這次要介紹一個好用的定理：稱作 Arzela-Ascoli Theorem ，此定理提供了何時可以說某 函數所構成的集合 為 totally bounded 的 充分必要條件
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Theorem: Arzela-Ascoli Theorem
令 $K$ 為 compact ，考慮 collection of functions $\mathcal{F} \subset C(K)$ 為 totally bounded 若且唯若
1. $\mathcal{F}$ 為 point-wise bounded
( $ \forall x$，$\exists M(x)$ 使得對任意 $f(x) \in \mathcal{F}$, $|f(x)| \le M(x)$)
2. $\mathcal{F}$ 為 equicontinuous。
$(\; \forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$ 使得對任意 $x,z \in K$，
$$|x-z| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(z)| < \varepsilon, \;\;\;\;\; \forall f \in \mathcal{F}\;)$$
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Comment:
判斷 Equicontinuouity 的方法除了前述定義法之外，還可用 uniform convergence sequence 定義；亦即 有兩種 判斷 Equicontinuouity 的方法：
1. 由定義
2. 若 $K$ 為 compact metric space 且對任意 $n \in \mathbb{N}$，$f_n \in C(K)$ 且 $\{f_n\}$ converges uniformly on $K$ 則 $\{f_n\}$ 為 equicontinuous on $K$。
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Corollary: 一個 closed $\mathcal{F} \subset C(K)$ 為 compact 若且為若 $\mathcal{F}$ 為 pointwise-bounded 與 equicontinuous。
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現在我們看個例子：
Example
考慮 $T \in C([0,1])$ 且定義為
\[T[f](x): = \int_0^x f (t)dt
\]考慮任意有界集合 $A \subset C([0,1])$，我們可定義 $B:= \{Tf: f \in A\}$ ，試利用 Arzela-Ascoli Theorem 證明其 closure $\bar B$ 為 compact。
Proof:
要證明其 $B$ 為 compact。故我們需要證明其為 totally bounded + complete。首先注意到 $B \subset C([0,1])$ 為 complete (因為 $\bar B$ 為 closed，且 $C([0,1])$ 為 complete space，故 complete space 中的 closed subset 必為 complete )。故我們僅須證明 $B$ 為 totally bounded ：由 Arzela-Ascoli Theorem 可知我們須證明 1. $B$ 為 point-wise bounded ；2. $B$ 為 equicontinuous。
首先證明 $B$ 為 point-wise bounded：
給定任意 $x \in [0,1]$ 我們需要證明 存在 $M(x)$ 使得對任意 $Tf \in B$ $|Tf(x)| \le M(x)$ ；觀察
\[\left| {T[f](x)} \right|: = \left| {\int_0^x f (t)dt} \right| \le \left\| f \right\|1: = M\]
接著我們證明 $B$ 為 equicontinuous。給定 $\varepsilon>0$ 要證明 $\delta>0$ 使得對任意 $f,g\in A$，$||f-g|| < \delta \Rightarrow ||Tf - Tg| |< \varepsilon, \;\;\;\;\; \forall T \in \mathcal{B}\;)$
\[\begin{array}{l}
\left\| {T[f] - T[g]} \right\| = \sup \left| {\int_0^x {f(t)} dt - \int_0^x {g(t)} dt} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sup \left| {\int_0^x {f(t) - g\left( t \right)} dt} \right| \le \left\| {f - g} \right\|
\end{array}\]若我們選 $\delta:=\varepsilon/(2||f-g||) $ 則可證得
\[\left\| {T[f] - T[g]} \right\| \le \left\| {f - g} \right\| < \delta = \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon \]故總結以上，由 Arzela-Ascoli 可知 $B$ 為 totally bounded 且 complte (由最先前的推導) 故由 compact 等價定義可知 $B$ 為 compact。
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Theorem: Arzela-Ascoli Theorem
令 $K$ 為 compact ，考慮 collection of functions $\mathcal{F} \subset C(K)$ 為 totally bounded 若且唯若
1. $\mathcal{F}$ 為 point-wise bounded
( $ \forall x$，$\exists M(x)$ 使得對任意 $f(x) \in \mathcal{F}$, $|f(x)| \le M(x)$)
2. $\mathcal{F}$ 為 equicontinuous。
$(\; \forall \varepsilon>0$，$\exists \delta>0$ 使得對任意 $x,z \in K$，
$$|x-z| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(z)| < \varepsilon, \;\;\;\;\; \forall f \in \mathcal{F}\;)$$
Comment:
判斷 Equicontinuouity 的方法除了前述定義法之外，還可用 uniform convergence sequence 定義；亦即 有兩種 判斷 Equicontinuouity 的方法：
1. 由定義
2. 若 $K$ 為 compact metric space 且對任意 $n \in \mathbb{N}$，$f_n \in C(K)$ 且 $\{f_n\}$ converges uniformly on $K$ 則 $\{f_n\}$ 為 equicontinuous on $K$。
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Corollary: 一個 closed $\mathcal{F} \subset C(K)$ 為 compact 若且為若 $\mathcal{F}$ 為 pointwise-bounded 與 equicontinuous。
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Proof: omitted (immediate from Arzela-Ascoli Theorem)
現在我們看個例子：
Example
考慮 $T \in C([0,1])$ 且定義為
\[T[f](x): = \int_0^x f (t)dt
\]考慮任意有界集合 $A \subset C([0,1])$，我們可定義 $B:= \{Tf: f \in A\}$ ，試利用 Arzela-Ascoli Theorem 證明其 closure $\bar B$ 為 compact。
Proof:
要證明其 $B$ 為 compact。故我們需要證明其為 totally bounded + complete。首先注意到 $B \subset C([0,1])$ 為 complete (因為 $\bar B$ 為 closed，且 $C([0,1])$ 為 complete space，故 complete space 中的 closed subset 必為 complete )。故我們僅須證明 $B$ 為 totally bounded ：由 Arzela-Ascoli Theorem 可知我們須證明 1. $B$ 為 point-wise bounded ；2. $B$ 為 equicontinuous。
首先證明 $B$ 為 point-wise bounded：
給定任意 $x \in [0,1]$ 我們需要證明 存在 $M(x)$ 使得對任意 $Tf \in B$ $|Tf(x)| \le M(x)$ ；觀察
\[\left| {T[f](x)} \right|: = \left| {\int_0^x f (t)dt} \right| \le \left\| f \right\|1: = M\]
接著我們證明 $B$ 為 equicontinuous。給定 $\varepsilon>0$ 要證明 $\delta>0$ 使得對任意 $f,g\in A$，$||f-g|| < \delta \Rightarrow ||Tf - Tg| |< \varepsilon, \;\;\;\;\; \forall T \in \mathcal{B}\;)$
\[\begin{array}{l}
\left\| {T[f] - T[g]} \right\| = \sup \left| {\int_0^x {f(t)} dt - \int_0^x {g(t)} dt} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sup \left| {\int_0^x {f(t) - g\left( t \right)} dt} \right| \le \left\| {f - g} \right\|
\end{array}\]若我們選 $\delta:=\varepsilon/(2||f-g||) $ 則可證得
\[\left\| {T[f] - T[g]} \right\| \le \left\| {f - g} \right\| < \delta = \frac{\varepsilon }{2} < \varepsilon \]故總結以上，由 Arzela-Ascoli 可知 $B$ 為 totally bounded 且 complte (由最先前的推導) 故由 compact 等價定義可知 $B$ 為 compact。
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