給定任意實數 a,b,ω 則對任意 t 而言,
acos(ωt)+bsin(ωt)=Acos(ωt−ϕ)其中 A=√a2+b2 且 ϕ=tan−1(b/a)
Proof:
首先定義複數 z:=a−bi 則存在 A=√a2+b2 與 ϕ=tan−1(b/a) 使得 z=Ae−iϕ 接著我們觀察
Aei(ωt−ϕ)=ei(ωt)⋅(Ae−i(ϕ))=(cos(ωt)+isin(ωt))z=(cos(ωt)+isin(ωt))(a−bi)=acos(ωt)−bicos(ωt)+aisin(ωt)+bsin(ωt)=(acos(ωt)+bsin(ωt))−i(bcos(ωt)−asin(ωt))(∗)但又因為
Aei(ωt−ϕ):=A(cos(ωt−ϕ)+isin(ωt−ϕ))(⋆)故將 (∗) 與 (⋆) 實部相比,我們可立刻得知
Acos(ωt−ϕ)=acos(ωt)+bsin(ωt)
Comment:
一般而言,我們將 acos(ωt)+bsin(ωt) 稱作三角函數的卡氏座標表示式 (Cartesian Form),且 Acos(ωt−ϕ) 稱作三角函數的 大小-相位表示式 (Amlitude-Phase Form) 或 極座標表示式 (Polar Form)。
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya
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