直觀上,說事件獨立表示事件過去發生的歷史不會影響未來的結果。比如說我們考慮某隨機試驗為 投擲公平銅板三次,其結果 出現正面或者反面 不影響 下一次試驗出現正面或者反面的機率。則我們可將此投擲銅板的隨機試驗視為獨立事件。 以下我們給出各種獨立性的定義: 給定機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$。 Definition: Independence of Two Events 我們說兩事件 $A,B \in \mathcal{F}$ 彼此獨立 (A independent of B) 若下列條件成立 \[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \] Definition: Independence of Two Random Variables 我們說 兩隨機變數 $X, Y$ 從 $(\Omega, \mathcal{F})$ 映射到 $(\mathbb{R},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$彼此獨立,若下列條件成立 對任意 $C, D \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ \[ P(X \in C, Y \in D) = P(X \in C, Y \in D) \]其中 $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 為 Borel sigma-algebra。 Definition: Independence of Two Sigma-Algebras 我們說 兩 sigma-algebra $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ 彼此獨立,若下列條件成立 對任意 $A \in \mathcal{F}$ 與 $B \in \mathcal{G}$ 我們有 \[ P(A \cap B) = P(A)P(B) \] 現在我們看個事件獨立的結果: ========================= FACT: 若事件 $A$, $B$ 為獨立,則 $A$ 與 $B^c$, $A^c$, 以及 $B$ 與 $B^c$, $A^c$ 均為獨立。 ========================= Proof: 在此只證 $A$ 與 $B^c$ 獨立。其餘證法皆雷同不贅述。由於要證 $A$ 與 $B^c$ 獨立,由定義
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya