[數學分析] Fourier Series 逐點收斂性質 的充分條件

閱讀本文之前，建議讀者先行閱讀 [數學分析] 三角多項式 與 三角級數 (1) 來熟悉符號與定義。

現在考慮週期連續函數 $f$，並取 $c_n$ 為 $f$ 的 Fourier Series Coefficient，則我們可以定義 $N$ 項 Partial sum $S_N(f;x)$ 如下：
$$S_N(f;x) :=\sum_{n=-N}^N c_n e^{inx}$$ 其中 $c_n = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-inx}dx$

為了簡化符號，我們現在定義 Dirichlet kernel $D_N(t)$  如下
$$D_N(t) := \sum_{n =-N}^N e^{int}$$ 讀者可自行驗證上述 Dirichlet kernel 滿足
$${D_N}(t): = \sum\limits_{n =  - N }^N  {{e^{int}}}  = \frac{{\sin \left( {\left( {N + 1/2} \right)t} \right)}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}$$ 且 $\int_{ - \pi }^\pi  {{D_N}(t)dt = 2\pi }$

現在讓 $n \to \infty$，我們想問何時 上述的 Partial sum 是否收斂到原函數? ;i.e., $$f(x) =?= \sum_n c_n e^{inx}$$ 答案是當 $f$ 為連續函數 或者滿足某程度的連續條件；則 我們前述定義的 Partial sum $S_N(f;x)$ 可以 "逐點收斂" 到原函數 $f$。我們將此重要的結果記錄成以下定理：
================
Theorem 1: Sufficient Condition For Pointwise Convergence of Fourier Series
若 對某些 $x \in [-\pi, \pi]$ 而言， 存在 $\delta >0$ 與 $M>0$ 使得 對任意 $t \in (-\delta, \delta)$
$$|t| < \delta \Rightarrow |f(x+t) - f(x)| < M\;|t|$$ 則 $\displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty}S_N(f;x) = f(x)$
===============

Comments: 
1. 上述定理中的條件：存在 $\delta >0$ 與 $M>0$ 使得 $|t| < \delta \Rightarrow |f(x+t) - f(x)| < M\;|t|$ 一般稱為 Lipschitz Condition。
2. 上述定理並 不 保證 均勻收斂!!!

Proof (Theorem 1) : 我們要證 $S_N(f;x) \to f(x)$ 逐點收斂；亦即 $\lim_{N \rightarrow \infty}S_N(f;x) = f(x)$ ；故取 $x$ 滿足假設條件，且給定 $\varepsilon>0$ 我們要證 存在 $N>0$ 使得 $n \ge N \Rightarrow |S_N(f;x) - f(x)| <\varepsilon$ 。現在觀察
$$\begin{array}{*{20}{l}} {|{S_N}(f;x) - f(x)| = |\sum\limits_{n =  - N}^N {{c_n}{e^{inx}}}  - f(x)|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = |\frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{n =  - N}^N {\left( {\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( t \right)} {e^{ - int}}dt} \right)} {e^{inx}} - f(x)|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = |\frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( t \right)} \sum\limits_{n =  - N}^N {{e^{in\left( {x - t} \right)}}dt}  - f(x)|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = |\frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( t \right)} {D_N}\left( {x - t} \right)dt - f(x)|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = |\frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( t \right)} {D_N}\left( {x - t} \right)dt - \underbrace {\frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right)} {D_N}\left( t \right)dt}_{ = f\left( x \right)}|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{{2\pi }}|\int_{x - \pi }^{x + \pi } {f\left( {x - s} \right)} {D_N}\left( s \right)ds - \int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right)} {D_N}\left( t \right)dt|} \end{array}$$ 注意到由於 $D_N$ 與 $f$ 為 週期 $2 \pi$函數，故其 $D_N f$ 亦為週期 $2 \pi$函數，故若我們對其積分 其積分範圍可以是 滿足總長為 $2 \pi$ 任意範圍  即可。亦即我們可繼續改寫前式如下：
$$\small \begin{array}{*{20}{l}} {|{S_N}(f;x) - f(x)| = \frac{1}{{2\pi }}|\int_{x - \pi }^{x + \pi } {f\left( {x - s} \right)} {D_N}\left( s \right)ds - \int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right)} {D_N}\left( t \right)dt|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{{2\pi }}|\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( {x - s} \right)} {D_N}\left( s \right)ds - \int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right)} {D_N}\left( t \right)dt|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{{2\pi }}|\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]} {D_N}\left( t \right)dt|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]} \frac{{\sin \left( {\left( {N + 1/2} \right)t} \right)}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}dt} \right|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]} \frac{{\sin \left( {Nt} \right)\cos \left( {t/2} \right) + \cos \left( {Nt} \right)\sin \left( {t/2} \right)}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}dt} \right|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\left| \begin{array}{l} \int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]} \frac{{\sin \left( {Nt} \right)\cos \left( {t/2} \right)}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}dt\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} + \int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]} \frac{{\cos \left( {Nt} \right)\sin \left( {t/2} \right)}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}dt \end{array} \right|}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \le \frac{1}{{2\pi }}\left[ \begin{array}{l} \left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {\frac{{\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}\cos \left( {t/2} \right)} \right]} \sin \left( {Nt} \right)dt} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} + \left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {\frac{{\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}\sin \left( {t/2} \right)} \right]} \cos \left( {Nt} \right)dt} \right| \end{array} \right]} \end{array}$$ 注意到若 $|t| \le \delta$ 則下列兩式
$$\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\frac{{\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}} \right]\cos \left( {t/2} \right)\\ \left[ {\frac{{\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}} \right]\sin \left( {t/2} \right) \end{array} \right.$$ 兩者皆為有界 $(|f(x+t) - f(x)| \le M |t| < M \delta)$。故
$$\small \begin{array}{*{20}{l}} {|{S_N}(f;x) - f(x)| \le \frac{1}{{2\pi }}\left[ \begin{array}{l} \left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {\frac{{\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}\cos \left( {t/2} \right)} \right]} \sin \left( {Nt} \right)dt} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} + \left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {\frac{{\left[ {f\left( {x - t} \right) - f\left( x \right)} \right]}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}\sin \left( {t/2} \right)} \right]} \cos \left( {Nt} \right)dt} \right| \end{array} \right]}\\ {\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \le \frac{M}{{2\pi }}\left[ {\left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {\frac{{\left| t \right|\cos \left( {t/2} \right)}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}} \right]} \sin \left( {Nt} \right)dt} \right| + \left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {\frac{{\left| t \right|\sin \left( {t/2} \right)}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}} \right]} \cos \left( {Nt} \right)dt} \right|} \right]}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \le \underbrace {\frac{M}{{2\pi }}\left[ {\left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {\frac{{\left| t \right|}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}} \right]} \sin \left( {Nt} \right)dt} \right| + \left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {\frac{{\left| t \right|}}{{\sin \left( {t/2} \right)}}} \right]} \cos \left( {Nt} \right)dt} \right|} \right] \to 0}_{\left( {by\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {c_n} = 0} \right)}} \end{array}} \end{array}$$

以下我們看個例子:

Example：
假設 $0 < \delta < \pi$，
$$f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l} 1,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left| x \right| < \delta \\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\delta  < \left| x \right| \le \pi \end{array} \right.$$ 且對任意 $x \in \mathbb{R}$， $f(x+2 \pi) = f(x)$
(a) 試求 Fourier Series Coefficient
(b) 試證 $\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\sin \left( {n\delta } \right)}}{{n\pi }}}  = \frac{{\pi  - \delta }}{2}$

Solution
在求解之前我們先確認 $f(x)$ 具有 Fourier Series，首先注意到 $f$ 為週期函數 (週期為 $2 \pi$) 接著我們檢驗其是否滿足我們的 point-wise convergence (Theorem 1) 條件：
給定 $x =0$ ，我們取題目中給定的 $\delta >0$ 檢驗對任意 $t \in (-\delta, \delta)$ ，觀察
$$\begin{array}{l} \left| {f\left( {x + t} \right) - f\left( x \right)} \right| = \left| {f\left( t \right) - f\left( 0 \right)} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \left| {1 - 1} \right| = 0 \le M\left| t \right| \end{array}$$ 故我們知道其滿足 Theorem 1，亦即 $f$ 有 Fourier Series 且 $f(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_n e^{inx}$ 現在我們可以開始解題：
(a) 首先針對 $c_0$ 可知
$${c_0}: = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \delta }^\delta  {1dx}  = \frac{\delta }{\pi }$$
另外對 $n \neq 0$
$$\begin{array}{l} {c_n}: = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right){e^{inx}}dx}  = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \delta }^\delta  {1{e^{inx}}dx} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{{n\pi }}\frac{{{e^{in\delta }} - {e^{ - in\delta }}}}{{2i}} = \frac{1}{{n\pi }}\sin \left( {n\delta } \right) \end{array}$$ 注意到上述結果暗示了
$$f\left( x \right) = \frac{\delta }{\pi } + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\sin \left( {n\delta } \right)}}{{n\pi }}{e^{inx}}}$$
(b) 我們要證明  $\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\sin \left( {n\delta } \right)}}{{n\pi }}}  = \frac{{\pi  - \delta }}{2}$ 故由 part (a) 可知
$$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \frac{\delta }{\pi } + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\sin \left( {n\delta } \right)}}{{n\pi }}{e^{inx}}} \\  \Rightarrow f\left( 0 \right) = \frac{\delta }{\pi } + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\sin \left( {n\delta } \right)}}{{n\pi }}} \\  \Rightarrow 1 = \frac{\delta }{\pi } + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\sin \left( {n\delta } \right)}}{{n\pi }}} \\  \Rightarrow \frac{{\pi  - \delta }}{{2\pi }} = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\sin \left( {n\delta } \right)}}{{n\pi }}} \ \ \ \ \ \square \end{array}$$

前述 Theorem  只有說明 Fourier Series 何時會 逐點收斂，那麼我們想問甚麼時候可以有均勻收斂呢? 要討論 均勻收斂 對於 Fourier Series 其實故事相當冗長，不過所幸我們可以加入額外假設馬上獲得我們想要的 均勻收斂性質，亦即 額外加入 函數除了週期連續之外，還需要可導在該區間內可導，則均勻連續性可以被保證。

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Theorem:
令 $f \in C^1([-\pi,\pi])$ 且 periodic ，則 $S_N(f) \to f$ uniformly。
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Proof:
要證明 $S_N(f) \to f$ uniformly；首先注意到 $f \in C^1([-\pi,\pi])$ 故自動滿足 Lipschitz condition；由 Theorem 1 亦即我們有 對任意 $x$，$S_N(f;x) \to f(x)$ pointwise。

故我們只需證明 $S_N(f)$ 均勻收斂 無須證明他收斂到 $f$ (why? 因為 limit 的唯一性質保證如果已經有 $S_N(f)$ 逐點收斂到某函數 $f$ 且又知道 $S_N(f)$ 均勻收斂 則 $S_N(f)$ 必定要均勻收斂到 $f$)。

那麼現在問題變成如何證明  $S_N(f)$ 均勻收斂 ? 回憶 $S_N(f)$ 定義：
$${S_N}\left( {f;x} \right): = \sum\limits_{n =  - N}^N {{c_n}{e^{inx}}}$$ 我們需要額外的工具 幫助我們證明上述 summation 收斂。回憶：( Weierstrass M-test ：若 函數數列 $g_n(x)$ 為連續 且 $|g_n(x)| \le M_n$ 且 $\sum_n M_n < \infty$，則 $\sum_n |g_n(x)|$ 均勻收斂。)

現在觀察 $\left| {{c_n}{e^{inx}}} \right| \le \left| {{c_n}} \right|$；另外由於 $f \in C^1$ 我們可定義 $c_n'$ 為 $f'$ 的 Fourier Series Coefficient，則
$${c_n}' = in\left( {{c_n}} \right)$$ 故由前述結果可推知
$$\left| {{c_n}{e^{inx}}} \right| \le \left| {{c_n}} \right| = \left| {\frac{{{c_n}'}}{{in}}} \right| = \left| {\frac{{{c_n}'}}{n}} \right|  \ \ \ \ (**)$$ 現在利用 一個不等式工具： 對任意 $a,b \ge 0$，$a \cdot b \le \frac{1}{2} |a^2 + b^2|$；現在選 $a:=c_n'$ 與 $b:=1/n$ 則利用上述不等式可推得
$$\begin{array}{l} \left| {{c_n}{e^{inx}}} \right| \le \left| {{c_n}} \right| = \left| {\frac{{{c_n}'}}{n}} \right| \le \frac{1}{2}|{\left( {{c_n}'} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2}|\\  \Rightarrow \left| {{c_n}{e^{inx}}} \right| \le \underbrace {\frac{1}{2}{{\left( {{c_n}'} \right)}^2} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{n^2}}}}_{: = {M_n}} \end{array}$$ 現在對 $M_n$ 取 summation 可得
$$\begin{array}{l} \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{M_n}}  = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {\left[ {\frac{1}{2}{{\left( {{c_n}'} \right)}^2} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{n^2}}}} \right]} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \left| {{c_0}} \right| + \sum\limits_{n =  - \infty ;n \ne 0}^\infty  {\left[ {\frac{1}{2}{{\left( {{c_n}'} \right)}^2} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{n^2}}}} \right]} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \left| {{c_0}} \right| + \frac{1}{2}\underbrace {\sum\limits_{n =  - \infty ;n \ne 0}^\infty  {{{\left( {{c_n}'} \right)}^2}} }_{Term1} + \frac{1}{2}\underbrace {\sum\limits_{n =  - \infty ;n \ne 0}^\infty  {\left[ {\frac{1}{{{n^2}}}} \right]} }_{ < \infty } \end{array}$$ 上式中的 Term 1 可利用 Parseval's Theorem ：($\sum\limits_n | {c_n}{|^2} = \underbrace {\int_{ - \pi }^\pi  | f(x){|^2}dx}_{: = \left\| f \right\|_{{L^2}}^2}$)，由於 $f \in C^1([-\pi,\pi])$ 故 $$\sum\limits_n | {c_n}{|^2} = \underbrace {\int_{ - \pi }^\pi  | f(x){|^2}dx}_{: = \left\| f \right\|_{{L^2}}^2} < \sup {\left| f \right|^2}2\pi  < \infty$$ 故 Term 1 亦為有界。至此我們證明了
$$\sum_n M_n <\infty$$ 由 Weierstrass M-test 可知 $\sum_n c_n e^{inx}$ 均勻收斂 亦即 $S_N(f)$ 均勻收斂，又由於 $S_N(f) \to f$ 逐點收斂，故  $S_N(f) \to f$ 均勻收斂 $\square$

以下我們看個例子：

Example
令 $f : [-\pi, \pi] \to \mathbb{C}$ 無窮可微 的解析函數 且滿足 $f^{(k)}(-\pi) = f^{(k)}(\pi)$ 對任意 $k \in \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$
(a) 若 $c_n$ 為 $f(x)$ 的 Fourier Series coefficient。試求 $f'(x)$ 的 Fourier Series Coefficient $c_n'$
(b) 試證 $n c_n \to 0$

Proof:
(a) 首先注意到 $f$ 為 解析函數，且  $f^{(k)}(-\pi) = f^{(k)}(\pi)$ 對任意 $k \in \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ 故此函數滿足 Theorem 1 我們可說 $f$ 具有 Fourier Series 如下
$$f\left( x \right) = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{c_n}{e^{inx}}}$$ 故
$$f'\left( x \right) = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{c_n}in{e^{inx}}} : = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{c_n}'{e^{inx}}}  \Rightarrow {c_n}' = {c_n}in$$

(b) 由於我們知道 $c_n ' = in c_n$ 故
$$\begin{array}{l} {c_n}' = in{c_n} \Rightarrow \frac{{{c_n}'}}{i} = n{c_n}\\  \Rightarrow \left| {n{c_n} - 0} \right| = \left| {\frac{{{c_n}'}}{i}} \right| \to 0 \end{array}$$ (利用 Bessel's inequality: $\lim_{n} c_n' \to 0$)

另外若 $f$ 為週期連續函數，則我們可以透過三角多項式逼近，此結果紀錄如下
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FACT: 若 $f$ 為 週期 $2 \pi$ 的連續函數 且 若 $\varepsilon >0$ ，則 存在 trigonometric polynomial $P$ 使得 對任意 $x \in \mathbb{R}$
$$|P(x) - f(x)| < \varepsilon$$ ==========
Proof: omitted. (via Weierstrass Approximation Theorem)