[隨機分析] Ito Integral 淺談 (II) - 再論 Ito 積分的建構

回憶前篇 [隨機分析] Ito Integral 淺談 (I) - Ito 積分的建構與Ito Isometry property
，我們討論了在 $\mathcal{H}^2$ 空間 且固定時刻 $T$ 的隨機積分 的建構。
$$I_T(f)(\omega) = \int_0^T f(\omega, t) dB_t$$

現在我們進一步放寬固定時刻 $T$ 的限制。使其拓展到 任意時刻 $t < T$

在拓展積分之前我們先介紹一個方便使用的剪切函數 (truncation function) $m_t(\omega,s)$

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Definition: (Truncation function)
定義
$${m_t}\left( {\omega ,s} \right): = \left\{ \begin{array}{l} 1{,_{}} \ \ \ s \le t\\ 0{,_{}} \ \ \ s > t \end{array} \right.$$
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有了 $m_t(\omega,s)$ 後，現在給定 $f \in \mathcal{H}^2[0,T]$，對 $t<T$ 我們可以定義被剪切過的函數 $f$ 稱作 $f^{(t)}$ 如下：
$$f^{(t)}(\omega,s):=f(\omega,s) \cdot m_t(\omega,s)$$
接著我們說對應被剪切過函數的隨機積分  $I_t (f^{(t)}) = I_T(m_t \cdot f)$  almost surely.

Claim:  $f \in \mathcal{H}^2[0,T]$, $I_t (f^{(t)}) = I_T(m_t \cdot f)$  almost surely.

Proof
首先由於 $f \in \mathcal{H}^2$，由之前在第一篇提及的 LEMMA ( $\mathcal{H}_0^2$  $\text{is Dense in}$ $\mathcal{H}^2$) 可知，我們可以找到一組 approximating sequence $f_n \in \mathcal{H}_0^2$ 使得當 $n \rightarrow \infty$，
$$||f - f_n ||_{L^2{(dP \times dt)}} \rightarrow 0  \ \ \ \ (*)$$

又因為 $f_n \in \mathcal{H}_0^2$，由$\mathcal{H}_0^2$定義可知，此空間是由step function所構成，故 $f_n$ 為step function 並可表為下式 

$$f_n := \displaystyle \sum_{i=0} a_i^n (\omega) 1(t_i^n < t \leq t_{i+1}^n)$$
現在我們讓之前定義的 $m_t$  乘上 $f_n$ 可得 $f_n^{(t)}$
$$f_n^{(t)} := m_t \cdot f_n = \displaystyle \sum_{i=0} a_i^n (\omega) 1(t_i^n \wedge t < t \leq t_{i+1}^n \wedge t )$$
且由 $(*)$，我們知道 $||f - f_n ||_{L^2{(dP \times dt)}} \rightarrow 0$ 注意到如果將其乘上$m_t$ 對norm的結果並不影響，亦即 $||m_t f - m_t f_n ||_{L^2{(dP \times dt)}} \rightarrow 0$；

也就是說
$$f_n^{(t)} := m_t \cdot f_n \rightarrow m_t \cdot f := f^{(t)} \ \ \text {by  definition  of  $m_t$}$$

另一方面，因為我們知道如何計算 $f_n$的隨機積分，亦即
$$I_T(f_n)(\omega) := \displaystyle \sum_{i=0} a_i^n (\omega) \{B_{t_{i+1}^n} - B_{t_i}^n \}$$
故把 $f_n$剪切過後的隨機積分亦可計算如下
$$\left\{ \begin{array}{l} {I_T}({m_t} \cdot {f_n})(\omega ) \to {I_T}({m_t} \cdot f)(\omega )\;\\ {I_t}(f_n^{(t)})(\omega ) \to {I_t}({f^{(t)}})(\omega ) \end{array} \right.$$
上述 Limit 是 in $L^2$ sense。故我們得到
$$I_T(m_t \cdot f)(\omega) = I_t(f^{(t)})(\omega)$$ 在 $L^2$-sense
又因為 $L^2$-convergence $\Rightarrow$ Probability-convergence $\Rightarrow$ 存在 subsequence 使得 almost surely convergence。再由 Limit 唯一性，可知
$$I_T(m_t \cdot f)(\omega) = I_t(f^{(t)})(\omega)$$ almost surely. $\square$

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延伸閱讀
[隨機分析] Ito Integral 淺談 (III) - Localization

ref:
J. M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer