[衍生商品] 淺談選擇權 (1) - Some Properties of Option

延續上篇 [衍生商品] 淺談選擇權 (0) - Moneyness and profit/payoff of Option ，我們目標是要找出合理的定價。但目前對上述並無頭緒，只知道 選擇權價值 = 內在價值與時間價值。
\[
\text{Option Value $=$ Intrinsic Value $+$ Time Value}
\] 然後 由報價中，我們可以發現有一些參數似乎會影響我們對選擇權的定價。

現在我們總結需要的參數：

$K$: 執行價格 (Strike Price)

$S_0$: 當前標的資產價格 (這邊我們以當前股價表示) (Current Stock Price)
$\sigma$: 股價波動度 (Volatility)

$T$ : 到期時間 (Expiration time)
$r$ : 無風險利率 (risk-free interest rate)
$D$: 股息 (Dividend)
Style: 美式選擇權 或者 歐式選擇權。

接著我們討論當上述參數變動的時候，會對選擇權價格造成甚麼影響?

Varying Strike Price $K$：

現在考慮兩個不同的執行價格 $K_1, K_2$ 且 $K_1 < K_2$，則我們知道對於 Call option 而言，越低的執行價格代表越此 Call option 獲利機會相對較大，故Call option 售價在較低的 執行價格 應越高

\[ C(K_1) > C(K_2) \] 對 Put Option 而言，情況則相反

\[ P(K_1) < P(K_2) \] 那麼現在如果我們考慮兩選擇權除了 Strike price 以外其餘參數皆相同，則我們有如下重要結果：

\[\left\{ \begin{array}{l} {K_2} - {K_1} \ge C({K_1}) - C({K_2}) \ge 0\\ {K_2} - {K_1} \ge P({K_2}) - P({K_1}) \ge 0 \end{array} \right.\]

Varying  Expiration Time $T$：

1. 對於美式選擇權而言，越長的 $T$ 表示有越多機會可以 執行，故 $T$ 增大 $\Rightarrow$ 選擇權價格上升
2. 如果對歐式選擇權，到期時間的效果無法看出確切關係 (越長的 $T$ 並無法保證選擇權價格上升/下降)

選擇權價格的上/下界：
對於 Call Option 而言，其 Call option price 的上下界如下圖所示：，

對於 Put Option 而言，其 Put option price 的上下界如下圖所示：

現在我們看個例子：

Example: (Lower Bound of call option)
現在考慮一個 6個月到期且不支付股息的 Call option，當前股價為 $\$ 80$，執行價格為 $\$75$，且無風險年利率為 $10 \%$ 以連續複利計。試求其選擇權的下界應為何?

Solution
由於此為 Call option，我們知道其下界為
\[\begin{array}{l}
\max \{ {S_0} - PV(K),0\} \\
 \Rightarrow \max \{ 80 - 75{e^{10\%  \times \left( {6/12} \right)}},0\}  = \max \{ 8.66,0\}  = 8.66
\end{array}\]


延伸閱讀
[衍生商品] 淺談選擇權 (2) - Put-Call Parity