[微積分] 隱函數

現在考慮 單變數函數 $f(x)$，則我們可以將函數可以寫成如下形式：
$$y = f(x)
$$比如說 $y = \sqrt{x^2+1}$ 或者 $y=x \sin (x)$

但有時我們也會遇到一些函數比如說
\[
x^2 + y^2 = 25\;\; \text{ or }\;\; x^3+ y^3 = 6xy
\] 觀察上述兩個例子，讀者可發現函數的關係被隱藏在上述等式之中，或者說上述等式利用 變數 "$x,y$ 之間關係 來定義，我們將此類函數稱作 隱函數 ( implicit function )，一般記做 $F(x,y) = 0$ (此時 $y$ 被隱藏在一個 $F(x,y)$之中)
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 25 \Rightarrow \underbrace {{x^2} + {y^2} - 25}_{: = F\left( {x,y} \right)} = 0\\
{x^3} + {y^3} = 6xy \Rightarrow \underbrace {{x^3} + {y^3} - 6xy}_{: = G\left( {x,y} \right)} = 0
\end{array} \right.
\]那麼我們的問題很顯然的是，是否可以把上述 隱函數 $F(x,y)=0$ 轉換回原本的 $y = f(x)$?

答案是：只有在一些特定情況才可以求解隱函數 並透過將 $y$ 表示成 $x$ ，那麼這些所謂的特定情況是什麼？ 這個問題將留待 之後我們介紹 隱含數定理的時候才會介紹。這邊只是先給出一些較為直覺的想法：

以下我們看個例子：

Example
考慮隱含數 $F(x,y) = x^2 + y^2 = 25$，試將其改寫回 $y=f(x)$ 的形式。

Solution
\[\begin{array}{l}
F\left( {x,y} \right) = 0\\
 \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 25 = 0\\
 \Rightarrow y =  \pm \sqrt {25 - {x^2}}
\end{array}\]且此時 $y := f(x)$ 且我們可繪製如下圖

Exercise
試仿照前例，考慮隱含數 $x^3+ y^3 = 6xy$ 試將其改寫回 $y = f(x)$ 的形式