[衍生商品] 淺談選擇權 (2) - Put-Call Parity

這次要介紹的是選擇權訂價一個重要的關係：買權賣權等價關係 (Put-Call Parity)：

想法： 利用 Option 建構一個 合成的 Forward contract ，再來比較其 payoff

現在考慮 當前股價為 $S_0$ 的 無配發股息的股票 (Non-dividend paying stock)，且 $C, P$ 為對應的 Call option 與 Put option 的價格；現在我們透過 Buying a call + Short a put 可以得到 Synthetic forward 如下圖 Payoff (點圖放大)

注意到上圖右方合成之後的 Payoff 圖等價 Long a forward ，故我們稱此利用 Option 所合成出來的 Forward 為 Synthetic forward。

另外，如果我們觀察對於 Synthetic Forward 而言，我們是透過 Buying a call + short a put 達成，故其當前的 Payoff  (Payoff Today) 可寫為 $-C + P$ (買一份 call $ = -C$，賣出一份 put $=+p$)；且 Payoff at Expriation date 為 $S_T - K$

另外對於標準 Forward 而言，其 Payoff Today $=0$ (由於 Forward 並不需支付premium，故 Payoff today =0)；而 Pay off at Expriation date 為 $S_T -F_0$

因為我們的 Synthetic Forward 是用來 mimic 標準的 Forward ，故此兩者之 Payoff 必須等價，我們將所有的 payoff 都折現到 Today 來比較：

Payoff Today :
\[
-C + P + PV(S_T - K) = 0 + PV(S_T - F_0) \\
\Rightarrow C-P =  PV( F_0 - K)
\] 又由於對 Forward 而言 $PV(F_0) := S_0$，故我們得到
\[
C-P =  S_0 - PV( K)
\] 上式稱為 歐式選擇權 無支付股息 的 Put-Call Parity。

注意到如果上式出現
\[
C-P \neq  S_0 - PV( K)
\] 則此時出現套利機會，因為 Put-Call parity 不再成立。亦即如果出現
$C > P + S_0 - PV( K) $ 則 表示 當前 的 Call option 價格過高，可以 Short call + buy $(P+S_0 -PV(K))$ 達成套利。

或者 $C < P + S_0 - PV( K)$ 則表示當前的 call option 價格過低，可以 long call + sell $(P+S_0 -PV(K))$ 達成套利。


現在我們再問個問題，如果現在考慮 Divdend paying Stocks ，Put-Call Parity 該如何修正呢?
首先寫下一般 Put-Call Parity
\[
C-P =  PV( F_0 - K)
\] 回憶對於有 Dividend paying 的 Forward ，我們有 $PV(F_0) := S_0 - PV(D)$，故我們將上式改寫
\[
C-P =  S_0  - PV(D) -PV( K)
\] 上式即稱為歐式選擇權 有支付股息 的 Put-Call Parity

如果考慮股息為連續複利 $q$，則我們
\[
C-P =  S_0 e^{-qT} -PV( K)
\]

現在我們看個例子：

Example: Put Call Parity
考慮一執行價格 $\$ 30$ 且六個月後到期的 股票歐式 Call option 其價格為 $ \$ 2$，其標的股價為 $\$ 29$，且股息為 $\$ 0.5$ 預計於二個月與五個月的時候發放，無風險利率為 $10 \%$連續複利計，試求相同規格的 Put option 合理價格 (無套利機會價格) 應為多少?

Solution
改寫已知資訊如下：
\[
K=30, C=2, S_0=29, D=0.5, r=0.1, T=6/12
\]由 Put-Call parity 可知
\[\begin{array}{l}
C - P = {S_0} - PV\left( D \right) - K{e^{ - rT}}\\
 \Rightarrow 2 - P = 29 - \left( {0.5{e^{ - 0.1 \times \frac{2}{{12}}}} + 0.5{e^{ - 0.1 \times \frac{5}{{12}}}}} \right) - 30{e^{ - 0.1 \times \frac{6}{{12}}}}\\
 \Rightarrow P = 2.51
\end{array}\]


Example: No-Arbitrage Opportunity via Put-Call Parity
考慮一執行價格為 $50$ 且到期時間為 12個月 的股票歐式 Call option ；且其價格為 $\$ 6$。同樣規格的的 股票歐式 Put Option 價格為 $\$ 5$；另外市場當前股價為 $54$，配發股息預計於六個月後配發 $4$元，連續複利無風險年利率為 $5 \%$。

試問是否存在 套利機會?

Solution
先求無套利機會價格，由 Put-Call parity
\[\begin{array}{l}
C - P = {S_0} - PV(D) - PV(K)\\
 \Rightarrow C = P + {S_0} - PV(D) - PV(K)\\
 \Rightarrow C = 5 + 54 - 4{e^{ - 0.05 \times \frac{6}{{12}}}} - 50{e^{ - 0.05 \times \frac{{12}}{{12}}}}\\
 \Rightarrow C = 7.5373
\end{array}
\]注意到由 Put-call parity 得到的結果顯示 $C = 7.5373$ 但當前的 Call price 為 $6$ 故存在套利機會：由於當前 Call price 低於 7.5373，故我們可 Long Call option 接著賣出 其餘組合如下表

\[\small{\begin{array}{l}
6 < C = P + {S_0} - PV(D) - PV(K)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Exp.\left( {{S_T} \le K} \right)}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Exp.\left( {{S_T} > K} \right)}\\
\hline
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Call}&{ - C}&0&0&{{S_T} - K}\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Put}&{ + P}&0&{ - \left( {K - {S_T}} \right)}&0\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ + {S_0}}&{ - D}&{ - {S_T}}&{ - {S_T}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ + PV\left( D \right)}&{ + D}&0&0\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ K}&{ - PV\left( K \right)}&0&K&K\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&{}&0&0&0
\end{array}\\
\\
 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}&{Today}&{6\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}month}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Exp.\left( {{S_T} \le 50} \right)}&{At\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Exp.\left( {{S_T} > 50} \right)}\\
\hline
{Long\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Call}&{ - 6}&0&0&{{S_T} - 50}\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Put}&{ + 5}&0&{ - \left( {50 - {S_T}} \right)}&0\\
{Short\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Stock}&{ + {54}}&{ - 4}&{ - {S_T}}&{ - {S_T}}\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ D}&{ - 4{e^{ - 0.05 \times \frac{6}{{12}}}}}&{ + 4}&0&0\\
{invest\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\$ K}&{ - 50{e^{ - 0.05 \times \frac{{12}}{{12}}}}}&0&{50}&{50}\\
{Total\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}Gain}&{1.5373}&0&0&0
\end{array}
\end{array}}\]