[數學分析] Fourier Series 的 L^2 收斂 與 Parseval's Theorem

首先回憶一些 Fourier Series 重要的結果

FACT: 任意週期為 $2 \pi$ 之連續函數 $f$ 必存在一組 trigonometric polynomial $P:=\sum\limits_{ - N}^N {{c_n}{e^{inx}}}$ 使得 對任意 $x \in \mathbb{R}$ 而言，
$$|P(x) - f(x)| < \varepsilon$$

但是上述定理無法告訴我們何時週期函數可以被表示成 Fourier Series，故下面的定理尤為重要，通常用此定理判斷某週期函數是否可以表示成 Fourier Series (Pointwise sense)。

================
Theorem 0: Pointwise Convergence of Fourier Series
若 對某些 $x \in [-\pi, \pi]$ 而言， 存在 $\delta >0$ 與 $M>0$ 使得 對任意 $t \in (-\delta, \delta)$
$$|t| < \delta \Rightarrow |f(x+t) - f(x)| < M\;|t|$$ 則 $\displaystyle \lim_{N \rightarrow \infty}S_N(f;x) = f(x)$
===============

接著我們介紹另一個相對於 逐點收斂的重要的結果，稱作 L^2 收斂，亦即 Fourier Series 在 convergence in L^2。

================
Theorem 1: Fourier Series Converges in L^2
假設 $f, g$ 為 週期 $2 \pi$ 之 週期連續函數，且
$$f(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty c_n e^{inx}; \;\; g(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty \gamma_n e^{inx}$$ 則
$$\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {{{\left| {f\left( x \right) - {S_N}\left( {f;x} \right)} \right|}^2}} dx = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \left\| {f - {S_N}} \right\|_2^2 = 0$$ 其中 ${S_N}\left( {f;x} \right): = \sum\limits_{ - N}^N {{c_n}{e^{inx}}}$
================
Proof:
令 $\varepsilon >0$，目標要證明 $||f - S_N(f)||_2 < \varepsilon$。由於 $f$ 為週期 $2 \pi$ 之 週期連續函數，由 FACT 可知必存在一組 trigonometric polynomial $P$ 使得 對任意 $x \in \mathbb{R}$ 而言，
$$|P(x) - f(x)| < \varepsilon \Rightarrow ||P - f||_2 < \varepsilon$$ 若 $P$ 有階數為 $N_0$ 階，則由於 $S_N(f)$ 為最佳近似 $f$ (請參閱先前BLOG文章 或者 Rudin Theorem8.11) ，對 $N \ge N_0$，
$$||f - S_N(f)||_2 \le ||f - P||_2 < \varepsilon \ \ \ \ \square$$


我們有以下的 Parseval's identity：

=================
Theorem 2: Parseval's Theorem
假設 $f, g$ 為 週期 $2 \pi$ 之 週期連續函數，且
$$f(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty c_n e^{inx}; \;\; g(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty \gamma_n e^{inx}$$ 則
$$\frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right){g^*}\left( x \right)} dx = \sum\limits_{ - \infty }^\infty  {{c_n}\gamma _n^*}$$ =================

Proof:

首先觀察
$$\begin{array}{l} \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi {{S_N}\left( f \right){g^*}\left( x \right)} dx = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi {\sum\limits_{ - N}^N {{c_n}} {e^{inx}}{g^*}\left( x \right)} dx\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{ - N}^N {{c_n}} \underbrace {\int_{ - \pi }^\pi {{e^{inx}}{g^*}\left( x \right)} dx}_{ = \gamma _n^*2\pi } = \sum\limits_{ - N}^N {{c_n}} \gamma _n^* \end{array}$$ 接著我們檢驗
$$\begin{array}{l} \left| {\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right){g^*}\left( x \right)} dx - \int_{ - \pi }^\pi  {{S_N}\left( f \right){g^*}\left( x \right)} dx} \right| = \left| {\int_{ - \pi }^\pi  {\left[ {f\left( x \right) - {S_N}\left( f \right)} \right]{g^*}\left( x \right)} dx} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \le \int_{ - \pi }^\pi  {\left| {\left[ {f\left( x \right) - {S_N}\left( f \right)} \right]{g^*}\left( x \right)} \right|} dx\\ {\rm{by}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm{Schwarz}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{\rm{inequality}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} \le {\left( {\int_{ - \pi }^\pi  {{{\left| {f\left( x \right) - {S_N}\left( f \right)} \right|}^2}} dx \cdot \int_{ - \pi }^\pi  {{{\left| {{g^*}\left( x \right)} \right|}^2}} dx} \right)^{\frac{1}{2}}} \to 0 \end{array}$$ 當 $N \rightarrow \infty$。注意到上式收斂成立是因為我們 $\int |g|^2$ 有界 且 $\int |f - S_N| \rightarrow 0$ 當 $N \rightarrow \infty$ (由前面的 Theorem 1) $\square$

Comment:
一般而言，Parseval's Thoerem 泛指下式：令 前述 Parseval's Theorem $g(x) := f(x)$，則
$$\begin{array}{l} \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right){f^*}\left( x \right)} dx = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{c_n}c_n^*} \\  \Rightarrow \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {{{\left| {f\left( x \right)} \right|}^2}} dx = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{{\left| {{c_n}} \right|}^2}} \end{array}$$


現在我們看個例子 說明 Parseval Theorem 怎麼使用。

Example：Application of the Parseval Theorem/ Pointwise Convergence Theorem
假設 $0 < \delta < \pi$，
$$f\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l} 1,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\left| x \right| < \delta \\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\delta  < \left| x \right| \le \pi \end{array} \right.$$ 且對任意 $x \in \mathbb{R}$， $f(x+2 \pi) = f(x)$
(a) 試求 Fourier Series Coefficient
(b) 試證 $\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\sin }^2}\left( {n\delta } \right)}}{{{n^2}\delta }}}  = \frac{{\pi  - \delta }}{2}$

Solution
在求解之前我們先確認 $f(x)$ 具有 Fourier Series，首先注意到 $f$ 為週期函數 (週期為 $2 \pi$) 接著我們檢驗其是否滿足我們的 逐點收斂 (Theorem 0) 條件：
給定 $x =0$ ，我們取題目中給定的 $\delta >0$ 檢驗對任意 $t \in (-\delta, \delta)$ ，觀察
$$\begin{array}{l} \left| {f\left( {x + t} \right) - f\left( x \right)} \right| = \left| {f\left( t \right) - f\left( 0 \right)} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array} = \left| {1 - 1} \right| = 0 \le M\left| t \right| \end{array}$$ 故我們知道其滿足 Theorem 0，亦即 $f$ 有 Fourier Series 且 $f(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_n e^{inx}$ 現在我們可以開始解題：
(a) 首先針對 $c_0$ 可知
$${c_0}: = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \delta }^\delta  {1dx}  = \frac{\delta }{\pi }$$
另外對 $n \neq 0$
$$\begin{array}{l} {c_n}: = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right){e^{inx}}dx}  = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \delta }^\delta  {1{e^{inx}}dx} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{{n\pi }}\frac{{{e^{in\delta }} - {e^{ - in\delta }}}}{{2i}} = \frac{1}{{n\pi }}\sin \left( {n\delta } \right) \end{array}$$ 注意到上述結果暗示了
$$f\left( x \right) = \frac{\delta }{\pi } + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{\sin \left( {n\delta } \right)}}{{n\pi }}{e^{inx}}}$$
(b) 我們要證明  $\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\sin }^2}\left( {n\delta } \right)}}{{{n^2}\delta }}}  = \frac{{\pi  - \delta }}{2}$ 注意到 part (a) 求出的 Fourier Series coefficient 的平方 出現在等號左方，暗示了我們可使用 Parserval's Theorem 亦即
$$\begin{array}{l} \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{c_n}^2}  = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \pi }^\pi  {{{\left| {f\left( x \right)} \right|}^2}} dx\\  \Rightarrow {c_0}^2 + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{c_n}^2}  = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \delta }^\delta  1 dx\\  \Rightarrow {\left( {\frac{\delta }{\pi }} \right)^2} + 2\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{{\left( {\frac{{\sin \left( {n\delta } \right)}}{{n\pi }}} \right)}^2}}  = \frac{\delta }{\pi }\\  \Rightarrow \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\frac{{{{\sin }^2}\left( {n\delta } \right)}}{{{n^2}\delta }}} \right)}  = \frac{{\pi  - \delta }}{2} \end{array}$$