這次要介紹機率論中一個重要的概念:期望值 (Expectation),本質上期望值被視為一個 Lebesgue 積分。更進一步地說就是在較抽象的高等機率論中, 期望值被定義為對某機率測度 (Probability measure, $P$ ) 的 Lebesgue 積分 。亦即 考慮機率空間為 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$,則 $E[X]$ 具有如下形式: \[ E[X] := \int_{\Omega} X d P = \int_\Omega X(\omega) P(d\omega) \] 我們由 Simple Function 出發 逐步建構 Lebesgue integral: Step 1: Simple function 的期望值: 首先,我們定義 $X$ 為一個 simple function。亦即此函數可由 可測集合 (measurable sets $A_i$ ) 的 Indicator function 所組成。我們將其寫作是 Finite sum 如下: \[ X = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_i 1_{A_i} \]其中 $c_i \in \mathbb{R}$, $A_i \in \mathcal{F}$ 且 \[{1_A}\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l} 1,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}if\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x \in A\\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}if\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x \notin A \end{array} \right.\]則我們定義 對此 Simple function $X$ 的期望值 (或稱對此 Simple function 的 Integral)為 \[ E[X] := \int X dP := \sum_{i=1}^n c_i P( \{A_i\} ) \]接著,我們定義對 非負隨機變數 的期望值: Step 2: 非負隨
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya