這次要介紹的是財務中的 希臘值 Greek Letters:
\[ \Delta, \Gamma, \Theta, \rho, \nu
\]，上述的這些希臘字母被用作財務中衍生商品的 避險 (Hedging) 的指標。
那麼問題是這些希臘字母到底如何跟避險扯上關係呢? 這必須要回歸 Black-Scholes Formula：
\[\left\{ \begin{array}{l}
C = S{e^{ - qT}}N \left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N \left( {{d_2}} \right)\\
P = K{e^{ - r(T)}}N \left( { - {d_2}} \right) - S{e^{ - qT}}N \left( { - {d_1}} \right)
\end{array} \right.\]
其中 $C$ 為 Call option 價格，$P$ 為 Put Option 價格， $N(\cdot)$ 為 Standard Normal Cumulative distribution function (CDF)，且\[\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} = \frac{{\ln (S/K) + (r - q + \frac{1}{2}{\sigma ^2})(T)}}{{\sigma \sqrt T }}\\
{d_2} = {d_1} - \sigma \sqrt T
\end{array} \right.\]
觀察上述 Black-Scholes Formula，我們知道 選擇權價格 $C, P$ 可表為一個多變數的函數
\[
f(S,K,T,r,q,\sigma)
\]其中 $S$ 為現時股價，$K$ 為執行價格， $T$ 為到期時間， $r$ 為連續複利的無風險年利率， $q$ 為連續複利的年股息，$\sigma$ 為 波動度。
想法：對於 B-S formula 所求得的 $f(S,K,T,r,q,\sigma)$ 對特定參數的變動，我們用一個特定希臘字母來表示他，這些變動用來測量不同的風險：
這邊先介紹 $\Delta$
\[
\Delta := \frac{\partial f}{ \partial S}
\]亦即表示為選擇權價格對股價的變化率。(由於其為一階導數，故為斜率)
回憶先前介紹過，
對於 Long Call Position： $0 \leq \Delta \leq 1$ (Short call 則對左式同取負號)
對於 Long Put Position ： $-1 \leq \Delta \leq 0$ (Short put 則對左式同取負號)
上述結果可繪製如下圖：
Comment:
1. 如果 $\Delta =0$，則表示股票些微變化 不影響 選擇權價格。且此狀態稱為 Delta Neutral
2. $\Delta$ 在 Black-Scholes Call opton formula 中等價為 $e^{-qT}N(d_1)$；亦即
\[
\Delta := \frac{{\partial f}}{{\partial S}} = e^{-qT}N\left( {{d_1}} \right)
\] 其中 $N(\cdot)$ 為 Cumulative normal distribution。
3. 關於 Put Option 與 Call Option 的 $\Delta$ 值之間存在一固定關係，我們將此關係寫成下面的 Claim :
Claim:
對於 Call option 與 Put Option 的 $\Delta$ 有如下關係：
\[
\Delta_c - \Delta_p = e^{-qT}
\]Proof
上述關係可以很簡潔的利用 Put-Call Parity 來證明，現在回憶 Put-Call Parity 如下：
\[
C-P = Se^{-qT} - Ke^{-rT}
\]對上式兩邊取對 $S$ 偏導數 $\frac{{\partial }}{{\partial {\rm{S}}}}$：
\[\begin{array}{l}
C - P = S{e^{ - qT}} - K{e^{ - rT}}\\
\Rightarrow \underbrace {\frac{{\partial C}}{{\partial S}}}_{{\Delta _c}} - \underbrace {\frac{{\partial P}}{{\partial S}}}_{{\Delta _p}} = {e^{ - qT}}\\
\Rightarrow {\Delta _c} - {\Delta _p} = {e^{ - qT}}
\end{array}\] $\square$
投資組合 的 Delta 與 Superposition (Delta of Portfolio)
現在考慮 $\Pi $ 為投資組合的價值，則對單一資產 (價格為 $S$) 的 選擇權或其他衍生商品所組成的投資組合之 $\Delta$ 定義為
\[
\frac{\partial \Pi}{\partial S}
\] 投資組合的 $\Delta$ 值可由投資組合中，可先分別計算各自單一的 Options 的 $\Delta$ 值在做線性組合：亦即若考慮投資組合由數量為 $w_i$ 的選擇權所組合而成 $(1 \leq i \leq n)$ 且對應地 $i$ 個 Option 的 $\Delta$ 值為 $\Delta_i$，則此投資組合的總 $\Delta$ 值為
\[
\Delta = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i \Delta_i \ \ \ \ (*)
\]
現在我們看個例子：
Example
考慮某金融機構持有下列三種某標的資產股票：
則此金融機構的總 $\Delta$ 可由 $(*)$ 計算而得
\[
\Delta = 100,000 \times 0.533 - 200,000 \times 0.468 - 50,000 \times (-0.508) = -14,900
\]亦即，如果要達到使此投資組合為 Delta Neutral，則必須 購入 $14,900$ 股 股票。
ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.
\[ \Delta, \Gamma, \Theta, \rho, \nu
\]，上述的這些希臘字母被用作財務中衍生商品的 避險 (Hedging) 的指標。
那麼問題是這些希臘字母到底如何跟避險扯上關係呢? 這必須要回歸 Black-Scholes Formula：
\[\left\{ \begin{array}{l}
C = S{e^{ - qT}}N \left( {{d_1}} \right) - K{e^{ - rT}}N \left( {{d_2}} \right)\\
P = K{e^{ - r(T)}}N \left( { - {d_2}} \right) - S{e^{ - qT}}N \left( { - {d_1}} \right)
\end{array} \right.\]
其中 $C$ 為 Call option 價格，$P$ 為 Put Option 價格， $N(\cdot)$ 為 Standard Normal Cumulative distribution function (CDF)，且\[\left\{ \begin{array}{l}
{d_1} = \frac{{\ln (S/K) + (r - q + \frac{1}{2}{\sigma ^2})(T)}}{{\sigma \sqrt T }}\\
{d_2} = {d_1} - \sigma \sqrt T
\end{array} \right.\]
觀察上述 Black-Scholes Formula，我們知道 選擇權價格 $C, P$ 可表為一個多變數的函數
\[
f(S,K,T,r,q,\sigma)
\]其中 $S$ 為現時股價，$K$ 為執行價格， $T$ 為到期時間， $r$ 為連續複利的無風險年利率， $q$ 為連續複利的年股息，$\sigma$ 為 波動度。
想法：對於 B-S formula 所求得的 $f(S,K,T,r,q,\sigma)$ 對特定參數的變動，我們用一個特定希臘字母來表示他，這些變動用來測量不同的風險：
這邊先介紹 $\Delta$
\[
\Delta := \frac{\partial f}{ \partial S}
\]亦即表示為選擇權價格對股價的變化率。(由於其為一階導數，故為斜率)
回憶先前介紹過，
對於 Long Call Position： $0 \leq \Delta \leq 1$ (Short call 則對左式同取負號)
對於 Long Put Position ： $-1 \leq \Delta \leq 0$ (Short put 則對左式同取負號)
上述結果可繪製如下圖：
Comment:
1. 如果 $\Delta =0$，則表示股票些微變化 不影響 選擇權價格。且此狀態稱為 Delta Neutral
2. $\Delta$ 在 Black-Scholes Call opton formula 中等價為 $e^{-qT}N(d_1)$；亦即
\[
\Delta := \frac{{\partial f}}{{\partial S}} = e^{-qT}N\left( {{d_1}} \right)
\] 其中 $N(\cdot)$ 為 Cumulative normal distribution。
3. 關於 Put Option 與 Call Option 的 $\Delta$ 值之間存在一固定關係，我們將此關係寫成下面的 Claim :
Claim:
對於 Call option 與 Put Option 的 $\Delta$ 有如下關係：
\[
\Delta_c - \Delta_p = e^{-qT}
\]Proof
上述關係可以很簡潔的利用 Put-Call Parity 來證明，現在回憶 Put-Call Parity 如下：
\[
C-P = Se^{-qT} - Ke^{-rT}
\]對上式兩邊取對 $S$ 偏導數 $\frac{{\partial }}{{\partial {\rm{S}}}}$：
\[\begin{array}{l}
C - P = S{e^{ - qT}} - K{e^{ - rT}}\\
\Rightarrow \underbrace {\frac{{\partial C}}{{\partial S}}}_{{\Delta _c}} - \underbrace {\frac{{\partial P}}{{\partial S}}}_{{\Delta _p}} = {e^{ - qT}}\\
\Rightarrow {\Delta _c} - {\Delta _p} = {e^{ - qT}}
\end{array}\] $\square$
投資組合 的 Delta 與 Superposition (Delta of Portfolio)
現在考慮 $\Pi $ 為投資組合的價值，則對單一資產 (價格為 $S$) 的 選擇權或其他衍生商品所組成的投資組合之 $\Delta$ 定義為
\[
\frac{\partial \Pi}{\partial S}
\] 投資組合的 $\Delta$ 值可由投資組合中，可先分別計算各自單一的 Options 的 $\Delta$ 值在做線性組合：亦即若考慮投資組合由數量為 $w_i$ 的選擇權所組合而成 $(1 \leq i \leq n)$ 且對應地 $i$ 個 Option 的 $\Delta$ 值為 $\Delta_i$，則此投資組合的總 $\Delta$ 值為
\[
\Delta = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_i \Delta_i \ \ \ \ (*)
\]
現在我們看個例子：
Example
考慮某金融機構持有下列三種某標的資產股票：
- Long 100,000 call options ，執行價格為 $K=55$，到期時間 $T=3$ 個月，$\Delta=0.533$
- Short 200,000 Call options﹑，執行價格為 $K=56$，到期時間 $T=5$ 個月，$\Delta=0.468$
- Short 50,000 Call options﹑，執行價格為 $K=56$，到期時間 $T=2$ 個月，$\Delta=-0.508$
則此金融機構的總 $\Delta$ 可由 $(*)$ 計算而得
\[
\Delta = 100,000 \times 0.533 - 200,000 \times 0.468 - 50,000 \times (-0.508) = -14,900
\]亦即，如果要達到使此投資組合為 Delta Neutral，則必須 購入 $14,900$ 股 股票。
ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.
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