[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (0) -Simplest Case

在微積分中，我們計算的時候大多仰賴 微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)。那麼我們想問在建立隨機分析之後，是否也有類似的結果呢?

答案是肯定的。在隨機分析中這樣的結果稱作Ito formula 或者 Ito Lemma

Theorem (Ito Formula - simplest Case)
若 $f : \mathbb{R}  \rightarrow  \mathbb{R}$ 且 $f \in \mathcal{C}^2$則
$$f(B_t) = f(B_0) + \int_0^t f'(B_s) dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t f''(B_t) ds \ \ \ \ (*)$$
Comments:
1. 注意到如果上式 第二個積分 $\frac{1}{2}\int_0^t f''(B_t) ds=0$ (NOT Ito integral, but Lebesgue integral)的話，則我們確實回到的微積分基本定理。故第二項積分又稱 Ito correction term。
2. 注意到 第一個積分 $\int_0^t f'(B_s) dB_s$ (Ito integral) 為 zero mean，故此暗示了後方第二個積分必須要包含所有關於函數 $f(B_t)$ 漂移(drift)程度的資訊。
3. 注意到函數必須二階可微連續，亦即 $f \in \mathcal{C}^2$
4. 注意到 Ito Integral 有下列重要結果：Ito-integral 為一個隨機過程，且若 $f \in \mathcal{H}^2$，則隨機積分為一個 Martingale。若 $f \in L_{LOC}^2$，則隨機積分為一個 Local martingale。

這邊我們先不證明，先舉幾個例子看看這個Ito formula 在計算Ito Integral的威力。

Example 1
令 $B_t$為標準布朗運動，試求  $\int_0^t B_s dB_s = ?$

Solution
因為我們想要求  $\int_0^t B_s dB_s$，故想法是希望透過應用 Ito formula 來為我們產生出此隨機積分項。此積分項出現在Ito formula 等號右邊的第二項 (一階導數的積分項)，故我們令 函數 $f(x) := x^2$，則 $f'(x)=2x, f''(x)=2$，故由Ito formula $(*)$ 可知
$$B_t^2 = B_0^2 + \int_0^t 2B_s dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t 2 ds$$
又因為 $B_t$ 為標準布朗運動 $B_0 =0$，我們可將上式整理如下
$$2 \int_0^t B_s dB_s = B_t^2 -  \int_0^t ds$$
亦即
$$\int_0^t B_s dB_s = \frac{1}{2}B_t^2 - \frac{1}{2}t. \ \ \ \ \square$$

再看看這個例子。

Example 2
令 $B_t$為標準布朗運動，試求  $\int_0^t B_s^2 dB_s = ?$

Solution
令 函數 $f(x) := x^3$，則 $f'(x)=3x^2, f''(x)=6x$，故由Ito formula $(*)$ 可知
$$B_t^3 = B_0^3 + \int_0^t 3B_s^2 dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t 6 B_s ds$$
又因為 $B_t$ 為標準布朗運動 $B_0 =0$，我們可將上式整理如下
$$3 \int_0^t B_s^2 dB_s = B_t^3 -3 \int_0^t  B_s ds$$
亦即
$$\int_0^t B_s^2 dB_s = \frac{1}{3}B_t^3 - \int_0^t  B_s ds  \ \ \ \ \square$$

注意到上式已經是最簡狀態，$\int_0^t  B_s ds$ 是path-wise Lebesgue integral 無法更進一步化簡。

Example 3
令 $B_t$為標準布朗運動，試求  $\int_0^t e^{B_s}dB_s = ?$

Solution
令 函數 $f(x) :=e^x$，則 $f'(x)= f''(x)= e^x$，故由Ito formula $(*)$ 可知
$$e^{B_t} = e^{B_0} + \int_0^t e^{B_s} dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t e^{B_s} ds$$
又因為 $B_t$ 為標準布朗運動 $B_0 =0$，我們可將上式整理如下
$$\int_0^t e^{B_s} dB_s = e^{B_t}- e^{B_0} - \frac{1}{2}\int_0^t e^{B_s} ds$$
亦即
$$\int_0^t e^{B_s} dB_s = e^{B_t}- 1 - \frac{1}{2}\int_0^t e^{B_s} ds \ \ \ \ \square$$

現在我們考慮一個稍微複雜一點的情況，定義
$$M_t := \exp(\alpha B_t - \alpha^2 t/2)$$ 如果我們想要計算 $\int_0^t M_s dB_s$ 是多少呢?

注意到上式子$M_t$ 不只是 $B_t$ 的函數，亦為 $t$的函數(亦即 $M_t = f(t, B_t)$) 故Ito fomula $(*)$ 沒辦法直接應用，我們需要進一步修正Ito formula來讓我們可以對付 這種情況。這我們會在下一篇再作介紹

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延伸閱讀
[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (1) - Two variables case

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer