[衍生商品] 淺談選擇權 (0) - Moneyness and profit/payoff of Option

選擇權 (Option) 定義： 為一個非綁定合約，給予 持有者 在合約上約定的 (未來)到期日期 (Expriation date)，依照合約上約定的 執行價格 (Strike price)，買入或者賣出標的資產 (EX: 股價、指數、外匯利率) 的權利。

Comment
1. 上述 非綁定合約，意指 持有者不一定要履行選擇權。亦可選擇放棄履行
2. 選擇權 與 期貨 (futures) 最大差別在於 選擇權買方需先支付權利金 (premium) 給賣方。但期貨無須先支付權利金。

選擇權依照分類有兩種：

1. 買權 (Call option): 
在指定到期日期，持有者有權利以 Strike price 購買 標的資產

下圖為購買一組買權： Long (=Buy) a Call Option 在到期日的 Payoff 與 Profits (點圖放大)

上圖中 $C$ 表示 Call option 價格，而 $FV(C)$ 則為 到期時刻 Call option 的 future value，$K$ 為執行價格， $S_T$ 為到期日時的股價。其 Payoff 與 Profit 用數學表示可寫為：
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{Payoff}}{{\rm{}}_{Call}}:\max \left\{ {{S_T} - K,0} \right\}\\
{\rm{Profit}}{{\rm{}}_{Call}}:\max \left\{ {{S_T} - K,0} \right\} - FV\left( C \right)
\end{array} \right.\]

2. 賣權 (Put option): 
在指定到期日期，持有者有權利以 Strike price 賣出 標的資產

下圖為 購買一組賣權 Long (=Buy) a Put Option 在到期日的 Payoff 與 Profits (點圖放大)

上圖中 $P$ 表示 Put option 價格，而 $FV(P)$ 則為 到期時刻 Put option 的 future value，$K$ 為執行價格， $S_T$ 為到期日時的股價。其 Payoff 與 Profit 用數學表示可寫為：
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{Payoff}}{{\rm{}}_{Put}}:\max \left\{ {K - {S_T},0} \right\}\\
{\rm{Profit}}{{\rm{}}_{Put}}:\max \left\{ {K - {S_T},0} \right\} - FV\left( P \right)
\end{array} \right.\]

另外亦可依照 何時可以執行 來分類

1. 歐式選擇權 (European Option) : 只能在到期日才能執行 買/賣權。
2. 美式選擇權 (American Option) : 在到期日之前都能執行 買/賣權。

Comment:
 可以想見由於 美式選擇權給予持有者更大的彈性決定甚麼時候要執行，故此選擇權價格必定會高於 歐式選擇權。亦即如果我們稱 $C$ 為 Call option 價格， $P$ 為 Put Option 價格，則 美式與歐式之間有如下關係：
\[
C_{American} \geq C_{European}\\
P_{American} \geq P_{European}
\]另外今日大多數選擇權交易都以美式選擇權為主。


有了上述觀念，我們可以在介紹新的專有名詞，稱作 Moneyness of Option：

術語：Moneyness of Option 
一般而言，選擇權立刻執行的當下，我們可針對其 Payoff  (立刻執行的當下，選擇權的價格) 進行討論，賺錢/賠錢/或者不賠不賺的情況有一些相對應的術語，我們把他寫在下面：

1. In the Money: 
指如果立刻執行選擇權，則 payoff $>0$； (立刻執行會賺，稱 In the Money)
2. Out of the Money: 
指如果立刻執行選擇權，則 payoff $<0$； (立刻執行會賠，稱 Out of the Money)

3. At the Money: 
指如果立刻執行選擇權，則 Payoff $=0$； (立刻執行結果不賺不賠，稱 At the Money)

選擇權的價值 (Option Value)
選擇權價值 (Option Value) = 內在價值 (Intrinsic Value) + 時間價值 (Time Value)

亦即 我們可說
\[
\text{Option Value $\geq$ Intrinsic Value }
\] 其中 內在價格 = 如果現在立刻執行該選擇權所會獲得的 payoff；
時間價格 $>0$ always。

上述關係說明了 時間價格的隱含意義，他指出時間價格 用來表示儘管選擇權在一段時間內是 Out-of-money，但是隨著(未來)時間變動有可能會有上漲/下跌的可能，此可能性會導致儘管現在選擇權可能是處在 Out-of-money的狀態，其 Option Value 仍然是正值。因為人們可能預期未來選擇權的價值可能會上升

有了上述概念，我們可以開始先看一下一般而言，實際上 選擇權 是如何報價的：
下圖為美國芝加哥交易所(www.cboe.com) 對 S&P500 Index 的 American Option 報價 (Bid-Ask price)：

NOTE: 
Ask price: 你要購買選擇權所需花費的價格，
Bid price 你要賣出選擇權所得的價格

上圖中，左方綠色部分為 Call option (買權) ，右方則為 Put Option (賣權)；且執行價格為 $K=500, 600, 700, ...,1,000$，到期日為 May 2014。

那麼現在問題是，這些Bid-Ask Price 究竟如何得到的呢? 怎麼知道這些價格是否合理??
這些問題將留待下一篇文章在做介紹。
[衍生商品] 淺談選擇權 (1) - Some Properties of Option
[衍生商品] 淺談選擇權 (2) - Put-Call Parity