[數學分析] 淺論多變數函數的全導數

首先回憶 單變數 函數的導數定義

若 $f : (a,b) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為 實數函數 若 $x \in (a,b)$ 則其 導數
\[
f'(x) := \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}
\]

上述的單變數函數導數雖然直覺，但是若我們想要拓展到多變數情況的時候便會面臨一些問題，比如說上述導數定義需要除以 $h $ 但如果我們現在考慮 多變數 的時候此時分母 $h$ 會變成向量 $\bf h$ 此時我們該怎麼處理 "除以一個向量" 這類的問題。

想法如下：取 norm $||\cdot||$ 將向量變回單變數。

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Definition: Differentiable at point ${\bf x}$
我們稱函數 ${\bf{f}}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ($E$ 為 open) 為在 ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ 可微，若下列條件成立：
存在 Linear Transformation $L \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ 使得
\[\mathop {\lim }\limits_{{\bf{h}} \to 0} \frac{{\left\| {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}}) - L \cdot {\bf{h}}} \right\|}}{{\left\| {\bf{h}} \right\|}} = 0
\]且我們稱 ${\bf f}$ 為在  ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ 可微且記做 ${\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right) = L$
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Definition: Differentiable on an open set $E$
若 ${\bf{f}}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 且 $E$ open，則我們說 ${\bf{f}}$ 在 differentiable on $E$ 若 對任意 ${\bf{x}} \in E$，${\bf{f}}$ 都在 ${\bf{x}}$ 上可微。
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Comments:
1. 若 $\bf f$ 為在 open set $E$ 上 可導，則我們視為 ${\bf f}' : E \to L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$

2. 前述定義中線性算子 $L  ={\bf f}'({\bf x})$ 通常又記做 $D_{\bf x} {\bf f}$ ；我們稱此算子為 total derivative 或者 differential at point $\bf x$


現在我們看幾個例子：
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Example 1. What is the Derivative of a Linear Operator?
令 ${\bf f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 且 ${\bf f}({\bf x}) = A{\bf x}$，其中 $A$ 為 Linear operator (事實上 $A$ 為 $m \times n$ 的矩陣)。試問 ${\bf f}'({\bf x}) =?$
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Solution:
由定義可知我們需要
\[\mathop {\lim }\limits_{{\bf{h}} \to {\bf{0}}} \frac{{\left\| {{\bf{f}}\left( {{\bf{x}} + {\bf{h}}} \right) - {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) - {\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right){\bf{h}}} \right\|}}{{\left\| {\bf{h}} \right\|}} = 0\]故現在觀察
\[{\bf{f}}\left( {{\bf{x}} + {\bf{h}}} \right) - {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) = A\left( {{\bf{x}} + {\bf{h}}} \right) - A\left( {\bf{x}} \right) = A{\bf{h}}\]可以發現若選 ${\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right) = A$ 即為所求。$\square$

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Example 2. 
令 ${\bf f}: \mathbb{R}^1 \to \mathbb{R}^n$ 且 \[{\bf{f}}({t}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&t&{{t^2}}& \cdots &{{t^{n - 1}}}
\end{array}} \right]^T
\]試問 ${\bf f}'({\bf 0}) \in L(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n)$ 為何?
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Solution:
注意到 ${\bf f}: \mathbb{R}^1 \to \mathbb{R}^n$，故由導數定義可知我們希望下式成立：
\[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left\| {{\bf{f}}\left( {0 + h} \right) - {\bf{f}}\left( 0 \right) - {\bf{f}}'\left( 0 \right)h} \right\|}}{{\left\| h \right\|}} = 0\]注意到 $\bf f$ 為 $n \times 1$ 的向量，故
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{\bf{f}}\left( {0 + h} \right) - {\bf{f}}\left( 0 \right) = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&h&{{h^2}}& \cdots &{{h^{n - 1}}}
\end{array}} \right]}^T} - {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0& \cdots &0
\end{array}} \right]}^T}}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&h&{{h^2}}& \cdots &{{h^{n - 1}}}
\end{array}} \right]}^T}\;\;\;\;(*)}
\end{array}\]我們的目的是要找到 ${\bf f'}({\bf 0}) $ 使得
\[\left\| {{\bf{f}}\left( {0 + h} \right) - {\bf{f}}\left( 0 \right) - {\bf{f}}'\left( 0 \right)h} \right\| = 0\]故我們可將待求的導數寫做 ${\bf f'}({\bf 0}) := L = [l_1\;\;l_2\;\;...\;\; l_n]^T$ 其中 $l_1, l_2,...,l_n$ 為待定係數。則
\[\small{{\bf{f}}^\prime }\left( {\bf{0}} \right){\bf{h}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{l_1}}&{{l_2}}&{{l_3}}& \cdots &{{l_n}}
\end{array}} \right]^T}h = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{l_1}h}\\
{{l_2}h}\\
 \vdots \\
{{l_n}h}
\end{array}} \right]\;\;\;\;({ \star })\]現在我們計算 (利用 FACT: 若 $A$ 為 linear operator，則 $||A {\bf x}|| \le ||A|| ||{\bf x}||$)
\[\begin{array}{l}
\left\| {{\bf{f}}\left( {0 + h} \right) - {\bf{f}}\left( 0 \right) - {\bf{f}}'\left( 0 \right)h} \right\| = \left\| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
h\\
{{h^2}}\\
 \vdots \\
{{h^{n - 1}}}
\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{l_1}h}\\
{{l_2}h}\\
{{l_3}h}\\
 \vdots \\
{{l_n}h}
\end{array}} \right]} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} =\left\| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {l_1}h}\\
{h - {l_2}h}\\
{{h^2} - {l_3}h}\\
 \vdots \\
{{h^{n - 1}} - {l_n}h}
\end{array}} \right]} \right\| \le \left\| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {l_1}}\\
{{\rm{1}} - {l_2}}\\
{h - {l_3}}\\
 \vdots \\
{{h^{n - {\rm{2}}}} - {l_n}}
\end{array}} \right]} \right\|\left\| h \right\|
\end{array}
\]故選 $l_2 = 1$ 其餘 $l_i = 0, \;\; \forall i =1,..,n $ 則我們可得
\[\small \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left\| {{\bf{f}}\left( {0 + h} \right) - {\bf{f}}\left( 0 \right) - {\bf{f}}'\left( 0 \right)h} \right\|}}{{\left\| h \right\|}} \le \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left\| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {l_1}}\\
{{\rm{1}} - {l_2}}\\
{h - {l_3}}\\
 \vdots \\
{{h^{n - {\rm{2}}}} - {l_n}}
\end{array}} \right]} \right\|\left\| h \right\|}}{{\left\| h \right\|}}{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left\| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\rm{0}}\\
{\rm{0}}\\
h\\
 \vdots \\
{{h^{n - {\rm{2}}}}}
\end{array}} \right]} \right\|{\rm{ = 0}}
\]故 ${\bf{f}}'\left( 0 \right){\rm{ = }}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\rm{0}}&{\rm{1}}&{\rm{0}}& \cdots &{\rm{0}}
\end{array}} \right]^T}$ $\square$


Exercise：
令 函數 $\Phi: C([0,1]) \to C([0,1])$，且
\[
\Phi(f) := \int_0^x f(t) dt
\]試求其 total derivative $D_f \Phi =?$


讀者也許會認為 上述導數存在並不保證為唯一，但事實上 導數確實具備 uniqueness ，現在我們可以著手處理 uniqueness 問題。
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Theorem: ${\bf{f}}:E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，$E$ 為 open，且假設 ${\bf f}$ 滿足  \[\mathop {\lim }\limits_{{\bf{h}} \to 0} \frac{{\left\| {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}}) - L \cdot {\bf{h}}} \right\|}}{{\left\| {\bf{h}} \right\|}} = 0
\] 且 $L=A_1$， $L= A_2$ 則 $A_1 = A_2$
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Proof:
我們要證明 $A_1 = A_2$，故 令 $B:= A_1 - A_2$ 只要證明 $B=0$即可 (注意! 此處 $0$ 表示 zero-operator ，故要證明對任意 ${\bf h} \in \mathbb{R}^n$，$B {\bf h} = 0$)。現在觀察
\[\begin{array}{l}
\left\| {B{\bf{h}}} \right\| = \left\| {\left( {{A_1} - {A_2}} \right){\bf{h}}} \right\| = \left\| {{A_1}{\bf{h}} - {A_2}{\bf{h}}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \left\| {{A_1}{\bf{h}} - \left[ {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}})} \right] + \left[ {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}})} \right] - {A_2}{\bf{h}}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} \le \left\| {{A_1}{\bf{h}} - \left[ {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}})} \right]} \right\| + \left\| {\left[ {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}})} \right] - {A_2}{\bf{h}}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} \le \left\| {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}}) - {A_1}{\bf{h}}} \right\| + \left\| {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}}) - {A_2}{\bf{h}}} \right\|
\end{array}\]故可推知
\[\small \mathop {\lim }\limits_{{\bf{h}} \to 0} \frac{{\left\| {B{\bf{h}}} \right\|}}{{\left\| {\bf{h}} \right\|}} \le \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{{\bf{h}} \to 0} \frac{{\left\| {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}}) - {A_1}{\bf{h}}} \right\|}}{{\left\| {\bf{h}} \right\|}}}_{ = 0} + \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{{\bf{h}} \to 0} \frac{{\left\| {{\bf{f}}({\bf{x}} + {\bf{h}}) - {\bf{f}}({\bf{x}}) - {A_2}{\bf{h}}} \right\|}}{{\left\| {\bf{h}} \right\|}}}_{ = 0} = 0
\]故 $B$ 為 linear transformation，且注意到 對任意 ${\bf h} \neq {\bf 0}$ 我們有
\[
\frac{||B(t {\bf h})||}{||t {\bf h}||} \to 0 \text{ as $t \to 0$}
\]上述可推知對任意 ${\bf h} \in \mathbb{R}^n$， $B {\bf h} = 0$ 故 $B = 0$。 $\square$