延續上篇 [衍生商品] 希臘值與動態避險 (1)-Delta Hedging Example ，這次要介紹 希臘值 Gamma: $\Gamma$，此參數定義為
\[
\Gamma := \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}
\] 亦即為標的資產價格 $S$ 的二次偏導數。
注意到之前我們定義過 $\Delta := \frac{\partial f}{\partial S}$，故 $\Gamma$ 可視為選擇權 $\Delta $ 的變化 與 標的資產價格 $S$ 變化的比率。
Comment
1. 當 $\Gamma $ 很小的時候，表示 $\Delta$ 變化緩慢 (stable $\Delta$) (亦即對標的資產價格變動不敏感)，故此時對於 $\Delta$-Hedging 所需的 Rebalance 不需太過頻繁。但是若 $\Gamma$ 很大的時候，表示 $\Delta$ 變化劇烈，亦即對標的資產價格變動非常敏感，故此時 $\Delta$-Hedging 需要頻繁的做 Rebalance 來確保 Delta-Neutral ($\Delta =0$)。
2. 如果考慮的是一個 選擇權交易組合的 $\Gamma$，則其定義為
\[
\Gamma := \frac{\partial^2 \Pi}{\partial S^2}
\] 其中 $\Pi$ 為選擇權交易投資組合的價格。
假定且我們假設 標的資產的波動度為 Constant，則投資組合的價格為資產價格 $S$ 與 時間 $t$ 的函數，亦即我們可對 $\Delta \Pi$ 做泰勒展開求資產價格的變化
\[
\small{\Delta \Pi = \underbrace {\frac{{\partial \Pi }}{{\partial S}}}_\Delta \Delta S + \underbrace {\frac{{\partial \Pi }}{{\partial t}}}_\Theta \Delta t + \frac{1}{2}\underbrace {\frac{{{\partial ^2}\Pi }}{{\partial {S^2}}}}_\Gamma \Delta {S^2} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}\Pi }}{{\partial {t^2}}}\Delta {t^2} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}\Pi }}{{\partial S\partial t}}\Delta S\Delta t + ...
}\]其中 $\Delta \Pi$ 與 $\Delta S$ 為 很小的時間區間 $\Delta t$ 內投資組合的價格與股票價格的變化。
現在如果此 投資組合為 Delta-Neutral，亦即 $\Delta=0$，且我們忽略高階項的效果，則上述泰勒展開可改寫為
\[\Delta \Pi \approx \Theta \Delta t + \frac{1}{2}\Gamma \Delta {S^2} \ \ \ \ (*)
\]
下圖展示了 Delta Neutral 的投資組合 $\Delta \Pi$ 與 $\Delta S$的關係。
上圖顯示了如果是 Long option (則此時標的股價上升則投資組合價格跟著上升)，則 $\Gamma >0, \Theta <0$
如果是 Short option ，則 $\Gamma <0, \Theta >0$
3. 對於 European Call option 與 European Put option，B-S formula 可直接求得 $\Gamma$ 的解析式如下：
\[
\Gamma = \frac{{N'\left( {{d_1}} \right){e^{ - qT}}}}{{{S_0}\sigma \sqrt T }}
\] 其中 $N'(\cdot)$ 為 Standard Normal density function。
\[N'\left( {{d_1}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - d_1^2}}{2}}}\]
現在我們看個例子：
=============================
Example (Gamma Neutrality)
假定某標的資產投資組合為 Delta Neutral，其對應的 Gamma 值為 $-10000$，現在假設標的資產價格 $\Delta S$ 在短時間內變化為 $+2$ 或者 $-2$ (假設短時間 $\Delta t \approx 0$)，則交易組合的價值變動為何?
============================
Solution
由於此投資組合已經為 Delta Neutral，故 $\Delta =0$，我們可利用之前推導的結果： $(*)$
\[\begin{array}{l}
\Delta \Pi \approx \Theta \Delta t + \frac{1}{2}\Gamma \Delta {S^2}\\
\Rightarrow \Delta \Pi \approx 0 + \frac{1}{2}\left( { - 10000} \right){\left( 2 \right)^2} = -20000
\end{array}\]亦即交易組合價值下跌 $20000$ 元。 $\square$
再者我們介紹如何使投資組合進一步具備 Gamma Neutral 的特性
Gamma Hedging and Gamma Neutral
假定一個 Delta Neutral 的投資組合的Gamma 值為 $\Gamma$，而某交易所的交易選擇權的Gamma 值為 $\Gamma_T$，現若決定將 $w_T$ 數量的選擇權加入到原本的投資組合中，則新的投資組合的 Gamma 值為 $\Gamma^*$
\[
\Gamma^* =\Gamma + w_T \Gamma_T
\]故如果我們要使投資組合為 Gamma-Neutral，亦即 $ \Gamma^* =0$則我們需用
\[\begin{array}{l}
{\Gamma ^*} = \Gamma + {w_T}{\Gamma _T} = 0\\
\Rightarrow {w_T} = - \frac{\Gamma }{{{\Gamma _T}}}
\end{array}
\] 亦即須增加/減少 $w_T$ 個選擇權，但注意到當我們達成 Gamma Neutral 的時候，很可能會變動到原本的 Delta，故我們需回頭調整 Delta 來保證薪投資組合除了 Gamma Netural 之外亦維持 Delta Netural。
以下我們看個例子如何同時達成 Gamma 與 Delta Neutral。
Example: Delta & Gamma Neutrality
考慮一投資組合為 Delta Neutral，且其 $\Gamma = -3000$，而對應於交易所交易的選擇權的 $\Delta = 0.62, \Gamma=1.50$，試建立一個新的 投資組合使得其 Gamma 與 Delta Neutral
Solution
STEP1 : 首先對付 Gamma
令 $w_T$ 為需交易的選擇權數量。則我們要 $\Gamma^*=\Gamma + {w_T}{\Gamma _T} = 0$故
\[
-3000 + w_T 1.50 = 0\\
\Rightarrow {\rm{ }}{w_T}{\rm{ }} = 2000
\] 故需買入 2000 份選擇權來達成 Gamma Neutral。
STEP2: 找出 Gamma Hedging 之後的 Delta 為多少?
再者由於我們對原本 Delta Neutral 的投資組合中 加入了 2000份的選擇權，故 Delta 被更動，不再是 Delta Neutral。新的 Delta 為
\[
2000 \times 0.62 = 1240
\]亦即透過 Gamma Hedging 之後我們新的投資組合多了 $1240 $ 的 Delta
STEP3 : 對付 Delta :
由於我們多了 1240 的 Delta ，故需賣出1240股達成 $\Delta$ hedging。
(注意到賣出標的股票並不會影響 $\Gamma$ (WHY?! 因為 $\frac{\partial^2}{\partial S^2} S =0$ ) $\square$
接著我們看個稍微複雜一點的例子：
Example (Delta/Gamma Neutral via Put and Call combination )
假定某公司股價最近經歷一連串的下跌，投資者預期該公司股價將持續下跌，故決定購買 $100$ 份 執行價格為 $20$，到期時間為三個月，價格 為 0.75 元的 European Put option 來獲利。現考慮市場條件為 無風險利率 $4 \%$，當前股價為 $22$，股價波動度為 $39 \%$，且該公司不配發股息。
(a) 如果當前股價突然上漲到 $25$ 元/ 每股，則投資人所購入的 Put option 策略 賺/賠 多少?
(b) 現在假設投資者採用 Delta Hedging (在股價原本為 $22$ 的時候) 來保護其購買的 Put option 策略，那麼其淨利為何?
(c) 假設投資人決定再使用執行價格為 $20$ 到期時間為三個月的 European Call option 來達成 Delta-Gamma Neutral (在股價原本為 $22$ 的時候)。試求投資人應如何達成此策略? 其淨利為何?
Solution (a)
改寫已知資訊如下：
\[
K=20, T=3/12, P_{S=0.22}=0.75, r=0.04, S_0=22, \sigma=0.39, q=0
\] 由於股價上漲到 $25$，故連帶的 Put option 價格也會有所變動。
透過 B-S formula 計算 股價上漲到 $25$ 元後的 Put option 價格
首先計算
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{d_1} = \frac{{\ln \left( {{S_0}/K} \right) + \left( {r - q + {\sigma ^2}/2} \right)T}}{{\sigma \sqrt T }} = 1.2931}\\
{{d_2} = {d_1} - \sigma \sqrt T {\rm{ = 1}}{\rm{.0981}}}
\end{array}} \right.\]
帶入 B-S formula：
\[\begin{array}{l}
P = K{e^{ - rT}}N\left( { - {d_2}} \right) - S{e^{ - qT}}N\left( { - {d_1}} \right)\\
\Rightarrow P = 20{e^{ - 0.04 \times \frac{3}{{12}}}}N\left( { - 1.0981} \right) - 25N\left( { - 1.2931} \right) = 0.2488
\end{array}
\]亦即股價上漲後的 Put option price 為 $P_{S=25} = 0.2448$ 元
故可知投資人的 Put option 投資策略 淨利為
\[ (0.2448-0.75)100=-50.52 \]
Solution (b)
現在由於投資人要進行 Delta-Hedging，故我們首先必須求得 Delta 值，由題意可知我們需計算上漲前的 Delta: $\Delta_{S=22, put}$
又由於 Put option 的 Delta 為 $\Delta_{S=22, put}=-e^{-qT} N(-d_1)$，故我們計算 $d_1$ (注意! 此時的 $d_1$ 為股價上漲前的，不可直接使用 part (a) 所計算出來的結果)
\[{d_1} = \frac{{\ln \left( {22/20} \right) + \left( {0.04 - 0 + \frac{{{{\left( {0.39} \right)}^2}}}{2}} \right)\frac{3}{{12}}}}{{0.39\sqrt {3/12} }} = 0.6376
\] 故
\[
\Delta_{S=22, put}=-e^{-qT} N(-d_1) = -0.2619
\] 又由於投資人購買了 100份 Put option，故此投資組合的總 $\Delta$ 為
\[
\Delta = -0.2619 \times 100 = -26.19
\] 所以若欲獲得 Delta-Neutralality，則必須 購入 26.19 股股票。
Solution (c)
現在由於投資人要進行 Delta-Gamma Hedging，故我們首先必須先對付 Gamma：
也就是要先求得 Gamma 值，由題意可知我們需計算上漲前的 Gamma :
\[\Gamma = \frac{{N'\left( {{d_1}} \right){e^{ - qT}}}}{{{S_0}\sigma \sqrt T }}\]
其中
\[N'\left( {{d_1}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - d_1^2}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{e^{\frac{{ - \left( {0.6379} \right)_{}^2}}{2}}} = 0.3255\]
將上式代入 Gamma 可得
\[\Gamma = \frac{{N'\left( {{d_1}} \right){e^{ - qT}}}}{{{S_0}\sigma \sqrt T }} = \frac{{0.3255}}{{22\left( {0.39} \right)\sqrt {3/12} }} = 0.0759
\]注意到上式的 Gamma for put $=$ Gamma for call；亦即 $\Gamma_{call} = \Gamma_{put}$
現在我們考慮加入 $w_T$ 份 Call option，其對應的 $\Gamma_{call} = \Gamma_{put} = 0.0759$，故總 Gamma 為 原本購買 100 份 Put option 的 Gamma 加上 $w_T$ 份 Call option 的 Gamma；又因為我們要達成 Gamma Neutral，故總 Gamma 必須為零；故我們可求解到底需要多少份 call option：
\[\begin{array}{l}
\Gamma = 0.0759 \times 100 + {w_T}0.0759 = 0\\
\Rightarrow {w_T} = - 100
\end{array}
\] 亦即須要賣出 100 份 Call option 即可達成 Gamma Neutral。
但由於我們更動了 Gamma，故 Delta 亦會連帶受到更動；其更動後 (賣出 100 份 Call ) 的 Delta 為
\[
\Delta = -100 e^{-qT} N(d_1) = -100 N(0.6379) = -73.82
\] 故我們需要購入 73.82 股股票 ，即可達成 Delta-Neutral。
總結 Delta-Gamma Hedging 策略 如下：
買入 100 份 Put option (原始策略)
購入 26.19 股股票 (Delta-Neutral)
賣出 100 份 Call option (透過 Call option 達成 Gamma Neutral)
購入 73.82 份 股票 (修正 Gamma Neutral所造成的 Delta 變動)
故總計為
買入 100份 Put
賣出 100份 Call
購入 26.19+73.82=100 股股票
其淨利為： (股價為 $22$ 時 Call option 價格為 $2.9530$；股價上漲到 $25$ 元的 Call option 價格為 5.4438 (此兩數值可透過 B-S model 計算而得或者 Put-call parity))
\[\underbrace {(25 - 22) \times 100}_{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}stock} + \underbrace {\left( {0.2448 - 0.75} \right) \times 100}_{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}put} - \underbrace {\left( {5.4438 - 2.9530} \right) \times 100}_{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Call} = 0.4\]
ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.
