首先定義需要用到的符號：
S0:= 當前股價 (at time 0)
ST:= 到期股價 (at time T)
F0:= 當前期貨價格(at time 0)
FT:= 到期期貨價格 (at time T)
T:= 到期時間 (以年計算)
r:= 無風險年利率 (連續複利)
D:= 配發股息
q:= 配法股息利率 (連續複利)
無套利機會 (No-Arbitrage Opportunity ) 的遠期契約價格
F∗0=S0e(r−q)T上式等價
F∗0erT=S0−PV(D)+PV(Cost)
現在考慮下面例子：
Example 1
考慮一個六個月股票遠期契約，且配發年股息 3.96%，當前股價為 25，無風險年利率為 10%，且股息與利率皆為連續複利。
(a) 試求 無套利價格 F∗0=?
(b) 假設 F0=27，是否存在套利機會?
Solution (a)
首先改寫已知資訊
T=6/12,q=0.0396,S0=25,r=0.1計算無套利價格
F∗0=S0e(r−q)T=25e(0.1−0.0396)×612=25.766
Solution (b)
由於 F0=27>F∗0=25.766，故存在套利機會 (存在買低賣高的機會)：
也就是說 現階段的 遠期契約價格高於合理價格，我們可以賣出 (Short) 此遠期契約，並透過借款買入當前股票達成套利
TodayAtExpirationShortForward0+F0−STLongStock−S0e−qTSTBorrow$+S0e−qT−(S0e−qT)erTTotalGain0F0−S0e(r−q)T⇒TodayAtExpirationShortForward0+27−STLongStock−24.51STBorrow$+24.51−25.766TotalGain01.2340
Example 2
考慮一個 10 個月股票遠期契約，當前股價為 50，且已知會在第6個月配發股息 5 元。且6個月無風險年利率為 4%，10個月無風險年利率為 5% 。皆為連續複利。
(a) 試求 無套利價格 F∗0=?
(b) 假設 F0=52，是否存在套利機會?
(c) 假設 F0=45，是否存在套利機會?
Solution (a)
首先改寫已知資訊
T=10/12,D=5,S0=50,r10=0.05,r6=0.04計算無套利價格
F∗0erT=S0−PV(D)+PV(Cost)⇒F∗0e0.05×1012=50−5e−0.04×612+0⇒F∗0=47.02
T=10/12,D=5,S0=50,r10=0.05,r6=0.04計算無套利價格
F∗0erT=S0−PV(D)+PV(Cost)⇒F∗0e0.05×1012=50−5e−0.04×612+0⇒F∗0=47.02
Solution (b)
由於 F0=52>F∗0=47.02，故存在套利機會 (存在買低賣高的機會)：
現階段的 遠期契約價格高於合理價格，我們可以賣出 (Short) 此遠期契約，並透過借款買入當前股票達成套利
Today6monthAtExpiration(10month)ShortForward00+F0−STLongStock−S0+DSTBorrow$+S0−De−r4T0−(S0−De−r4T)er10Tborrow$D+De−r4T−D0TotalGain00+F0−(S0−De−r4T)er10T⇒Today6monthAtExpiration(10month)ShortForward00+52−STLongStock−50+5STBorrow$50−4.90−(45.1)er10Tborrow$D4.90−50TotalGain004.9811
Solution (c)
由於 F0=45<F∗0=47.02，故存在套利機會 (存在買低賣高的機會)：
現階段的 遠期契約價格低於合理價格，我們可以買入 (Long) 此遠期契約，並透過賣出當前股票達成套利
Today6monthAtExpiration(10month)LongForward00+ST−F0ShortStock+S0−D−STinvest$−(S0−De−r4T)0+(S0−De−r4T)er10Tinvest$D−De−r4T+D0TotalGain00+(S0−De−r4T)er10T−F0⇒Today6monthAtExpiration(10month)LongForward00+ST−45ShortStock50−5−STinvest$−(45.1)0+(45.1)e0.05×1012invest$D−4.90+50TotalGain002.0189
現階段的 遠期契約價格高於合理價格，我們可以賣出 (Short) 此遠期契約，並透過借款買入當前股票達成套利
Today6monthAtExpiration(10month)ShortForward00+F0−STLongStock−S0+DSTBorrow$+S0−De−r4T0−(S0−De−r4T)er10Tborrow$D+De−r4T−D0TotalGain00+F0−(S0−De−r4T)er10T⇒Today6monthAtExpiration(10month)ShortForward00+52−STLongStock−50+5STBorrow$50−4.90−(45.1)er10Tborrow$D4.90−50TotalGain004.9811
Solution (c)
由於 F0=45<F∗0=47.02，故存在套利機會 (存在買低賣高的機會)：
現階段的 遠期契約價格低於合理價格，我們可以買入 (Long) 此遠期契約，並透過賣出當前股票達成套利
Today6monthAtExpiration(10month)LongForward00+ST−F0ShortStock+S0−D−STinvest$−(S0−De−r4T)0+(S0−De−r4T)er10Tinvest$D−De−r4T+D0TotalGain00+(S0−De−r4T)er10T−F0⇒Today6monthAtExpiration(10month)LongForward00+ST−45ShortStock50−5−STinvest$−(45.1)0+(45.1)e0.05×1012invest$D−4.90+50TotalGain002.0189
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