[微分方程] Gronwall's inequality

這次是介紹一個重要的積分不等式 (格朗沃爾不等式) Gronwall's inequality；此不等式提出了對於滿足某(微)積分方程的函數，有相應的(微)積分不等式。

此不等式在微分方程 與 隨機微分方程的的求解中扮演重要的腳色。是十分強大的數學工具。

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FACT: (Gronwall's inequality)
考慮 $t \in [0,T]$，且 $g \in L^1[0,T]$，若 $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ ，則
$$g(t) \leq B \cdot e^{C (t-t_0)}$$ ========================

Proof
設 $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ ，我們需要證明
$$g(t) \leq B \cdot e^{C (t-t_0)}$$ 已知
$$\begin{array}{l} \frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) =  - C{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds}  + {e^{ - Ct}}g\left( t \right)\\  \Rightarrow \frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) = {e^{ - Ct}}\left[ {g\left( t \right) - C\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right] \end{array}$$ 由我們的假設  $g(t) \leq C \cdot \int_{t_0}^{t} g(s) ds + B$ 可知
$$\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right) \le B \cdot {e^{ - Ct}}$$ 兩邊同積分，可得
$$\begin{array}{l} \int_{{t_0}}^t {\frac{d}{{dt}}\left( {{e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds} } \right)} ds \le B \cdot \int_{{t_0}}^t {{e^{ - Cs}}} ds\\  \Rightarrow {e^{ - Ct}}\int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds}  \le B \int_{{t_0}}^t {{e^{ - Cs}}} ds  = \frac{{  B \cdot }}{C}\left( {{e^{ - Ct}} - {e^{ - C{t_0}}}} \right) \end{array}$$
亦即
$$\Rightarrow \int_{{t_0}}^t {g\left( s \right)ds}  \le B{e^{Ct}}\frac{{{{\rm{e}}^{ - C{t_0}}} - {{\rm{e}}^{ - Ct}}}}{C} = \frac{B}{C}\left( {{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}} - 1} \right)$$ 現在把上式帶回我們的假設
$$\begin{array}{l} g(t) \le C \cdot \int_{{t_0}}^t g (s)ds + B \le C \cdot \left( {\frac{B}{C}\left( {{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}} - 1} \right)} \right) + B = B{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}}\\  \Rightarrow g(t) \le B{e^{C\left( {t - {t_0}} \right)}} \end{array}$$ 即為所求。$\square$