這次是介紹一個重要的積分不等式 (格朗沃爾不等式) Gronwall's inequality;此不等式提出了對於滿足某(微)積分方程的函數,有相應的(微)積分不等式。
此不等式在微分方程 與 隨機微分方程的的求解中扮演重要的腳色。是十分強大的數學工具。
========================
FACT: (Gronwall's inequality)
考慮 $t \in [0,T]$,且 $g \in L^1[0,T]$,若 $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ ,則
\[
g(t) \leq B \cdot e^{C (t-t_0)}
\]========================
Proof
設 $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ ,我們需要證明
\[
g(t) \leq B \cdot e^{C (t-t_0)}
\]已知
\[\begin{array}{l}
\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) = - C{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} + {e^{ - Ct}}g\left( t \right)\\
\Rightarrow \frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) = {e^{ - Ct}}\left[ {g\left( t \right) - C\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right]
\end{array}
\]由我們的假設 $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ 可知
\[\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) \le B \cdot {e^{ - Ct}}
\]兩邊同積分,可得
\[\begin{array}{l}
\int_{{t_0}}^t {\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right)} ds \le B \cdot \int_{{t_0}}^t {{e^{ - Cs}}} ds\\
\Rightarrow {e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} \le B \int_{{t_0}}^t {{e^{ - Cs}}} ds = \frac{{ B \cdot }}{C}\left( {{e^{ - Ct}} - {e^{ - C{t_0}}}} \right)
\end{array}\]
亦即
\[ \Rightarrow \int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} \le B{e^{Ct}}\frac{{{{\rm{e}}^{ - C{t_0}}} - {{\rm{e}}^{ - Ct}}}}{C} = \frac{B}{C}\left( {{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}} - 1} \right)
\]現在把上式帶回我們的假設
\[\begin{array}{l}
g(t) \le C \cdot \int_{{t_0}}^t g (s)ds + B \le C \cdot \left( {\frac{B}{C}\left( {{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}} - 1} \right)} \right) + B = B{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}}\\
\Rightarrow g(t) \le B{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}}
\end{array}
\] 即為所求。$\square$
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya
訂閱:
張貼留言 (Atom)
[隨筆] A+焦慮的世代
接住A+世代學生 當了老師之後發現要"接住"學生確實不容易,撇開老師自身可能也有需要被接住的問題不談。我這幾年常常感受到這世代的學生們有著很大的徬徨,不太清楚未來的方向,但是卻有著非得要拿到A/A+不可的糾結,於是課優先選甜涼課,實習競賽投好投滿。好像看著同學...
-
數學上的 if and only if ( 此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。) 中文翻譯叫做 若且唯若 (or 當且僅當) , 記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛...
-
這次要介紹的是數學上一個重要的概念: Norm: 一般翻譯成 範數 (在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 No...
-
半導體中的電流是由電子(electron)及電洞(hole)兩種載子(carrier)移動所產生 載子移動的方式: 擴散(diffusion) $\Rightarrow$ 擴散電流 (不受外力電場作用) 飄移(drift) $\Rightarrow$ 飄移電流 (受外...
沒有留言:
張貼留言