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目前顯示的是 11月, 2010的文章

[分享] 控制理論領域的主要會議與期刊

控制理論的三大會議: IEEE Conference on Decision and Control, CDC 每年的12月舉辦,截稿日多在當年三月底 IEEE American Control Conference, ACC 每年的五月中下旬舉辦,截稿日多在前一年七月 IFAC World Congress, IFAC WC 由國際自動控制聯盟 (IFAC) 舉辦的大會,每三年召開一次,一般在10月底截稿,隔年七月舉辦 上述 IEEE CDC 與 IEEE ACC 會議由 IEEE Control Systems Society 的投稿內容可以在擴增修訂後續投其母期刊 IEEE Transactions on Automatic Control。另外 IFAC WC 會議的投稿內容可以在擴增修訂後續內容後投稿到 Automatica 另外還有幾個也非常不錯的控制理論相關的會議 European Control Conference, ECC  由 European Control Association (EUCA) 主辦,每兩年一次。 Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing 每年七月截稿,當年度九月舉辦。 機器人 相關領域的主要會議,由 IEEE Robotics and Automation Society 主辦 IEEE International Conference on Robotics and Automation, ICRA IEEE International Conference on Automation Science and Engineering, CASE IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, IROS

[微積分] Little-oh 的性質 與 其對應的 函數可導定義

====================== Definition:  $f$ is  Little-Oh  of $x$ 我們說 當 $x \to 0$ 時, $f(x) = o (x)$ 若下列條件成立: 對任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta > 0$ 使得 \[ |x - 0| < \delta \Rightarrow \frac{f(x)}{|x|} < \varepsilon \]亦即上述等價為 $\displaystyle \lim_{x \to x} \frac{f(x)}{|x|} = 0$ ====================== 上述定義可進一步推廣如下: ====================== Definition:  $f$ is  Little-Oh  of $g$ 我們說 當 $x \to x_0$ 時, $f(x) = o (g(x))$ 若下列條件成立: 對任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta > 0$ 與 正數 $c>0$ 使得 \[ |x - x_0| < \delta \Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)} < \varepsilon \]亦即上述等價為 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ ====================== 以下我們先看個定理,此定理描述了 $o(x)$ 的一些常用性質: ====================== Theorem: 令 $f, g : I \to \mathbb{R}$ 為兩函數 且 $0 \in I$。若 $f(x) = o(x)$ 且 $g(x) =o(x)$ 則下列三個性質成立 \[\begin{array}{l} 1. \; f\left( x \right) + g\left( x \right) = o\left( x \right)\\ 2. \; \alpha f\left( x \right) = o\left( x \right),\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{ar

[數學分析] Fourier Series 的 L^2 收斂 與 Parseval's Theorem

首先回憶一些 Fourier Series 重要的結果 FACT: 任意週期為 $2 \pi$ 之連續函數 $f$ 必存在一組 trigonometric polynomial $P:=\sum\limits_{ - N}^N {{c_n}{e^{inx}}} $ 使得 對任意 $x \in \mathbb{R}$ 而言, \[ |P(x) - f(x)| < \varepsilon \] 但是上述定理無法告訴我們何時週期函數可以被表示成 Fourier Series,故下面的定理尤為重要,通常用此定理判斷某週期函數是否可以表示成 Fourier Series (Pointwise sense)。 ================ Theorem 0: Pointwise Convergence of Fourier Series 若 對某些 $x \in [-\pi, \pi]$ 而言, 存在 $\delta >0$ 與 $M>0$ 使得 對任意 $t \in (-\delta, \delta)$ \[ |t| < \delta \Rightarrow |f(x+t) - f(x)| < M\;|t| \]則 $ \displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty}S_N(f;x) = f(x)$ =============== 接著我們介紹另一個相對於 逐點收斂的重要的結果,稱作 L^2 收斂,亦即 Fourier Series 在 convergence in L^2。 ================ Theorem 1: Fourier Series Converges in L^2 假設 $f, g$ 為 週期 $2 \pi$ 之 週期連續函數,且 \[ f(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty c_n e^{inx}; \;\; g(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty \gamma_n e^{inx} \] 則 \[\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {{{\left| {f\left

[微積分] Little-oh 與 Big-oh 符號

一般數學分析中或者演算法分析經常會用到 $O$符號 或者 $o$符號。以下我們先引入定義。 ====================== Definition:  $f$ is  Big-Oh of $g$ 令 $f, g$ 為任意函數在 $x = x_0$ 附近可定義。我們說 當 $x \to x_0$ 時, $f(x) = O(g(x))$) 若下列條件成立: 存在 $\delta >0$ 與 正數 $c>0$ 使得\[ |x - x_0| < \delta  \Rightarrow |f(x)| \le c |g(x)| \]====================== 離散情況的Big-Oh之定義: 上述定義在離散情況也可以,亦即 $f(n)=O(g(n))$若且唯若 存在 $N \in \mathbb{N}$ 與 正數 $c>0$ 使得 對任意 $n \geq N$ 而言,$|f(n)|\leq cf(n)$。 Example:  比如說線性搜尋演算法最大執行步驟數為 $f_L(n):=4n+5$ 則不難得證 $f_L(n) = O(n)$。(hint: 取 $N=5$ 與 $C=5$即可) Exercises: 試證  1. $n=O(n)$,  2. $1000n = O(n)$,  3. $2n^3+n = O(n^3)$, 4. $0.001n^{100} = O(n^{100})$。 5. 令 $f(n) = (-1)^n$ 試證明 $f(n) = O(1)$。 Comments: $f(n) = O(1)$ 意指存在 整數 $N\in \mathbb{N}$ 與 正數 $c>0$ 使得對任意 $n\geq N$我們有 $|f(n)|\leq c \cdot 1$。此表明函數 $f$ 有上界(但不一定收斂,請看上述 exercise 5)。 ====================== Definition: $f$ is  Little-Oh of $g$ 我們說 當 $x \to x_0$ 時, $f(x) = o (g(x))$ 若下列條件成立: 對任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta > 0$  使得 \[ |x - x_0| < \delta