股票價格 模型： $dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t$
債卷價格 模型： $d \beta_t = r \beta_t dt$

其中 $r$ 為無風險利率(risk-free interest rate)，實務上多以 LIBOR 或者 Treasury bond 的利率作為 $r$。

注意到上式中，股價模型為幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)，債卷模型則是一個為連續複利的確定(非隨機)過程。(WHY? 注意到債卷模型為ODE，可直接求解)
\[\begin{array}{l}
d{\beta _t} = r{\beta _t}dt \Rightarrow \int_0^t {\frac{{d{\beta _t}}}{{{\beta _t}}}}  = \int_0^t {rds} \\
 \Rightarrow \ln {\beta _t} - \ln {\beta _0} = rt\\
 \Rightarrow {\beta _t} = {\beta _0}{e^{rt}}
\end{array}
\]上述的解 $\beta_t$ 即為連續複利 在時間 $t$ 時的 債卷價格

現在，我們考慮執行價格為 $K$ 的 European Call option，且到期時間為 $T$，則在到期時的收益必須滿足
\[
h(S_T) = \max\{S_T - K, 0 \} = (S_T - K)_+
\]
基本上我們想法就是要建構一組投資組合(portfolio)使得我們的組合可以複製上述的European Call option 的到期收益 $h(S_T)$，且在到期之前不會收到/賠掉 任何資金 (維持淨現金流為零)，但因為我們的股價與債卷模型都是連續時間隨機過程，故此投資組合必須隨時間不斷動態調整。

現在我們來看看該如何建構這樣的一組投資組合，
首先考慮
$a_t$ 為 在時間 $t$ 時，用來建構此組投資組合所需的 股票數量
$b_t$ 為 在時間 $t$ 時，用來建構此組投資組合所需的 債卷數量
則我們的投資組合在時間 $t$ 時的價值 $V_t$ 即為
\[
V_t = a_t S_t + b_t \beta_t
\]且此投資組合必須複製我們的European Call option 在到期時後的收益，故我們有一個terminal constraint
\[
V_T = h(S_T) = (S_T - K)_+
\]且投資組合在到期之前必須維持淨現金流為零 (no cash flow ! 透過 dynamic hedging 不斷買/賣 股票與債卷維持 no cash flow)，此條件可視為在到期之前我們不斷地在進行自我融資 (self-financing)，此條件可用隨機微分方程來表示：稱作 Self-financing condition
\[
dV_t = a_t dS_t + b_t d\beta_t
\]此條件加入了對於我們股票數量 $a_t$ 與 債卷數量 $b_t$ 上的限制，由上述的 terminal constraint 與 self-financing condition 我們可以求解 $a_t$ 與 $b_t$

現在注意到如果我們的投資組合的價值 $V_t$ 為時間 $t$ 與 股價 $S_t$ 的函數，可將其寫作
\[
V_t = f(t, S_t)
\]則由 Ito-formula，我們有
\[\begin{array}{l}
d{V_t} = {f_t}(t,{S_t})dt + {f_x}(t,{S_t})d{S_t} + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t})d{\left\langle S \right\rangle _t}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = {f_t}(t,{S_t})dt + {f_x}(t,{S_t})\left( {\mu {S_t}dt + \sigma {S_t}d{B_t}} \right) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \left[ {{f_t}(t,{S_t}) + {f_x}(t,{S_t})\mu {S_t} + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2} \right]dt + \sigma {S_t}{f_x}(t,{S_t})d{B_t}
\end{array}
\]但是我們由 Self-financing condition 可知
\[\begin{array}{l}
d{V_t} = {a_t}d{S_t} + {b_t}d{\beta _t}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = {a_t}\left( {\mu {S_t}dt + \sigma {S_t}d{B_t}} \right) + {b_t}\left( {r{\beta _t}dt} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \left( {{a_t}\mu {S_t} + {b_t}r{\beta _t}} \right)dt + {a_t}\sigma {S_t}d{B_t}
\end{array}
\]由 Ito formula 所求得的 $dV_t$ 必與上式相等，故比較係數可得 $a_t$ 與 $b_t$
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sigma {S_t}{f_x}(t,{S_t}) = {a_t}\sigma {S_t}\\
{f_t}(t,{S_t}) + {f_x}(t,{S_t})\mu {S_t} + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2 = {a_t}\mu {S_t} + {b_t}r{\beta _t}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_t} = {f_x}(t,{S_t})\\
{b_t} = \frac{1}{{r{\beta _t}}}\left[ {{f_t}(t,{S_t}) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2} \right]
\end{array} \right.
\end{array}
\]再者，由於我們的投資組合的價值 $V_t = f(t, S_t)$ (由Ito-formula) 且 $V_t = a_t S_t + b_t \beta_t$ (由 $V_t$ 定義)，故此兩者亦相等，我們得到
\[\begin{array}{l}
{V_t} = {a_t}{S_t} + {b_t}{\beta _t} = f(t,{S_t})\\
 \Rightarrow f(t,{S_t}) = {f_x}(t,{S_t}){S_t} + \frac{1}{{r{\beta _t}}}\left[ {{f_t}(t,{S_t}) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2} \right]{\beta _t}\\
 \Rightarrow f(t,{S_t}) = {f_x}(t,{S_t}){S_t} + \frac{1}{r}\left[ {{f_t}(t,{S_t}) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2} \right]\\
 \Rightarrow rf(t,{S_t}) = r{f_x}(t,{S_t}){S_t} + {f_t}(t,{S_t}) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,{S_t}){\sigma ^2}{S_t}^2
\end{array}
\]現在如果我們把 $S_t$ 用 $x$ 取代，則我們得到 Black-Scholes PDE:
\[
rf(t,x) = {f_t}(t,x) + rx{f_x}(t,x) + \frac{1}{2}{f_{xx}}(t,x){\sigma ^2}{x^2}
\]且有終端邊界條件 $f(T,x) = h(x), \ \forall x \in \mathbb{R}$

如果我們對 Black-Scholes PDE + 上述的終端邊界條件 求解 (借助PDE的 Diffusion equaiton)，即會得到大名鼎鼎的 Black-Scholes Formula。亦即 European call option 在 時間 $t$ 時候的價格 $C_t = f(t,x)$ 可由下式求得
\[
{\small C_t = S \Phi \left( \frac{\ln(S/K) + (r+\frac{1}{2} \sigma^2) \tau }{\sigma \sqrt{\tau}}\right) - K e^{-r \tau} \Phi \left( \frac{\ln(S/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^2) \tau }{\sigma \sqrt{\tau}}\right)}
\]其中 $S$ 為當前股價，$T$ 為到期時間，$K$ 為執行價格，，$r$ 為無風險利率， $\sigma$ 為股價波動度，$\Phi(\cdot)$ 為 Standard normal cdf，$\tau$ 為到期之前的 剩餘時間，亦即 $\tau = T-t$

延伸閱讀
[隨機分析] Black-Scholes PDE for European Call option (1)

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer

[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (4) - Martingale Revisits

現在回頭再看看 Ito Formula 給我們的 Martingale 判別定理：

==============================
Theorem (Martingale PDE condition)
考慮 $t \in [0,T]$，若 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$，且
\[
\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} =0
\]則 $X_t = f(t, B_t)$ 為一個 Local Martingale。
再者，若  ${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)}\in \mathcal{H}^2$，亦即
\[
E \left[\int_0^t \left ( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)^2 ds \right] < \infty
\]則 $X_t$ 為一個 Martingale
==============================

現在再看個例子看看 Ito Formula 怎麼幫助我們獲得 Martingale

Example 1
令 $B_1(t), B_2(t), B_3 (t),...$ 互為獨立 Standard Brownian Motion。對 $k \in \mathbb{N}$ 定義函數 $g_k$ 與
\[
A_k(t) = \int_0^t g_k(B_1(s), B_2(s), ..., B_k(s))ds
\] 現在試求 $A_2$ 使得
\[
B_1(t)^2 B_2(t)^2 - A_2(t)
\]為 Martingale。 Hint: 利用 上述 PDE Martingale Condition。

Proof
我們要找
\[
{A_2}(t) = \int_0^t {{g_2}} ({B_1}(s),{B_2}(s))ds
\] 使得 $B_1(t)^2 B_2(t)^2 - A_2(t)$ 為 Martingale。

現在定義
\[f\left( {x,y} \right) = {x^2}{y^2}
\] 則我們首先計算其偏導數： ${f_x} = 2x{y^2}{,_{}}{f_{xx}} = 2{y^2}{,_{}}{f_y} = 2{x^2}y{,_{}}{f_{yy}} = 2{x^2}$ 現在由 Ito Formula：
\[
\begin{array}{l}
df\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right) = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right)d{B_1}(t)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right)d{B_2}(t) + \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{l}
\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right)dt\\
 + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right)dt\\
 + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right)d\left\langle {{B_1},{B_2}} \right\rangle
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow df\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right) = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right)d{B_1}(t) + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right)d{B_2}(t)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right) + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}\left( {{B_1}(t),{B_2}(t)} \right)} \right]dt
\end{array}
\] 注意到上式中的 Cross Variation term: $ d\left\langle {{B_1},{B_2}} \right\rangle = 0$；另外為了形式簡潔起見，我們把 函數中的 時間 $t$ 先移除不寫，則上式變成：
\[\begin{array}{l}
df\left( {{B_1},{B_2}} \right) = 2{B_1}{B_2}^2d{B_1} + 2{B_1}^2{B_2}d{B_2} + \frac{1}{2}\left[ {2{B_2}^2dt + 2{B_1}^2dt} \right]\\
 \Rightarrow df\left( {{B_1},{B_2}} \right) = 2{B_1}{B_2}^2d{B_1} + 2{B_1}^2{B_2}d{B_2} + {B_2}^2dt + {B_1}^2dt
\end{array}
\] 現在將其轉換回 積分形式：
\[\begin{array}{l}
\underbrace {f\left( {{B_1},{B_2}} \right)}_{ = {B_1}{{(t)}^2}{B_2}{{(t)}^2}} = 2\int_0^t {{B_1}{B_2}^2d{B_1}}  + 2\int_0^t {{B_1}^2{B_2}d{B_2}}  + \int_0^t {\left( {{B_2}^2 + {B_1}^2} \right)dt} \\
 \Rightarrow {B_1}^2{B_2}^2 - \int_0^t {\left( {{B_2}^2 + {B_1}^2} \right)dt}  = 2\int_0^t {{B_1}{B_2}^2d{B_1}}  + 2\int_0^t {{B_1}^2{B_2}d{B_2}}
\end{array}
\]注意到上式等號右邊為 Local Martingale。現在檢驗 積分變數 是否落在 $\cal{H}^2$ 中，如果是的話，我們即得到 Martingale：故
\[\begin{array}{l}
E\left[ {\int_0^T {{{\left( {{B_1}{B_2}^2} \right)}^2}ds} } \right] = E\left[ {\int_0^T {{B_1}^2{B_2}^4ds} } \right] = \int_0^T {E\left[ {{B_1}^2{B_2}^4} \right]ds} \\
 = \int_0^T {E\left[ {{B_1}^2} \right]E\left[ {{B_2}^4} \right]ds}  = \int_0^T {s\left( {3{s^2}} \right)ds}  = 3\int_0^T {{s^3}ds}  = \frac{3}{4}{T^4} < \infty
\end{array}\] 故可知 ${{B_1}{B_2}^2} \in \cal{H}^2$

同理可證 ${{B_1}^2{B_2}} \in \cal{H}^2$，故我們得到
\[{B_1}{(t)^2}{B_2}{(t)^2} - \int_0^t {\left( {{B_2}^2 + {B_1}^2} \right)dt} \]為 Martingale。亦即
\[
{A_2}(t) = \int_0^t {\left( {{B_2}^2 + {B_1}^2} \right)dt} \ \ \ \ \square
\]

現在我們接續前述的例子，我們看看 $k=3$ 的情況：

Example 2
令 $B_1(t), B_2(t), B_3 (t),...$ 互為獨立 Standard Brownian Motion。對 $k \in \mathbb{N}$ 定義函數 $g_k$ 與
\[
A_k(t) = \int_0^t g_k(B_1(s), B_2(s), ..., B_k(s))ds
\] 現在試求 $A_3$ 使得
\[
B_1(t)^2 B_2(t)^2 B_3(t)^2 - A_3(t)
\]為 Martingale。 Hint: 利用 上述 PDE Martingale Condition。

Proof
如前例，令 $f\left( {x,y,z} \right) = {x^2}{y^2}{z^2}{,_{}} $ ，
\[\left\{ \begin{array}{l}
{f_x} = 2x{y^2}{z^2},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{f_{xx}} = 2{y^2}{z^2},\\
{f_y} = 2{x^2}y{z^2},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{f_{yy}} = 2{x^2}{z^2},\\
{f_z} = 2{x^2}{y^2}z,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{f_{zz}} = 2{x^2}{y^2},
\end{array} \right.
\] 利用 Ito Formula 我們可得
\[\begin{array}{l}
df\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right) = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)d{B_1} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)d{B_2}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)d{B_3} + \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{l}
\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array} + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array} + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)dt
\end{array} \right]\\
 \Rightarrow df\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right) = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)d{B_1}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)d{B_2} + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)d{B_3}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \frac{1}{2}\left[ {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right) + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right) + \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {z^2}}}\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)} \right]dt
\end{array}
\] 故
\[\begin{array}{l}
df\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right) = 2{B_1}{B_2}^2{B_3}^2d{B_1} + 2{B_1}^2{B_2}{B_3}^2d{B_2} + 2{B_1}^2{B_2}^2{B_3}d{B_3}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} + \frac{1}{2}\left[ {2{B_2}^2{B_3}^2 + 2{B_1}^2{B_3}^2 + 2{B_1}^2{B_2}^2} \right]dt
\end{array}
\]現在轉換回積分形式：
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow \underbrace {f\left( {{B_1},{B_2},{B_3}} \right)}_{ = {B_1}^2{B_2}^2{B_3}^2} = 2\left[ \begin{array}{l}
\int_0^t {{B_1}{B_2}^2{B_3}^2d{B_1}}  + \int_0^t {{B_1}^2{B_2}{B_3}^2d{B_2}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} + \int_0^t {{B_1}^2{B_2}^2{B_3}d{B_3}}
\end{array} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} + \int_0^t {\left( {{B_2}^2{B_3}^2 + {B_1}^2{B_3}^2 + {B_1}^2{B_2}^2} \right)} ds\\
 \Rightarrow {B_1}^2{B_2}^2{B_3}^2 - \int_0^t {\left( {{B_2}^2{B_3}^2 + {B_1}^2{B_3}^2 + {B_1}^2{B_2}^2} \right)} ds\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = 2\left[ \begin{array}{l}
\int_0^t {{B_1}{B_2}^2{B_3}^2d{B_1}}  + \int_0^t {{B_1}^2{B_2}{B_3}^2d{B_2}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} + \int_0^t {{B_1}^2{B_2}^2{B_3}d{B_3}}
\end{array} \right]
\end{array}\] 故上式等號右邊 為 Local Martingale。(讀者可自行驗證其 $\int (\cdot) dB$ 積分的 積分變數全部都落在 $\cal{H}^2$)，故為 Martingale，亦即
\[{B_1}^2{B_2}^2{B_3}^2 - \int_0^t {\left( {{B_2}^2{B_3}^2 + {B_1}^2{B_3}^2 + {B_1}^2{B_2}^2} \right)} ds\]為 Martingale。
且
\[{A_3}(t) = \int_0^t {\left( {{B_2}^2{B_3}^2 + {B_1}^2{B_3}^2 + {B_1}^2{B_2}^2} \right)} ds\]

[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (3) - Differential form of the Ito formula and the Standard stochastic process

延續前篇，回憶我們手上有的雙變數 Ito formula for standard Brownian motion $B_t$ 。

若 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$，則我們有 Ito formula
\[ \small
f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)d{s} + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)d{B_s} + \frac{1}{2} \int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {s,{B_s}} \right)d{s}
\]
一般而言上述形式過於冗長，文獻中多半將上式改寫為微分形式如下
\[
df(t,B_t) = \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {t,{B_t}} \right)d{t} + \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {t,{B_t}} \right)d{B_t} +  \frac{1}{2}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {t,{B_t}} \right)d{t}
\]

Comments:
上式微分形式僅為積分縮寫，亦即微分形式的Ito formula是 書寫上較為方便，但並無實質定義。注意到當初在定義隨機積分 (Ito integral) 的時候，只有積分有嚴格定義 ( 用approximating sequence of step function in $\mathcal{H}_0^2$ 定義隨機積分，接著用 Density Lemma 拓展隨機積分到$\mathcal{H}^2$ space。)，故並無微分的定義。

 WHY? 因為 注意到微分形式需要 $dB_t$ 但是回憶標準布朗運動，我們知道$B_t$ 為連續函數但處處不可微分( but quadratic variation is finite in probability)。故無法定義布朗運動的"微分"。


現在如果我們考慮一個隨機過程 $X_t $ 具有下列形式：
對 $t \in [0,T]$
\[
X_t(\omega) := X_0(\omega) + \int_0^t a(\omega, s) ds + \int_0^t b(\omega, s) dB_s \ \ \ \ (\star)
\]且為了讓上式是well-defined (也就是說可以討論積分後的值是多少而不是積分後會爆掉或者根本不存在此積分)，我們需要$X_0$為 $\mathcal{F}_0$-measurable，且$a, b$為 adapted, measurable 的隨機過程且滿足對 almost every $\omega$，
\[
\int_0^T |a(\omega, s)| ds + \int_0^T |b(\omega,s)| ^2 d s < \infty \ \text{almost surely}
\]亦即，$a(\omega, s) \in L^1$ 對所有的$\omega$ 與 $b(\omega,s) \in L_{LOC}^2$

則我們可將 $ (\star)$ 寫為微分形式如下
\[
dX_t = a(\omega,t)dt + b(\omega, t) dB_t \ \ \ \ (*)
\]

Comments:
1. $(\star)$ 與 $(*)$ 稱為 標準隨機過程(Standard Process) 或者稱為伊藤過程 Ito process

那麼現在有個簡單的問題：
我們手上有的Ito formula現在對標準布朗運動可以定義，那麼我們想知道是否可以把Ito formula拓展到對標準隨機過程也能成立呢?

答案是肯定的；我們將其寫作下面的定理

============================
Theorem ( Ito formula for Standard process )
對 $t \in [0,T]$，考慮  $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$ 且 $\{ X_t 0 \leq t \leq T\}$ 為一個標準隨機過程符合下式：
\[
X_t(\omega) := X_0(\omega) + \int_0^t a(\omega, s) ds + \int_0^t b(\omega, s) dB_s
\]則我們有 Ito formula
\[ \small
f(t,X_t) = f(0,X_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{X_s}} \right)d{s} + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{X_s}} \right)d{X_s} \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +  \frac{1}{2}\int_0^t {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {s,{X_s}} \right)\underbrace {{b^2}(\omega ,s)ds}_{d{{\left\langle X \right\rangle }_s}}}
\]============================
Proof: omitted.

Comment: 
1. 上式中 ${{{\left\langle X \right\rangle }_t}}$ 稱為 Quadratic variation of $X_t$
\[
{{{\left\langle X \right\rangle }_t}} := \displaystyle \lim_{||\Delta|| \rightarrow 0} \sum_i (X_{t_i} - X_{t_{i-1}}) \ \text{in Probability}
\]其中 $\Delta := \{ 0 =t_0 < t_1 < ... < t_n = t\}$

2. 上式 Ito formula 可改寫為微分形式 (only for shorthand, no real definition on such differential form)
\[
df(t,X_t) = \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {t,{X_t}} \right) dt + \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {t,{X_t}} \right) dX_t + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {t,{X_t}} \right)d{X_t} \cdot d{X_t}
\]

ref: J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Chapter 8, Springer

[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (2) - Martingale PDE condtion

回憶先前提及的  Ito Integral 有下列重要結果：Ito-integral 為一個隨機過程，且若積分變數 $f \in \mathcal{H}^2$，則隨機積分為一個 Martingale。若 $f \in L_{LOC}^2$，則隨機積分為一個 Local martingale。我們把此結果記做 $(\star)$

現在我們來看看 Ito formula 可以幫助我們判別是否為 Martingale or Local Martingale。

現在考慮 $t \in [0,T]$，回憶雙變數的 Ito formula
\[
\small{
f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)ds +  \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right) dB_s +  \frac{1}{2}\int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {s,{B_s}} \right)ds }
\]
現在將上式 $\int ds$ 項合併，可得
\[
\small{ f(t,{B_t}) = f(0,{B_0}) + \int_0^t {\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)} ds + \int_0^t {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \left( {s,{B_s}} \right)d{B_s}}
\]觀察上式，如果  $\int ds$ 項為零，亦即
\[
{\frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {s,{B_s}} \right)}=0
\]，則 Ito formula剩餘的最後一項 為 Ito integral ，由我們剛剛提過的 $(\star)$ 可知，此 Ito integral
\[\int_0^t {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \left( {s,{B_s}} \right)d{B_s}
\]為 Local martingale。 WHY!? 因為Ito formula假設  $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$，也就是說 Ito integral 項的積分變數 (對 $f$ 取一階偏導數) 為 ${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \in \mathcal{C}^1$，又因為 $t \in [0,T]$為compact domain，連續函數必定有界，也就是說積分變數是落在 $L_{LOC}^2$，亦即滿足下式
\[
\int_0^t \left ( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)^2 ds < \infty
\]
另外，如果 Ito integral的 積分變數  ${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \in \mathcal{H}^2$，亦即滿足下式
\[
E \left [\int_0^t \left ( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)^2 ds \right] < \infty
\]
，則我們可得到 Martingale。

我們現在將上述結果寫成下面這個定理：

Theorem (Martingale PDE condition)
考慮 $t \in [0,T]$，若 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$，且
\[
\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} =0\ \ \ \ (1)
\]則 $X_t = f(t, B_t)$ 為一個 Local Martingale。
再者，若  ${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)}\in \mathcal{H}^2$，亦即
\[
E \left[\int_0^t \left ( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)^2 ds \right] < \infty  \ \ \ \ (2)
\]則 $X_t$ 為一個 Martingale

Proof
其實證明已經於前面討論寫完，但我們這邊把前述討論再稍作整理。

給定任意  $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$ 滿足雙變數 Ito formula：
\[
\small{ f(t,{B_t}) = f(0,{B_0}) + \int_0^t {\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right) + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)} ds + \int_0^t {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \left( {s,{B_s}} \right)d{B_s}}
\]
由假設 $(1)$，上式變成
\[f(t,{B_t}) = f(0,{B_0}) + \int_0^t {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} d{B_s}\]
由於  $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}) \Rightarrow {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \in \mathcal{C}^1$，故 ${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}$為連續函數，又因為 $t \in [0,T]$為compact domain，連續函數必定有界，也就是說積分變數  ${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}$ 是落在 $L_{LOC}^2$，亦即滿足下式
\[
\int_0^t \left ( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)^2 ds < \infty
\]
故 Ito integral $\int_0^t {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} d{B_s}$為一個Local Martingale。

另外如果假設 $(2)$ 成立；亦即
\[
E \left[\int_0^t \left ( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)^2 ds \right] < \infty
\]則積分變數 ${\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)}\in \mathcal{H}^2$，故
Ito integral $\int_0^t {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} d{B_s}$為一個 Martingale。 $\square$


Example (Ruin Problem)
令 $B_t$ 為 標準布朗運動，定義一個隨機過程 $X_t$符合下式
\[
X_t := \mu t + \sigma B_t
\]
其中 $\mu \in \mathbb{R}$； $\sigma>0$；$A,B >0$。且定義停止時間
\[
\tau := \inf\{ t>0 : X_t = A \ or \ X_t = -B\}
\]計算 $P(X_{\tau} = A ) =?$

Comment:
上述隨機過程 $X_t := \mu t + \sigma B_t $ 一般稱之為 Arithmetic Brownian Motion。

Solution:
想法如下：
如果我們可以找到一個函數 $h(X_t)$ 使其為 Martingale (透過滿足 Martingale PDE condtion Theorem)，則利用 Martingale的性質我們知道
\[
 E[h(X_0)] = E[h(X_{\tau})]
\]又因為 $E[h(X_{\tau})] = h(A)P(X_{\tau} = A) + h(-B) P(X_{\tau}=-B)$，故
\[
 E[h(X_0)] = E[h(X_{\tau})] = h(A)P(X_{\tau} = A) + h(-B) P(X_{\tau}=-B)
\]又我們可以知道$h(A)$ 與 $h(-B)$，故即可解得 $P(X_{\tau} = A) $。

以下開始逐步求解：

為了要找出$h(X_t)$，我們令
$f(t,x):=h( \mu t + \sigma x)$，則 $f(t,B_t) = h( \mu t + \sigma B_t) = h(X_t)$

現在透過 Martingale PDE condition $(1)$：
\[
\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} =0 \ \ \ \ (**)
\]為了求解簡便起見，令 $z := \mu t + \sigma x $，則
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial f}}{{\partial t}} = \frac{{\partial h}}{{\partial z}}\frac{{\partial z}}{{\partial t}} = \frac{{dh}}{{dz}}\mu \\
\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{\partial h}}{{\partial z}}\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \frac{{dh}}{{dz}}\sigma \\
\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} = {\sigma ^2}\frac{{{d^2}h}}{{d{z^2}}}
\end{array} \right.\]則我們的 $(**)$ 變成
\[\begin{array}{l}
\frac{{dh}}{{dz}}\mu  + \frac{1}{2}{\sigma ^2}\frac{{{d^2}h}}{{d{z^2}}} = 0\\
 \Rightarrow h''\left( z \right) = \frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}h'\left( z \right) \\
\Rightarrow \frac{{h''}}{{h'}}\left( z \right) = \frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\\
 \Rightarrow {\left( {\ln \left( {h'\left( z \right)} \right)} \right)^\prime } = \frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\\
 \Rightarrow \ln \left( {h'\left( z \right)} \right) = \frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}z + C\\
 \Rightarrow h'\left( z \right) = {C_1}{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}z}}\\
 \Rightarrow h\left( z \right) = {C_2}{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}z}} + {C_3}\\
 \Rightarrow f\left( {t,x} \right) = h\left( {\mu t + \sigma x} \right) = {C_2}{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( {\mu t + \sigma x} \right)}} + {C_3} \ \ \ \ (\star \star)
\end{array}
\]再來我們透過 Martingale PDE condition $(2)$，計算 $L^2$-norm
\[\begin{array}{l}
E\left[ {\int_0^t {{{\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)}^2}} ds} \right]  \\
 \Rightarrow E\left[ {\int_0^t {{{\left( {\frac{{dh}}{{dz}}\sigma } \right)}^2}} ds} \right]= {\sigma ^2}E\left[ {{{\int_0^t {\left( {\frac{{dh}}{{dz}}} \right)} }^2}ds} \right]
\end{array}
\]由 $(\star \star)$，我們知道
\[
h\left( z \right) = {C_2}{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( z \right)}} + {C_3} \Rightarrow \frac{{dh}}{{dz}} = {C_4}{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( z \right)}}
\]，故我們可得到
\[
\begin{array}{l}
\Rightarrow E\left[ {\int_0^t {{{\left( {\frac{{dh}}{{dz}}\sigma } \right)}^2}} ds} \right] = {\sigma ^2}E\left[ {{{\int_0^t {\left( {{C_4}{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( z \right)}}} \right)} }^2}ds} \right]\\
 \Rightarrow {C_5}E\left[ {\int_0^t {{e^{\frac{{ - 4\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( {\mu s + \sigma {B_s}} \right)}}ds} } \right] = {C_5}E\left[ {\int_0^t {{e^{\frac{{ - 4\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( {\mu s} \right)}}{e^{\frac{{ - 4\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( {\sigma {B_s}} \right)}}ds} } \right]\\
 \Rightarrow {C_5}E\left[ {\int_0^t {\underbrace {{e^{\frac{{ - 4\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( {\mu s} \right)}}}_{ \le 1}{e^{\frac{{ - 4\mu }}{\sigma }\left( {{B_s}} \right)}}ds} } \right] \le {C_5}E\left[ {\int_0^t {{e^{\frac{{ - 4\mu }}{\sigma }\left( {{B_s}} \right)}}ds} } \right]\\
 \Rightarrow {C_5}E\left[ {\int_0^t {\underbrace {{e^{\frac{{ - 4\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( {\mu s} \right)}}}_{ \le 1}{e^{\frac{{ - 4\mu }}{\sigma }\left( {{B_s}} \right)}}ds} } \right] \le {C_5}\int_0^t {E\left[ {{e^{\frac{{ - 4\mu }}{\sigma }\left( {{B_s}} \right)}}} \right]ds}
\end{array}
\]注意到 ${E\left[ {{e^{\frac{{ - 4\mu }}{\sigma }\left( {{B_s}} \right)}}} \right]}$ 為 Gaussian Random Variable的 Moment Generating Function，亦即
\[
E\left[ {{e^{\frac{{ - 4\mu }}{\sigma }\left( {{B_s}} \right)}}} \right] = {e^{\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{ - 4\mu }}{\sigma }} \right)}^2}s}}
\]故，
\[
E\left[ {\int_0^t {{{\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)} \right)}^2}} ds} \right] \leq {C_5}\int_0^t {{e^{\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{ - 4\mu }}{\sigma }} \right)}^2}s}}ds}   < \infty
\]，至此我們知道
\[
f\left( {t,{B_t}} \right) = h\left( {\mu t + \sigma {B_t}} \right) = h(X_t)= {C_2}{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( {\mu t + \sigma {B_t}} \right)}} + {C_3}
\] 為Martingale。

由於 $ h(X_t) $ 為Martingale $\Rightarrow$ $h(X_{t \wedge \tau})$亦為 Martingale。
\[
E[h(X_0)] = E[h(X_{t \wedge \tau})]
\]且因為$h(X_t)$有界 (bounded by A or -B)；亦即
\[
|h(X_{t \wedge \tau}) | \leq \max_{-B \leq x \leq A} h(x)
\]
，故由Dominated Convergence Theorem，我們知道當 $t \rightarrow \infty$，
\[
E[h(X_0)] = E[h(X_{t \wedge \tau})] \rightarrow E[h(X_{\tau})]
\]也就是說
\[
 E[h(X_0)] = E[h(X_{\tau})] \ \ \ \ (**)
\]
且我們知道 $E[h(X_{\tau})] = h(A) P(X_{\tau} =A) + h(-B) P(X_{\tau} = -B)$，又
$X_0 = 0$ 故 $ h (X_0) = h(0) \Rightarrow E[h(X_0)] = E[h(0)] =h(0) $
現在我們可以求解 $(**)$如下
\[
E[h(X_0)] = E[h(X_{\tau})] \Rightarrow h(0) =h(A) P(X_{\tau} =A) + h(-B) P(X_{\tau} = -B)
\]
因為我們要求 $P(X_{\tau}=A)$故令邊界條件 $h(A) =1, h(-B)=0$；故上式改寫
\[
E[h(X_0)] = E[h(X_{\tau})] \Rightarrow h(0) =1 \cdot P(X_{\tau} =A)  \ \ \ \ (\star \star)
\]且由先前計算得到的
\[
h(z) = {C_2}{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( z \right)}} + {C_3}
\]
透過邊界條件 $h(A) =1, h(-B)=0$，我們可解 $C_2, C_3$如下
\[\begin{array}{l}
h(z) = \frac{1}{{{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}A}} - {e^{\frac{{2\mu }}{{{\sigma ^2}}}B}}}}{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( z \right)}} + \frac{{ - {e^{\frac{{2\mu }}{{{\sigma ^2}}}B}}}}{{{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}A}} - {e^{\frac{{2\mu }}{{{\sigma ^2}}}B}}}} = \frac{{{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}\left( z \right)}} - {e^{\frac{{2\mu }}{{{\sigma ^2}}}B}}}}{{{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}A}} - {e^{\frac{{2\mu }}{{{\sigma ^2}}}B}}}}\\
 \Rightarrow h(0) = \frac{{1 - {e^{\frac{{2\mu }}{{{\sigma ^2}}}B}}}}{{{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}A}} - {e^{\frac{{2\mu }}{{{\sigma ^2}}}B}}}}
\end{array}\]
現在比較上式與 $(\star \star)$，我們得到
\[\begin{array}{l}
h(0) = 1 \cdot P({X_\tau } = A)\\
 \Rightarrow \;\frac{{1 - {e^{\frac{{2\mu }}{{{\sigma ^2}}}B}}}}{{{e^{\frac{{ - 2\mu }}{{{\sigma ^2}}}A}} - {e^{\frac{{2\mu }}{{{\sigma ^2}}}B}}}} = P({X_\tau } = A)
\end{array}\]
即為所求。 $\square$

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer

B. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications 6th, Springer

[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (1) - Two variables case

回憶我們在上一篇
[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (0) -Simplest Case
所提出的問題先前問題，考慮
\[
M_t := \exp(\alpha B_t - \alpha^2 t/2)
\]我們想要計算此Ito Integral
\[
\int_0^t M_s dB_s =?
\]注意到上式隨機積分中的積分變數 $M_t$ 不只是 $B_t$ 的函數，亦為 $t$的函數(亦即 $M_t = f(t, B_t)$ 為雙變數函數) 故原本的 simplest form of Ito formula  沒辦法直接應用，我們需要進一步修正Ito formula來讓我們可以對付 這種情況。

在修正Ito Formula 之前我們先定義下列函數

Definition: ($f \in \mathcal{C}^{m,n}(\mathbb{R^+} \times \mathbb{R})$)
考慮函數 $(t,x)  \mapsto f(t,x) \in \mathbb{R}$，且其對 $t$ 存在 $m$ 階導數且連續，對 $x$ 存在 $n$ 階導數且連續，則我們稱此函數 $f \in \mathcal{C}^{m,n}(\mathbb{R^+} \times \mathbb{R})$

有了上面的定義，我們可以著手拓展Ito formula到雙變數函數 如下

=================
Theorem (Ito's Formula with Space and Time Variables)
對任意函數 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$，則對應的 Ito's formula 為
\[
\small{
f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)ds +  \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right) dB_s +  \frac{1}{2}\int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {s,{B_s}} \right)ds }
\]=================
Proof: omitted.

有了上面的定理，我們現在可以再回頭瞧瞧原本無法解決的例子：

Example
考慮 $M_t := \exp(\alpha B_t - \alpha^2 t/2)$，試求 $\int_0^t M_s dB_s=?$

Solution
首先定義函數
\[
f\left( {t,x} \right): = \exp (\alpha x - {\alpha ^2}t/2)
\] 且
\[\begin{array}{l}
\frac{\partial }{{\partial t}}f\left( {t,x} \right) = {e^{\alpha x}}{e^{ - {\alpha ^2}t/2}}\left( {\frac{{ - {\alpha ^2}}}{2}} \right)\\
\frac{\partial }{{\partial x}}f\left( {t,x} \right) = {e^{ - {\alpha ^2}t/2}}{e^{\alpha x}}\alpha \\
\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}f\left( {t,x} \right) = {\alpha ^2}{e^{ - {\alpha ^2}t/2}}{e^{\alpha x}}

\end{array}
\] 由 "Ito's Formula with Space and Time Variables"，
\[
\small{
f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)ds +  \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right) dB_s +  \frac{1}{2}\int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {s,{B_s}} \right)ds }
\]可知
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\exp (\alpha {B_t} - {\alpha ^2}t/2) = 1 + \left( {\frac{{ - {\alpha ^2}}}{2}} \right)\int_0^t {{e^{\alpha {B_s}}}{e^{ - {\alpha ^2}s/2}}} ds}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \alpha \int_0^t {{e^{ - {\alpha ^2}s/2}}{e^{\alpha {B_s}}}} d{B_s} + \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\int_0^t {{e^{ - {\alpha ^2}s/2}}{e^{\alpha {B_s}}}} ds}\\
{ \Rightarrow \frac{1}{\alpha }\left( {\exp (\alpha {B_t} - {\alpha ^2}t/2) - 1} \right) = \int_0^t {{e^{\alpha {B_s}}}{e^{ - {\alpha ^2}s/2}}} d{B_s}}\\
{ \Rightarrow {M_t} = 1 + \alpha \int_0^t {{M_t}} d{B_s}}
\end{array}\]
故
\[{\int_0^t {{M_t}} d{B_s} = \frac{1}{\alpha }\left( {{M_t} - 1} \right)} \ \ \ \ \square
\]

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer

[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (0) -Simplest Case

在微積分中，我們計算的時候大多仰賴 微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)。那麼我們想問在建立隨機分析之後，是否也有類似的結果呢?

答案是肯定的。在隨機分析中這樣的結果稱作Ito formula 或者 Ito Lemma

Theorem (Ito Formula - simplest Case)
若 $f : \mathbb{R}  \rightarrow  \mathbb{R}$ 且 $f \in \mathcal{C}^2$則
\[
f(B_t) = f(B_0) + \int_0^t f'(B_s) dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_t) ds \ \ \ \ (*)
\]
Comments:
1. 注意到如果上式 第二個積分 $\frac{1}{2}\int_0^t f''(B_t) ds=0$ (NOT Ito integral, but Lebesgue integral)的話，則我們確實回到的微積分基本定理。故第二項積分又稱 Ito correction term。
2. 注意到 第一個積分 $\int_0^t f'(B_s) dB_s $ (Ito integral) 為 zero mean，故此暗示了後方第二個積分必須要包含所有關於函數 $f(B_t)$ 漂移(drift)程度的資訊。
3. 注意到函數必須二階可微連續，亦即 $f \in \mathcal{C}^2$
4. 注意到 Ito Integral 有下列重要結果：Ito-integral 為一個隨機過程，且若 $f \in \mathcal{H}^2$，則隨機積分為一個 Martingale。若 $f \in L_{LOC}^2$，則隨機積分為一個 Local martingale。

這邊我們先不證明，先舉幾個例子看看這個Ito formula 在計算Ito Integral的威力。

Example 1
令 $B_t$為標準布朗運動，試求  $\int_0^t B_s dB_s = ?$

Solution
因為我們想要求  $ \int_0^t B_s dB_s$，故想法是希望透過應用 Ito formula 來為我們產生出此隨機積分項。此積分項出現在Ito formula 等號右邊的第二項 (一階導數的積分項)，故我們令 函數 $f(x) := x^2$，則 $f'(x)=2x, f''(x)=2$，故由Ito formula $(*)$ 可知
\[
B_t^2 = B_0^2 + \int_0^t 2B_s dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t 2 ds
\]
又因為 $B_t$ 為標準布朗運動 $B_0 =0$，我們可將上式整理如下
\[
2 \int_0^t B_s dB_s = B_t^2 -  \int_0^t ds
\]
亦即
\[
 \int_0^t B_s dB_s = \frac{1}{2}B_t^2 - \frac{1}{2}t. \ \ \ \ \square
\]

再看看這個例子。

Example 2
令 $B_t$為標準布朗運動，試求  $\int_0^t B_s^2 dB_s = ?$

Solution
令 函數 $f(x) := x^3$，則 $f'(x)=3x^2, f''(x)=6x$，故由Ito formula $(*)$ 可知
\[
B_t^3 = B_0^3 + \int_0^t 3B_s^2 dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t 6 B_s ds
\]
又因為 $B_t$ 為標準布朗運動 $B_0 =0$，我們可將上式整理如下
\[
3 \int_0^t B_s^2 dB_s = B_t^3 -3 \int_0^t  B_s ds
\]
亦即
\[
 \int_0^t B_s^2 dB_s = \frac{1}{3}B_t^3 - \int_0^t  B_s ds  \ \ \ \ \square
\]

注意到上式已經是最簡狀態，$\int_0^t  B_s ds$ 是path-wise Lebesgue integral 無法更進一步化簡。

Example 3
令 $B_t$為標準布朗運動，試求  $\int_0^t e^{B_s}dB_s = ?$

Solution
令 函數 $f(x) :=e^x$，則 $f'(x)= f''(x)= e^x$，故由Ito formula $(*)$ 可知
\[
e^{B_t} = e^{B_0} + \int_0^t e^{B_s} dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t e^{B_s} ds
\]
又因為 $B_t$ 為標準布朗運動 $B_0 =0$，我們可將上式整理如下
\[
\int_0^t e^{B_s} dB_s = e^{B_t}- e^{B_0} - \frac{1}{2}\int_0^t e^{B_s} ds
\]
亦即
\[
\int_0^t e^{B_s} dB_s = e^{B_t}- 1 - \frac{1}{2}\int_0^t e^{B_s} ds \ \ \ \ \square
\]

現在我們考慮一個稍微複雜一點的情況，定義
\[
M_t := \exp(\alpha B_t - \alpha^2 t/2)
\]如果我們想要計算 $\int_0^t M_s dB_s$ 是多少呢?

注意到上式子$M_t$ 不只是 $B_t$ 的函數，亦為 $t$的函數(亦即 $M_t = f(t, B_t)$) 故Ito fomula $(*)$ 沒辦法直接應用，我們需要進一步修正Ito formula來讓我們可以對付 這種情況。這我們會在下一篇再作介紹

==================
延伸閱讀
[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (1) - Two variables case

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer