[隨機分析] Ito-formula 與其應用 (3) - Differential form of the Ito formula and the Standard stochastic process

延續前篇，回憶我們手上有的雙變數 Ito formula for standard Brownian motion $B_t$ 。

若 $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$，則我們有 Ito formula
\[ \small
f(t,B_t) = f(0,B_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{B_s}} \right)d{s} + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{B_s}} \right)d{B_s} + \frac{1}{2} \int_0^t \frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {s,{B_s}} \right)d{s}
\]
一般而言上述形式過於冗長，文獻中多半將上式改寫為微分形式如下
\[
df(t,B_t) = \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {t,{B_t}} \right)d{t} + \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {t,{B_t}} \right)d{B_t} +  \frac{1}{2}\frac{{\partial^2 f}}{{\partial x^2}}\left( {t,{B_t}} \right)d{t}
\]

Comments:
上式微分形式僅為積分縮寫，亦即微分形式的Ito formula是 書寫上較為方便，但並無實質定義。注意到當初在定義隨機積分 (Ito integral) 的時候，只有積分有嚴格定義 ( 用approximating sequence of step function in $\mathcal{H}_0^2$ 定義隨機積分，接著用 Density Lemma 拓展隨機積分到$\mathcal{H}^2$ space。)，故並無微分的定義。

 WHY? 因為 注意到微分形式需要 $dB_t$ 但是回憶標準布朗運動，我們知道$B_t$ 為連續函數但處處不可微分( but quadratic variation is finite in probability)。故無法定義布朗運動的"微分"。


現在如果我們考慮一個隨機過程 $X_t $ 具有下列形式：
對 $t \in [0,T]$
\[
X_t(\omega) := X_0(\omega) + \int_0^t a(\omega, s) ds + \int_0^t b(\omega, s) dB_s \ \ \ \ (\star)
\]且為了讓上式是well-defined (也就是說可以討論積分後的值是多少而不是積分後會爆掉或者根本不存在此積分)，我們需要$X_0$為 $\mathcal{F}_0$-measurable，且$a, b$為 adapted, measurable 的隨機過程且滿足對 almost every $\omega$，
\[
\int_0^T |a(\omega, s)| ds + \int_0^T |b(\omega,s)| ^2 d s < \infty \ \text{almost surely}
\]亦即，$a(\omega, s) \in L^1$ 對所有的$\omega$ 與 $b(\omega,s) \in L_{LOC}^2$

則我們可將 $ (\star)$ 寫為微分形式如下
\[
dX_t = a(\omega,t)dt + b(\omega, t) dB_t \ \ \ \ (*)
\]

Comments:
1. $(\star)$ 與 $(*)$ 稱為 標準隨機過程(Standard Process) 或者稱為伊藤過程 Ito process

那麼現在有個簡單的問題：
我們手上有的Ito formula現在對標準布朗運動可以定義，那麼我們想知道是否可以把Ito formula拓展到對標準隨機過程也能成立呢?

答案是肯定的；我們將其寫作下面的定理

============================
Theorem ( Ito formula for Standard process )
對 $t \in [0,T]$，考慮  $f \in \mathcal{C}^{1,2}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R})$ 且 $\{ X_t 0 \leq t \leq T\}$ 為一個標準隨機過程符合下式：
\[
X_t(\omega) := X_0(\omega) + \int_0^t a(\omega, s) ds + \int_0^t b(\omega, s) dB_s
\]則我們有 Ito formula
\[ \small
f(t,X_t) = f(0,X_0) + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {s,{X_s}} \right)d{s} + \int_0^t \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {s,{X_s}} \right)d{X_s} \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +  \frac{1}{2}\int_0^t {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {s,{X_s}} \right)\underbrace {{b^2}(\omega ,s)ds}_{d{{\left\langle X \right\rangle }_s}}}
\]============================
Proof: omitted.

Comment: 
1. 上式中 ${{{\left\langle X \right\rangle }_t}}$ 稱為 Quadratic variation of $X_t$
\[
{{{\left\langle X \right\rangle }_t}} := \displaystyle \lim_{||\Delta|| \rightarrow 0} \sum_i (X_{t_i} - X_{t_{i-1}}) \ \text{in Probability}
\]其中 $\Delta := \{ 0 =t_0 < t_1 < ... < t_n = t\}$

2. 上式 Ito formula 可改寫為微分形式 (only for shorthand, no real definition on such differential form)
\[
df(t,X_t) = \frac{{\partial f}}{{\partial t}}\left( {t,{X_t}} \right) dt + \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\left( {t,{X_t}} \right) dX_t + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\left( {t,{X_t}} \right)d{X_t} \cdot d{X_t}
\]

ref: J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Chapter 8, Springer