Δ,Γ,Θ,ρ,ν,上述的這些希臘字母被用作財務中衍生商品的 避險 (Hedging) 的指標。
那麼問題是這些希臘字母到底如何跟避險扯上關係呢? 這必須要回歸 Black-Scholes Formula:
{C=Se−qTN(d1)−Ke−rTN(d2)P=Ke−r(T)N(−d2)−Se−qTN(−d1)
其中 C 為 Call option 價格,P 為 Put Option 價格, N(⋅) 為 Standard Normal Cumulative distribution function (CDF),且{d1=ln(S/K)+(r−q+12σ2)(T)σ√Td2=d1−σ√T
觀察上述 Black-Scholes Formula,我們知道 選擇權價格 C,P 可表為一個多變數的函數
f(S,K,T,r,q,σ)其中 S 為現時股價,K 為執行價格, T 為到期時間, r 為連續複利的無風險年利率, q 為連續複利的年股息,σ 為 波動度。
想法:對於 B-S formula 所求得的 f(S,K,T,r,q,σ) 對特定參數的變動,我們用一個特定希臘字母來表示他,這些變動用來測量不同的風險:
這邊先介紹 Δ
Δ:=∂f∂S亦即表示為選擇權價格對股價的變化率。(由於其為一階導數,故為斜率)
回憶先前介紹過,
對於 Long Call Position: 0≤Δ≤1 (Short call 則對左式同取負號)
對於 Long Put Position : −1≤Δ≤0 (Short put 則對左式同取負號)
上述結果可繪製如下圖:
Comment:
1. 如果 Δ=0,則表示股票些微變化 不影響 選擇權價格。且此狀態稱為 Delta Neutral
2. Δ 在 Black-Scholes Call opton formula 中等價為 e−qTN(d1);亦即
Δ:=∂f∂S=e−qTN(d1) 其中 N(⋅) 為 Cumulative normal distribution。
3. 關於 Put Option 與 Call Option 的 Δ 值之間存在一固定關係,我們將此關係寫成下面的 Claim :
Claim:
對於 Call option 與 Put Option 的 Δ 有如下關係:
Δc−Δp=e−qTProof
上述關係可以很簡潔的利用 Put-Call Parity 來證明,現在回憶 Put-Call Parity 如下:
C−P=Se−qT−Ke−rT對上式兩邊取對 S 偏導數 ∂∂S:
C−P=Se−qT−Ke−rT⇒∂C∂S⏟Δc−∂P∂S⏟Δp=e−qT⇒Δc−Δp=e−qT ◻
投資組合 的 Delta 與 Superposition (Delta of Portfolio)
現在考慮 Π 為投資組合的價值,則對單一資產 (價格為 S) 的 選擇權或其他衍生商品所組成的投資組合之 Δ 定義為
∂Π∂S 投資組合的 Δ 值可由投資組合中,可先分別計算各自單一的 Options 的 Δ 值在做線性組合:亦即若考慮投資組合由數量為 wi 的選擇權所組合而成 (1≤i≤n) 且對應地 i 個 Option 的 Δ 值為 Δi,則此投資組合的總 Δ 值為
Δ=n∑i=1wiΔi (∗)
現在我們看個例子:
Example
考慮某金融機構持有下列三種某標的資產股票:
- Long 100,000 call options ,執行價格為 K=55,到期時間 T=3 個月,Δ=0.533
- Short 200,000 Call options﹑,執行價格為 K=56,到期時間 T=5 個月,Δ=0.468
- Short 50,000 Call options﹑,執行價格為 K=56,到期時間 T=2 個月,Δ=−0.508
則此金融機構的總 Δ 可由 (∗) 計算而得
Δ=100,000×0.533−200,000×0.468−50,000×(−0.508)=−14,900亦即,如果要達到使此投資組合為 Delta Neutral,則必須 購入 14,900 股 股票。
ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.
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