(在機率論中 隨機變數 (random variable) 即為 可測函數，我們會在本文中稍作介紹 )
在介紹measurable function之前我們需要一些先導概念 (or building block) 來幫助我們。
首先是 空間 (Space) 的概念。
我們說一個 空間 X 其實就是任意(具有某種結構)的集合 (set)。
一般而言牽涉到測度是 因為我們想要在這個空間(集合) 上定義積分，故我們需要加上一些 (額外的) 結構 到這個空間來幫助我們定義積分。也就是所謂的 σ-algebra 與 測度 (measure)。透過這個結構我們可以來說明什麼是 可測函數。
現在我們先看看空間需要的結構，稱為 sigma-algebra or sigma-field。
以下給出 σ-algebra的定義：
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首先考慮 空間 X 的子集合(subset)，我們將這些子集合 收集起來形成一個集合；定義做A，我們稱 A為 collection of subsets of X
Definition : ( σ-algebra)
假設 A 為 collection of subsets of X ，則 A為 σ-algebra (或稱 σ-field)如果下列三個條件成立：
1. X∈A 且 ∅∈A (亦即整個space 與 空集合必須落在 A 中)
2. A∈A⇒Ac∈A (亦即 補集 必須落在 A 中)
3. 假設 {Ai} 為在 A 中的 可數 集合序列 (countable set of sequence)，則其聯集 ∪iAi∈A
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Comments:
1. 在機率論中，X 為 sampled space Ω，σ-algebra 為事件的集合 (事件為Ω的子集)。
2. 注意到上述條件 (3.)，對於不可數集合的聯集並不允許!!，亦即我們無法聯集任意(不可數)多個集合；另外若我們將條件 3 改成只允許 "有限個集合" 聯集，則此時 A 稱作一個 algebra (NOT σ-algebra )
4. 對數個 sigma-algebra 取 交集仍為 sigma-algebra。
5. 在機率論中，若樣本空間 Ω 為可數集合，則我們可以對其上任何子集 2Ω 皆可 指定對應測度，但若樣本空間為 無窮不可數集合 (uncountable set) ， 則我們很有可能無法對其上所有子集 定義對應的測度，但所幸我們可對 σ-algebra 所產生之子集定義測度，也就是透過 σ-algebra 的幫助，可以保證當我們做最大限度的集合的操作 (交集/聯集/差集/...) 之下所產生的 σ-algebra 的子集皆可被指定測度。
以下我們看幾個 σ-algebra 的例子
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Example:
令 X 為任意非空集合
1. 其 power set P(X) 與 {∅,X} 都為 σ algebra。
2. 若 X 為 uncountable，則下列集合
A:={E⊂X:E is countable or EC is countable}為 σ- algebra。
3. 若 A 為 X 中非空子集，則
A={∅,X,AC,A}為 σ- algebra。
4. 若 X 為 可數集合 (e.g., X=N)，則下列集合
A:={E⊂X:E is finite or EC is finite}不為 σ- algebra。
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Sigma-algebra generated by a set
若 E⊂P(X)，其中 P(X) 為 X 的 power set (表所有 X 的子集)， 則存在一個 smallest sigma-algebra σ(E) 包含 E。亦即 σ(E)=∩{C:E⊂C and C is a σ-algebra}========================
Proof
我們要證明 σ(E) 為 sigma-algebra。故由 sigma-algebra 定義
首先檢驗 ∅ 與 X 是否落在 σ(E) 中：由於
σ(E)=∩{C:E⊂C and C is a σ-algebra}且在 σ(E) 中的每一個元素 C 都為 sigma-algebra，由定義可知必定都具有 ∅ 與 X ，故可推知 ∅∈σ(E) 與 X∈σ(E)。
接著我們檢驗 補集性質：我們讓 A∈σ(E) ，則 A∈C,∀C∈σ(E) 又因為 C 都為 sigma-algebra，故 AC∈C,∀C∈σ(E) 亦即
AC∈σ(E)
最後我們檢驗 可數聯集性質：讓 {Ai} 為在 σ(E) 中的 可數 集合序列 (countable set of sequence)，則 Ai∈C,∀C∈σ(E)故我們若取聯集
⋃iAi∈σ(E) ◻
Example: Sigma-algebra generated by a family of open sets
令 X 為 metric space。
若 σ-algebra 是由一堆 X 中的 open sets 所形成的集合所產生，則我們稱此 σ-algebra 為 Borel σ-algebra 記做 BX。且 BX 的元素我們稱為 Borel sets 且由於其為透過 open sets 所產生，故 BX 包含 opne sets，closeed sets, 可數多個交集或者連集的open and closed sets。。
令 X:=R，則我們可以取 R 上的 open sets 建構 Borel sigma algebra BR
有了 sigma-algebra 作為空間的結構，我們便可以定義我們需要 (用作之後定義積分) 的空間，稱為 可測空間 (Measurable Space)
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若 X 為space 且 A 為 σ-algebra 滿足上述定義，則我們稱 有序配對 (X,A) 為一個 Measurable Space。
且σ-algebra A 中的元素稱為 Measurable sets。 (亦即 σ-algebra 為Measurable set)
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有了以上定義我們便可以介紹甚麼是可測函數
現在假設有兩個 Measurable space (X,A) 與 (Y,B)，並考慮有一個函數 f:X→Y，則我們說 f 為對 A的 可測函數 (measruable function) 如果下列條件成立：
若 對所有的 B∈B，其 inverse image 落在A中，亦即
f−1(B)={x∈X:f(x)∈B}={f∈B}∈A其中 B 為 Borel σ-algebra (亦即 B 為 最小的 σ-algebra 且包含 R 中所有 open subsets )
Comments:
1. 關於甚麼是 Inverse image 請參閱此文： [數學] Image and Preimage
2. 如果考慮機率空間 (Ω,F,P) (亦即 sampled space Ω，σ-algebra F，機率測度 P)，關於機率測度有興趣的讀者請參考：[數學]機率公理淺談(Axioms of Probability)
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Random Variable as a Measurable Function
隨機變數 Z:Ω→R 且滿足下列性質：對所有的 z∈R
{ω∈Ω:Z(ω)≤z}∈F
為什麼這樣定呢? 因為上述集合 {ω∈Ω:Z(ω)≤z}∈F ，也就是說是一個事件，既然是事件，我們便可以討論其對應的機率測度 P(Z≤z)=?。
另外如果我們比對前述 可測函數的定義，可發現這樣的函數 Z 為對 F 的 可測函數，亦即隨機變數為可測函數。
以下我們看一些例子：
Example 1:
設 (Ω,F,P) 為一個機率空間，則我們定義函數 Z:Ω→R 為 Z(ω)=c, 則此函數 Z 為一個隨機變數。
Proof
由隨機變數定義：給定 z∈R，我們要證明
{ω∈Ω:Z(ω)≤z}∈F現在觀察
{ω∈Ω:Z(ω)≤z}={ω∈Ω:c≤z}={Ω,c≤z∅,c>z由 Sigma-algebra 定義可知 ∅,Ω∈F。◻
Example 2:
設 (Ω,F,P) 為一個機率空間，令 A∈F 為一事件。 則我們定義函數 Z:Ω→R 為
Z:=IA(ω):={1,ω∈A0,ω∉A則此函數 Z 為一個可測函數。
Proof
我們這邊利用可測函數的定義：給定 B∈BR，我們要證明
{ω∈Ω:Z(ω)∈B}∈F現在觀察 {ω∈Ω:Z(ω)∈B}={ω∈Ω:IA(ω)∈B} 故我們可以用以下幾個情況來判斷：
if 0∈B,1∉B:⇒{ω∈Ω:ω∉A}=Ac∈Fif 1∈B,0∉B:⇒{ω∈Ω:ω∈A}=A∈Fif 0,1∈B:⇒{ω∈Ω:ω∈Ω}=Ω∈Fif 0,1∉B:⇒{ω∈Ω:ω∈∅}=∅∈F ◻
3. 如果我們考慮的是一組隨機變數，而不是單一個，比如說
{Z1,Z2,...,Zn} 為一組 collection of random variables。則我們需要考慮的是 smallest σ-algebra, 計作G 使得
對任意一個隨機變數 Zi 都是對 G 可測，亦即
對所有的 z∈R與 i=1,...,n
{ω∈Ω:Zi(ω)≤z}∈G 我們稱此 sub-σ algebra G 為 由 {Z1,Z2,...,Zn}所產生的 σ algebra，計做 σ{Z1,Z2,...,Zn}
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