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目前顯示的是 八月, 2010的文章

[線性系統] 對角化 與 Eigenvalues and Eigenvectors

首先我們給出相關定義

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Definition (Eigenvalue and Eigenvector)
設 $A$ 為 $n \times n$ 方陣,若存在一非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$ (or $\in \mathbb{C}^n$) 與 純量 $\lambda \in \mathbb{R}^1$ (or $\in \mathbb{C}^1$)滿足
\[
Ax = \lambda x
\]則我們稱 $\lambda$ 為 $A$ 的 特徵值 (eigenvalue) 且 $x$ 為 $A$對應於 $\lambda $ 的特徵向量(eigenvector)。
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Comments: 1. 上述定義中 $Ax = \lambda x$ 又稱 eigenvalue-eigenvector 關係: $( \lambda I - A)x =0$,注意! $0$ 為 零向量!!。
2. 若 $A$ 為 $n \times n$ 方陣,則我們稱下式 \[\det (\lambda I - A)\]為 $A$ 矩陣的 特徵多項式(characteristic polynomial) 且 $\det(\lambda I -A)=0$ 為特徵方程(characteristic equation)。
現在考慮 LTI 系統 (但無考慮外力 $u=0$) 以狀態空間表示
\[
\dot {x} = Ax,
\]其中 $x$ 為 $n \times 1$ 狀態向量,$A$ 為 $n \times n$ 常數矩陣。現在對上式取拉式轉換 且令初值為零,
\[sX\left( s \right) = AX\left( s \right) \Rightarrow \left( {sI - A} \right)X\left( s \right) = 0
\] 亦即對上述系統而言,其解特徵方程 (characteristic polynomial) 可寫為
\[
\det( s I - A) =0
\]且 特徵方程式的根 即為 eigenvalue。


對角化 (Diagonalization)

考慮  $A$ 為 $n$ 階方陣 ,且 $A$ 與 一個 對角矩陣(diagon…

[機率論] 隨機漫步- Wald's equation

這次要介紹 Random Walk + stopping time 的重要的結果,介紹之前我們需要一些先導概念

考慮 $T$ 為 stopping time,則 $ET =?$
注意到幾件事實:
1. 若 $P(T=\infty) >0$,則 $ET = \infty$
2. 若 $P(T = \infty)=0$ 且 $n \sum_n P(T=n) < \infty$ 若且唯若 $ET < \infty$
3. $P(T < \infty) = \sum_n^\infty P(T=n)$

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Theorem: Wald's Equation
令 $X_1, X_2,...$ 為 i.i.d. 且 $E|X_i| < \infty$,令 $S_n:=\sum_m^n X_m$。若 $N$ 為 stopping time 且 $EN < \infty $ 則 $ES_N = EX_1 EN$
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Proof:
首先假設 $X_i \ge 0$,觀察
\[E{S_N} = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {E\left[ {{S_n}{1_{N = n}}} \right]}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {E\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{X_k}{1_{N = n}}} } \right)} \]由於 $X_n \ge 0$ 故 利用 Fubini Theorem 我們可對調 summation 順序:
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sum\limits_{k = 1}^n {E{X_k}{1_{N = n}}} }  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\sum\limits_{n = k}^\infty  {E{X_k}{1_{N = n}}} } \]現在注意到 ${1_{\left\{ {N \ge k} \right\}}} = {1_{{{\left\{ {N \le k - 1} \right\}}^c}}} \in {F_{k - 1}}$ 由於 $X_k$ 為 independent,故 $X_k…

[半導體] 半導體的不均勻參雜 (Nonuniform doping) 與內建電場

回憶若半導體為均勻參雜(uniform doping),則
對於參雜 III 族元素(e.g., ) 而言,會得到 P-type 半導體,hole 為主要載子,濃度為 $p=N_A$
對於參雜 V 族元素而言,會得到 N-type 半導體,electron 為主要載子,濃度為 $n=N_D$

但現在若考慮參雜為不均勻分布,則對應的 $N_A, N_D$ 濃度將不再是固定常數,而是一個隨空間變化的函數,為了分析簡便我們這邊採用 1-Dimensional ,亦即 electron or hole 的濃度為 $x$ 的函數如下
\[
N_A(x), N_D(x)
\]現在令  $p^+(x)$ 表 電洞濃度,$N_A^-(x)$ 表對應的三價雜質的離子濃度。則此時我們不能再說電洞濃度 $p^+(x) = N_A^-(x)$ 或者 電子濃度 $n^-(x) = N_D^+(x)$,因為一旦成為了空間的函數,若濃度不均,就會產生 擴散效應 (diffusion ) 。

故在不均勻參雜的情況,我們有
\[\left\{ \begin{array}{l}
p\left( x \right) \approx {N_A}\left( x \right)\\
n\left( x \right) \approx {N_D}\left( x \right)
\end{array} \right.\]
現在我們以一個 開路 P-type 半導體為例
繪製濃度與空間的圖形如下:
上圖顯示了在 $N_A(x)$ 濃度較高處 (e.g., $x=x_1$),則我們有
\[
N_A^-(x) \ge p^+(x)
\]亦即此時的 淨電荷(net charge)為 負電荷。
在 $N_A(x)$ 濃度較低處 (e.g., $x=x_2$),則我們有
\[
N_A^-(x) \le p^+(x)
\]亦即此時的 淨電荷(net charge)為 正電荷。

故整體而言,雜質的濃度會在 $x_2$ 區域 積聚淨正電荷,並在 $x_1$ 區域積聚淨負電荷,此時便會產生內建電場 (build-in electric field) $\vec E(x)$,其方向會由正電荷指向負電荷方向 (濃度高指向濃度低) 如下圖所示

一旦產生此內建電場,便會對其中的半導體中的載子形成飄移電流(Drift current) …

[半導體] 霍爾量測 (Hall measurement)

現在考慮 N-type 半導體並且施加外力電場 $\vec E$ 與外力磁場 $\vec B$ 如下圖所示


由 N-type 定義 與 上圖我們知道:
1. N-type 半導體 電子為多數載子,電洞為少數載子。
2. 電子帶負電,由於受到外力電場 $\vec E$ 往 $+x$ 方向作用之下,電子會往 $-x$ 方向飄移(drift),在者電子亦受到外力磁場 $\vec B$ 往 $+y$ 方向作用,此時由右手定則 ($-x \times y = -z$) 但由於電子帶負電,故會產生向 $+z$ 方向的力在電子身上。也就是說電子受到合力為向 $-x$ 與 向 $+z$ 方向,故最後電子會逐漸積聚在 N-type 半導體的上板,如下圖結果


再由於上板積聚負電荷,最終導致下版產生感應正電荷如下


此時若我們量測 N-type 上下版的電壓 $v_H$,如下圖
則此時我們會得到 $v_H <0$ 我們稱此電壓為 Hall voltage,且這樣僅施加外力電場 與 外力磁場到 半導體上來量測電壓的方法稱作 Hall measurement。
注意到此時 carrier 為帶負電的 electrons 朝 $-x$ 方向飄移。

現在我們看看 P-type 半導體:
同樣對其施加外力電場 $\vec E$ 與外力磁場 $\vec B$ 如下圖所示

由 P-type 定義 與 上圖我們知道:
1. P-type 半導體 電洞 (hole) 為多數載子,電子 (electron) 為少數載子。
2. hole 帶正電,由於受到外力電場 $\vec E$ 往 $+x$ 方向作用之下,電洞會往 $+x$ 方向飄移(drift),在者電洞亦受到外力磁場 $\vec B$ 往 $+y$ 方向作用,此時由右手定則 ($x \times y = +z$) 且由於電洞帶正電,故最終會產生向 $+z$ 方向的力在電洞身上。也就是說電洞受到合力為向 $+x$ 與 向 $+z$ 方向,故最後帶正電的 hole 會逐漸積聚在 N-type 半導體的上板,且下版會產生感應負電荷,如下圖結果

此時若我們量測 P-type 上下版的電壓 $v_H$,如下圖

則此時我們會得到 Hall voltage, $v_H > 0$ 。此時 載子carrier 為 帶正電的電洞朝 $+x$ 方向飄移。

[半導體] 半導體中的電流- drift current & diffusion current

半導體中的電流是由電子(electron)及電洞(hole)兩種載子(carrier)移動所產生

載子移動的方式:
擴散(diffusion) $\Rightarrow$ 擴散電流 (不受外力電場作用)飄移(drift) $\Rightarrow$ 飄移電流 (受外力電場作用)擴散 與 擴散電流 現在定義電子濃度為 $n$,電洞濃度為 $p$,單位皆為  $(\#/{cm}^3)$
擴散電流(Diffusion Current) 若半導體中濃度分布不均就會產生擴散 (由濃度高流向濃度低),無關外力電場只與濃度 $p, n$ 的梯度 (gradient) $\frac{dp}{dx}$ 有關  
亦即,擴散電流 $ \propto \frac{\Delta p}{\Delta x}$
現在我們定義 電流方向 為 電荷 流動的方向,

則對於電子 electron 而言,由於其 帶負電,故當濃度高的電子往濃度低的電子擴散的時候,帶負電的電子移動產生 diffusion current,且此 diffusion current 的方向可如下圖所示

則對於電洞 hole 而言,由於其 帶電,故當濃度高的電洞往濃度低的電子擴散的時候,帶正電的電洞移動產生 diffusion current,且此 diffusion current 的方向可如下圖所示




現在我們定義電流密度(current density) $J$ 為 單位面積流過的電流 (單位: 安培/平方公分):
\[
J := \frac{I}{A}, \; (A/{cm^2})
\]
故我們現在可寫下對應 electron 與 hole 的擴散電流密度 diffusion current density $J_{diffusion}$ 如下
\[{J_{diffusion}} \propto \frac{{dp}}{{dx}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{J_{p,diffusion}} =  - q{D_p}\frac{{dp}}{{dx}}\\
{J_{n,diffusion}} = q{D_n}\frac{{dn}}{{dx}}
\end{array} \right.
\]其中 $D_p$ 表 電洞的擴散常數diffusion constant of hole; …

[數學分析] 淺談 Metric Space 與 點集拓墣 (1)

一般而言,若考慮 $x,y \in \mathbb{R}^1$,則此兩點 $x,y$ 間的距離 $d(x,y)$ 可表為
$$
d(x,y):=|x-y|
$$ 若 現在考慮 $x,y \in \mathbb{R}^2$ 則此兩點 $x:=(x_1,x_2),y:=(y_1,y_2)$ 間的距離 $d(x,y)$ 可用 $$
d(x,y): = {\left( {{{\left| {{x_2} - {x_1}} \right|}^2} + {{\left| {{y_2} - {y_1}} \right|}^2}} \right)^{1/2}}
$$ 表示。事實上,我們可將上述距離定義 逐步可以推廣到 $n$ 維空間甚至到更廣泛的空間。

但若我們考慮任意維度 (包含無窮維),則上述定義失效。此時我們需要考慮進一步 距離推廣,我們把此推廣稱作 metric。

Comment:
1. 注意到上述的距離函數 $d$ 並不是唯一,還有許許多多不同的距離函數可以定義只要其滿足 metric function 的公理,讀者可參閱以下定義。

2.  一但有了距離的概念,我們才可以開始定義所謂的極限,進而更進一步討論其他(我們感興趣的)性質。而一個集合 且我們能在其上定義  metric 則稱為此集合形成 Metric Space


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Definition: Metric Space
一個集合 $(X,d)$ 被稱作 Metric Space 若下列條件成立:
考慮集合 $X$ 中任意兩點 $p,q$ 並定義兩點 $p,q$的距離函數 (metric) $d: X \times X \to \mathbb{R}$  使得此 距離函數 滿足
1. $d(p,q) \geq 0$
2. 若 $p =q$ 則 $d(p,q) =0$
3. $d(p,q) = d(q,p)$
4. 對任意 $r \in X$,$d(p,q) \le d(p,r) + d(r,q)$
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Comments
1. $\mathbb{R}^k$ Euclidean 空間 為 Metric Space 其中 metric 定義為對 ${\bf x,y} \in \mathbb{R}^k$
\[
d({\bf x,y}) := |{\bf x-y}|