謝宗翰的隨筆

泰勒展開 (Taylor Expansion) 的目的：試圖將 (足夠平滑) 函數 透過 多項式 近似   NOTE: 在此我們說足夠平滑，意思是指 導數存在。 Comment: 讀者可能學過所謂的 Fourier Series ，其基本概念是試圖將函數透過 "三角函數" 近似。 Taylor Expansion (or Taylor Polynomial) 考慮某函數一階導數存在，則我們可以透過 一階多項式來近似 $f(x)$ 如下： $$f(x) \approx a + bx$$ 則我們現在可觀察到在 $x =0$ 處， $f(0) = a$ 且其一階導數 $f'(0) = b$ 故事實上可寫 \[ f(x) \approx f(0) + f'(0) x \]上式稱為 $f(x)$ 的 $1$ 階 Taylor Expansion 再者若此函數二階導數存在，且打算將其表為二階多項式如下： $$f(x) \approx a + bx + c x^2$$ 則同理，我們可觀察在 $x =0$ 處， $f(0) = a$ 且其一階導數 $f'(0) = b$ ， 二階導數 $f''(0) = 2c$故事實上可寫 \[\begin{array}{l} f(x) \approx a + bx + c{x^2}\\  \Rightarrow f(x) \approx f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right)x + \frac{{f''\left( 0 \right)}}{2}{x^2} \end{array} \]上式稱為 $f(x)$ 的 $2$ 階 Taylor Expansion 接著我們再重複做一次上述近似，再者若此函數 三階導數存在 ，我們可將其表為三階多項式形式如下： $$f(x) \approx a + bx + c x^2 + d x^3 $$同理，觀察在 $x =0$ 處， $f(0) = a$ 且其一階導數 $f'(0) = b$ ， 二階導數 $f''(0) = 2c$；三階導數 $f'''(0) = 3 \cdot 2 d$ 故事實上可寫

Definition: Exponential Random Variable 令 $\tau$ 為 隨機變數 且其 機率密度(probability density) 滿足 \[f_\tau\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l} \lambda {e^{ - \lambda t}},\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}t \ge 0\\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array}t < 0 \end{array} \right.\]其中 $\lambda >0$ 為常數。則我們說 $\tau$ 為 exponential distribution 或者說 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數 Example: 令 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數，試計算 $E [\tau ]=?$ (hint: 利用 integration by part) Solution: 由期望值定義，\[\begin{array}{l} E[\tau]  = \int_0^\infty  {tf\left( t \right)dt}  = \lambda \int_0^\infty  {t{e^{ - \lambda t}}dt} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}\; \end{array} = \lambda \left[ {\left. {t\frac{{ - 1}}{\lambda }{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  - \left( {\int_0^\infty  {\frac{{ - 1}}{\lambda }{e^{ - \lambda t}}dt} } \right)} \right]\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}\; \end{array} = \left. { - t{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  + \frac{1}{{ - \lam