謝宗翰的隨筆

控制理論的三大會議：

IEEE Conference on Decision and Control, CDC每年的12月舉辦，截稿日多在當年三月底IEEE American Control Conference, ACC每年的五月中下旬舉辦，截稿日多在前一年七月IFAC World Congress, IFAC WC由國際自動控制聯盟 (IFAC) 舉辦的大會，每三年召開一次，一般在10月底截稿，隔年七月舉辦

上述 IEEE CDC 與 IEEE ACC 會議由 IEEE Control Systems Society 的投稿內容可以在擴增修訂後續投其母期刊 IEEE Transactions on Automatic Control。另外 IFAC WC 會議的投稿內容可以在擴增修訂後續內容後投稿到 Automatica


另外還有幾個也非常不錯的控制理論相關的會議

European Control Conference, ECC 由 European Control Association (EUCA) 主辦，每兩年一次。Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing每年七月截稿，當年度九月舉辦。

機器人相關領域的主要會議，由 IEEE Robotics and Automation Society 主辦

IEEE International Conference on Robotics and Automation, ICRAIEEE International Conference on Automation Science and Engineering, CASEIEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, IROS

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Definition: $f$ is Little-Oh of $x$
我們說 當 $x \to 0$ 時， $f(x) = o (x)$ 若下列條件成立：
對任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta > 0$ 使得
\[ |x - 0| < \delta \Rightarrow \frac{f(x)}{|x|} < \varepsilon \]亦即上述等價為 $\displaystyle \lim_{x \to x} \frac{f(x)}{|x|} = 0$
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上述定義可進一步推廣如下：

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Definition: $f$ is Little-Oh of $g$
我們說 當 $x \to x_0$ 時， $f(x) = o (g(x))$ 若下列條件成立：
對任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta > 0$ 與 正數 $c>0$ 使得
\[ |x - x_0| < \delta \Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)} < \varepsilon \]亦即上述等價為 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$
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以下我們先看個定理，此定理描述了 $o(x)$ 的一些常用性質：

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Theorem:
令 $f, g : I \to \mathbb{R}$ 為兩函數 且 $0 \in I$。若 $f(x) = o(x)$ 且 $g(x) =o(x)$ 則下列三個性質成立
\[\begin{array}{l}
1. \; f\left( x \right) + g\left( x \right) = o\left( x \right)\\
2. \; \alpha f\left( x \right) = o\left( x \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\forall \alpha  \in \mathbb{R…

首先回憶一些 Fourier Series 重要的結果

FACT: 任意週期為 $2 \pi$ 之連續函數 $f$ 必存在一組 trigonometric polynomial $P:=\sum\limits_{ - N}^N {{c_n}{e^{inx}}} $ 使得 對任意 $x \in \mathbb{R}$ 而言，
\[
|P(x) - f(x)| < \varepsilon
\]

但是上述定理無法告訴我們何時週期函數可以被表示成 Fourier Series，故下面的定理尤為重要，通常用此定理判斷某週期函數是否可以表示成 Fourier Series (Pointwise sense)。

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Theorem 0: Pointwise Convergence of Fourier Series
若 對某些 $x \in [-\pi, \pi]$ 而言， 存在 $\delta >0$ 與 $M>0$ 使得 對任意 $t \in (-\delta, \delta)$
\[
|t| < \delta \Rightarrow |f(x+t) - f(x)| < M\;|t|
\]則 $ \displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty}S_N(f;x) = f(x)$
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接著我們介紹另一個相對於 逐點收斂的重要的結果，稱作 L^2 收斂，亦即 Fourier Series 在 convergence in L^2。

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Theorem 1: Fourier Series Converges in L^2
假設 $f, g$ 為 週期 $2 \pi$ 之 週期連續函數，且
\[
f(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty c_n e^{inx}; \;\; g(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty \gamma_n e^{inx}
\] 則
\[\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {{{\left| {f\left( x \right) - {S_N}\left( {…

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Definition: $f$ is Big-Oh of $g$
令 $f, g$ 為任意函數在 $x = x_0$ 附近可定義。我們說 當 $x \to x_0$ 時， $f(x) = O(g(x))$) 若下列條件成立：
存在 $\delta >0$ 與 正數 $c>0$ 使得\[
|x - x_0| < \delta  \Rightarrow |f(x)| \le c |g(x)|
\]======================

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Definition: $f$ is Little-Oh of $g$
我們說 當 $x \to x_0$ 時， $f(x) = o (g(x))$ 若下列條件成立：
對任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta > 0$  使得
\[ |x - x_0| < \delta \Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)} < \varepsilon \]亦即上述等價為 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$
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Comments:
1. $o(g(x))$ (要求收斂) 條件比 $O(g(x))$ (僅要求有界) 條件強烈。

2. 我們說某函數 $f$ 在 $x_0$ 處連續亦可以用此 little-oh 符號表達：
\[
f(x) - f(x_0) = o(1) \text{ as $ x \to x_0$}
\]
3. 一般而言，上述定義中的 函數 $g(x)$ 多半考慮為較 $f(x)$ 簡單的函數以用作比較函數 decay or growth rate ；以下我們看幾個例子

Example 1: 選 $g :=1$ 且考慮當 $x \to x_0$ 時，
(a) $f(x) = O(g(x) )= O(1)$ 試解釋其意義：
(b) $f(x) = o(g(x)) = o(1)$ 試解釋其意義：

Solution：
(a) 當 $x \to x_0$ 時，$f(x) = O(g(x) = O(1)$ 由定義可知：存在 $\delta >0$ 與 正數 $c&…