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[衍生商品] 希臘值與動態避險 (1)-Delta Hedging Example

回憶前篇 [衍生商品] 希臘值與動態避險 (0) - Delta and Delta Neutral ,這次要介紹如何利用 $\Delta$ 進行動態避險。

回憶 $\Delta$ 定義如下:
\[
\Delta := \frac{\partial f}{ \partial S}
\]亦即表示為 選擇權價格 $f$ 對 股價 $S$ 的變化率。(由於其為一階導數,故為斜率)

現在來看個例子:

Example 1 : (Delta Hedging)

如果 $\Delta = 0.6$ 則表示當股價 些微變化 的時候,對應的選擇權價格變化大約是股價變化值 的 $60 \%$。
下圖顯示了一組 $\Delta$ 值在某時刻的例子:


考慮上圖,假設股價為 $\$ 100 $,Call option 價格為 $ c= \$ 10$,現在考慮某金融機構的交易員賣出了 $20$ 份 Call option (一份選擇權對應其持有者可以有權購買 $100$ 股,亦即 $20$ 份call option 共 $x= 20 \times 100 = 2000$ 股)。此時如果不進行避險,則當股價上升時,該交易員會暴露風險之中:

簡單的說,現在有兩個人物:
  1. 賣出 call option 的交易員
  2. 跟交易員 購買 call option 的客戶
此時客戶的 $\Delta_{Customer} =0.6$ (因為購入call option,當股價上升對顧客有利,此時 $\Delta >0$)
而交易員的 $\Delta_{trader} = -0.6$, (由於交易員是 "賣出" 選擇權,故當股票價格上升,則選擇權會被執行,此情形時將對交易員產生風險。故此 $\Delta$ 對 交易員而言是負值)

現在,站在交易員的觀點,如果不進行避險,則交易員本身的潛在損失為
\[
-0.6 \times 2000 =-1200 \ \text{shares}
\]
我們必須消除賣出 Call option所帶來的 風險,此時交易員可進行 $\Delta$-Hedging  來補足缺少的 $1200$ 股 股票。:

由於交易員是 "賣出" Call option ,故避險方法便是進行反向操作,也就是可以透過 "買入" 一定量股票來抵銷當 股價上升時,Call option 被執行所帶來的損失風險,故
購買 $\Delta \times x = 0.6 \times 2000 =1200$ 股股票

此時如果 股票上漲 $1$ 元,則交易員 買入的股票會上升 $1200$ 元 (賺 $1200$ 元),而由 圖中 $\Delta =0.6$ 可知 Call option 會上漲 $0.6$ 元,故如果此時 Call option 被持有者執行,則交易員會損失 $0.6 \times 2000 = \$ 1200$ 此數值剛好會跟交易員進行避險時候買入的股票所賺取的 $1200$ 抵銷。

相反的如果股票下跌 $1$元,則交易員 買入的股票會下跌 $1200$ 元 (損失 $1200$ 元),而由圖中 $\Delta =0.6$ 可知 Call option 亦會下跌 $0.6$ 元,此時選擇權不會被執行,則交易員因為賣出選擇權 會賺得 $ \$ 1200$ 此數值剛好會跟交易員進行避險時候賣出的股票所損失的 $1200$ 抵銷。 $\square$

Comment:
1. 注意到上述例子中,由於 $\Delta$ 會變動,故抵銷後的 $\Delta$-Hedging 只能維持一段極短時間,也就是需要不斷的調整 $\Delta$-Hedging ,此稱為 Rebalancing。
一般而言,隨時間不斷調整的 避險策略 統稱為 $Dynamic Hedging$,這邊展示的是利用 $\Delta$ 進行避險

2. $\Delta$ 在 Nondividend Black-Scholes formula 中等價為 $N(d_1)$;亦即
\[
\Delta := \frac{{\partial f}}{{\partial S}} = N\left( {{d_1}} \right)
\] 其中 $N(\cdot)$ 為 Cumulative normal distribution。

3. $\Delta$ -Hedging 並非 Perfect Hedging。(WHY!? 理由同 comment 1 )

Example 2 (Delta-Hedging )
考慮 造市商(market-maker) 賣出  $100$ 股 $K=40$ 的 call-option,且
$K=40, \sigma=0.3$, $r=0.08 $ 連續複利
現在考慮 Day 0,$S=40, c \$=2.78, \Delta=0.58$
如何進行 $\Delta$-hedging?
How much cost you to create such a $\Delta$-hedging ?

現在再考慮 Day 1,$S=40.5, c= \$ 3.06$, $\Delta=0.61$
如何進行 $\Delta$-hedging?
Overnight Mark-to-market profit/loss ?

現在再考慮 Day 2,$S=39.25, c= \$2.328$, $\Delta=0.53$
Overnight Mark-to-market profit/loss ?

Solution:
考慮 時刻為 DAY 0
首先考慮不進行避險情況,market-maker 本身為 $-\Delta \times 100 = -58$,故需要補足此 $58$ 股股票,亦即需要購買 $58$ 股 股票即可達成 DAY0 $\Delta$-Hedging。

接著我們可以計算要花多少錢才可以建構此避險策略: ( 賣出選擇權 與 購入 股票之後的花費):
\[
58 \times 100 - 2.78 \times 100 = \$ 2042
\]故我們知道建構此避險策略需要花費 $\$ 2042$,故我們可借入此金額並考慮利率,亦即我們借入 $2042 \times e^{8\%/365} = 2042.45$,故利息為 $2042.45-2042=\$ 0.45$。現在總結 Day 0 如下:

購入 $58$ 股股票 達成避險,然後我們需要借入 $2042$  元 並支付利息 $0.45$ 來達成此避險策略。

接著考慮 DAY 1
此時相關資訊(股價、選擇權價格、Delta)變動為 $S=40.5, c= \$ 3.06$, $\Delta=0.61$

我們可以先行計算 Overnight mark-market profits/loss :
\[
(40.5-40) \cdot (58) - (3.06-2.78) \cdot (100) - 0.45 = 0.55
\] 由於此時 $\Delta =0.61$ 已經改變,故我們需要重新調整股票數來消除風險。
首先考慮不進行避險情況,market-maker 本身為 $-\Delta \times 100 = -61$,故需要補足此 $61$ 股股票,但由於在 DAY0 已經購入 $58$ 股,故我們只需再購買 $61-58 = 3$ 股 股票即可達成 DAY1 $\Delta$-Hedging。

現在我們來計算達成此避險策略所需的花費 (DAY1 total cost ):
\[
61 \times 40.5 - 3.06 \times 100 = 2164.5
\] 同樣地,我們可以得知需要借入 $2164.5$ 元 且須支付利息為 $2164.5e^{8\%/365} - 2164.5=0.47$

考慮 DAY2 Mark-market Profits/loss:
此時相關資訊(股價、選擇權價格、Delta)變動為 $S=39.25, c= \$2.328$, $\Delta=0.53$
\[
 (39.25-40.5) \cdot 61 - (2.328-3.06) \cdot 100 - 0.47 = -3.52 \ \ \ \ \square
\]


ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.

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事實上想法是這樣的:
比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "!

但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說
\[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T
\]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$???
再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]
\],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。

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==================
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