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[微積分] Taylor Expansion and Taylor Series

泰勒展開 (Taylor Expansion) 的目的:試圖將 (足夠平滑) 函數 透過 多項式近似
NOTE: 在此我們說足夠平滑,意思是指 導數存在。

Comment:
讀者可能學過所謂的 Fourier Series ,其基本概念是試圖將函數透過 "三角函數" 近似。



Taylor Expansion (or Taylor Polynomial)
考慮某函數一階導數存在,則我們可以透過 一階多項式來近似 $f(x)$ 如下:
$$f(x) \approx a + bx$$ 則我們現在可觀察到在 $x =0$ 處, $f(0) = a$ 且其一階導數 $f'(0) = b$ 故事實上可寫
\[
f(x) \approx f(0) + f'(0) x
\]上式稱為 $f(x)$ 的 $1$ 階 Taylor Expansion

再者若此函數二階導數存在,且打算將其表為二階多項式如下: $$f(x) \approx a + bx + c x^2$$ 則同理,我們可觀察在 $x =0$ 處, $f(0) = a$ 且其一階導數 $f'(0) = b$ , 二階導數 $f''(0) = 2c$故事實上可寫
\[\begin{array}{l}
f(x) \approx a + bx + c{x^2}\\
 \Rightarrow f(x) \approx f\left( 0 \right) + f'\left( 0 \right)x + \frac{{f''\left( 0 \right)}}{2}{x^2}
\end{array}
\]上式稱為 $f(x)$ 的 $2$ 階 Taylor Expansion

接著我們再重複做一次上述近似,再者若此函數 三階導數存在 ,我們可將其表為三階多項式形式如下: $$f(x) \approx a + bx + c x^2 + d x^3
$$同理,觀察在 $x =0$ 處, $f(0) = a$ 且其一階導數 $f'(0) = b$ , 二階導數 $f''(0) = 2c$;三階導數 $f'''(0) = 3 \cdot 2 d$ 故事實上可寫
\[\begin{array}{l}
f(x) \appr…

[機率論] Exponential Random Variables

Definition: Exponential Random Variable
令 $\tau$ 為 隨機變數 且其 機率密度(probability density) 滿足
\[f_\tau\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l}
\lambda {e^{ - \lambda t}},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t \ge 0\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}t < 0
\end{array} \right.\]其中 $\lambda >0$ 為常數。則我們說 $\tau$ 為 exponential distribution 或者說 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數


Example:
令 $\tau$ 為 Exponential 隨機變數,試計算 $E [\tau ]=?$ (hint: 利用 integration by part)

Solution:
由期望值定義,\[\begin{array}{l}
E[\tau]  = \int_0^\infty  {tf\left( t \right)dt}  = \lambda \int_0^\infty  {t{e^{ - \lambda t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}\;
\end{array} = \lambda \left[ {\left. {t\frac{{ - 1}}{\lambda }{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  - \left( {\int_0^\infty  {\frac{{ - 1}}{\lambda }{e^{ - \lambda t}}dt} } \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}\;
\end{array} = \left. { - t{e^{ - \lambda t}}} \right|_0^\infty  + \frac{1}{{ - \lambda }}\left. {{e^{ - \la…