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3/05/2011

[基礎數學] 三角函數極座標與卡式座標互換等式

給定任意實數 a,b,ω 則對任意 t 而言,
acos(ωt)+bsin(ωt)=Acos(ωtϕ)其中 A=a2+b2ϕ=tan1(b/a)


Proof:
首先定義複數 z:=abi 則存在 A=a2+b2ϕ=tan1(b/a) 使得 z=Aeiϕ 接著我們觀察
Aei(ωtϕ)=ei(ωt)(Aei(ϕ))=(cos(ωt)+isin(ωt))z=(cos(ωt)+isin(ωt))(abi)=acos(ωt)bicos(ωt)+aisin(ωt)+bsin(ωt)=(acos(ωt)+bsin(ωt))i(bcos(ωt)asin(ωt))()但又因為
Aei(ωtϕ):=A(cos(ωtϕ)+isin(ωtϕ))()故將 ()() 實部相比,我們可立刻得知
Acos(ωtϕ)=acos(ωt)+bsin(ωt)

Comment:
一般而言,我們將 acos(ωt)+bsin(ωt) 稱作三角函數的卡氏座標表示式 (Cartesian Form),且 Acos(ωtϕ) 稱作三角函數的 大小-相位表示式 (Amlitude-Phase Form) 或 極座標表示式 (Polar Form)。

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