[半導體] 半導體的不均勻參雜 (Nonuniform doping) 與內建電場

回憶若半導體為均勻參雜(uniform doping)，則
對於參雜 III 族元素(e.g., ) 而言，會得到 P-type 半導體，hole 為主要載子，濃度為 $p=N_A$
對於參雜 V 族元素而言，會得到 N-type 半導體，electron 為主要載子，濃度為 $n=N_D$

但現在若考慮參雜為不均勻分布，則對應的 $N_A, N_D$ 濃度將不再是固定常數，而是一個隨空間變化的函數，為了分析簡便我們這邊採用 1-Dimensional ，亦即 electron or hole 的濃度為 $x$ 的函數如下
\[
N_A(x), N_D(x)
\]現在令  $p^+(x)$ 表 電洞濃度，$N_A^-(x)$ 表對應的三價雜質的離子濃度。則此時我們不能再說電洞濃度 $p^+(x) = N_A^-(x)$ 或者 電子濃度 $n^-(x) = N_D^+(x)$，因為一旦成為了空間的函數，若濃度不均，就會產生 擴散效應 (diffusion ) 。

故在不均勻參雜的情況，我們有
\[\left\{ \begin{array}{l}
p\left( x \right) \approx {N_A}\left( x \right)\\
n\left( x \right) \approx {N_D}\left( x \right)
\end{array} \right.\]
現在我們以一個 開路 P-type 半導體為例

繪製濃度與空間的圖形如下：

上圖顯示了在 $N_A(x)$ 濃度較高處 (e.g., $x=x_1$)，則我們有
\[
N_A^-(x) \ge p^+(x)
\]亦即此時的 淨電荷(net charge)為 負電荷。
在 $N_A(x)$ 濃度較低處 (e.g., $x=x_2$)，則我們有
\[
N_A^-(x) \le p^+(x)
\]亦即此時的 淨電荷(net charge)為 正電荷。

故整體而言，雜質的濃度會在 $x_2$ 區域 積聚淨正電荷，並在 $x_1$ 區域積聚淨負電荷，此時便會產生內建電場 (build-in electric field) $\vec E(x)$，其方向會由正電荷指向負電荷方向 (濃度高指向濃度低) 如下圖所示

一旦產生此內建電場，便會對其中的半導體中的載子形成飄移電流(Drift current) 進而產生有所謂的 內建電位差 $V_{21}$

那麼我們的問題便是 內建電位差是多少?
我們首先逐步計算此電位差，由於 P-type 為開路，故電流為 $0$，亦即我們令 $J_p$ 表總電洞電流密度，$J_{p,drift}$ 為電洞的飄移電流密度，$J_{p,diffusion}$ 為電洞的擴散電流密度，則我們有
\[{J_{p,total}} = {J_{p,drift}} + {J_{p,diffusion}} \equiv 0 \ \ \ \ (*)
\]回憶電洞飄移電流密度與飄移速度 $v_d$成正比以及 電洞擴散電流密度與濃度梯度成正比，故我們有下列關係
\[\left\{ \begin{array}{l}
{J_{p,drift}} = \left( {qp} \right){v_d} = qp{\mu _p}E\\
{J_{p,diffusion}} =  - q{D_p}\frac{{dp}}{{dx}}
\end{array} \right.\]現在將上式帶入 $(*)$ 可得
\[\begin{array}{l}
{J_{p,drift}} + {J_{p,diffusion}} \equiv 0\\
 \Rightarrow qp{\mu _p}E - q{D_p}\frac{{dp}}{{dx}} = 0\\
 \Rightarrow E = \frac{{{D_p}}}{{p{\mu _p}}}\frac{{dp}}{{dx}}
\end{array}
\]現在利用電場定義 $E = -dV/dx$ 帶入上式並且兩邊同取積分，我們可得
\[\begin{array}{l}
\frac{{ - dV}}{{dx}}dx = \frac{{{D_p}}}{{{\mu _p}}}\frac{{dp}}{p}\\
 \Rightarrow \int_1^2 {dV}  =  - \frac{{{D_p}}}{{{\mu _p}}}\int_1^2 {\frac{{dp}}{p}} \\
 \Rightarrow {V_2} - {V_1} = \underbrace {\frac{{{D_p}}}{{{\mu _p}}}}_{: = {V_T}}\ln \left( {\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}}} \right)\\
 \Rightarrow {V_{21}} = {V_T}\ln \left( {\frac{{{p_1}}}{{{p_2}}}} \right)
\end{array}\]