[基礎數學] 三角函數極座標與卡式座標互換等式

給定任意實數 $a,b, \omega$ 則對任意 $t$ 而言，
\[
a \cos (\omega t) + b \sin (\omega t) = A \cos (\omega t - \phi)
\]其中 $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ 且 $\phi = \tan^{-1}(b/a)$


Proof:
首先定義複數 $z := a - bi$ 則存在 $A= \sqrt{a^2 + b^2}$ 與 $\phi = \tan^{-1}(b/a)$ 使得 $z = A e^{-i \phi}$ 接著我們觀察
\[\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
A{e^{i\left( {\omega t - \phi } \right)}} = {e^{i\left( {\omega t} \right)}} \cdot \left( {A{e^{ - i\left( \phi  \right)}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left( {\cos \left( {\omega t} \right) + i\sin \left( {\omega t} \right)} \right)z
\end{array}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left( {\cos \left( {\omega t} \right) + i\sin \left( {\omega t} \right)} \right)\left( {a - bi} \right)}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = a\cos \left( {\omega t} \right) - bi\cos \left( {\omega t} \right) + ai\sin \left( {\omega t} \right) + b\sin \left( {\omega t} \right)}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left( {a\cos \left( {\omega t} \right) + b\sin \left( {\omega t} \right)} \right) - i\left( {b\cos \left( {\omega t} \right) - a\sin \left( {\omega t} \right)} \right)\;\;\;\;(*)}
\end{array}\]但又因為
\[A{e^{i\left( {\omega t - \phi } \right)}}: = A\left( {\cos \left( {\omega t - \phi } \right) + i\sin \left( {\omega t - \phi } \right)} \right) \;\;\; (\star)
\]故將 $(*)$ 與 $(\star)$ 實部相比，我們可立刻得知
\[ A \cos \left( {\omega t - \phi } \right) = a\cos \left( {\omega t} \right) + b\sin \left( {\omega t} \right)\]

Comment:
一般而言，我們將 $a \cos (\omega t) + b \sin (\omega t) $ 稱作三角函數的卡氏座標表示式 (Cartesian Form)，且 $A \cos (\omega t - \phi)$ 稱作三角函數的 大小-相位表示式 (Amlitude-Phase Form) 或 極座標表示式 (Polar Form)。