在討論 輸入輸出關係 之前，我們必須要對我們感興趣的動態系統 (這邊主要討論線性系統) 做些適當的假設：
在給定輸入之前 ( 亦即輸入為 0 )，系統必須為 "靜止" at rest ，此類系統稱為 鬆弛系統 (relaxed system)，且 給定輸入之後，其對應的系統輸出 必須完全 由給定輸入決定 (無其他輸入源)。我們才能有效建立合理的 I-O關係。
現在令 $y$ 為量測輸出(measurement output)， $u$ 為輸入 (input)。一般對於一個 鬆弛系統的 I-O 關係可簡單表為
\[
y= H u
\]其中 系統為 $H$。
在上式中我們可以想像 系統 $H$ 為一個 黑盒子 (black-box)，亦即我們不清楚系統怎麼運作，但我們能做的就是盡可能給予各種不同的輸入 $u$，來 測量 對應的輸出 $y$。並且試圖找出 輸入 與輸出的關係 以合理描述系統的特性。
那麼由於這邊我們討論的主角系統為線性系統，故我們必須先給出什麼是線性系統的嚴格定義：
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Definition: Linear Relaxed System
一個 鬆弛系統 被稱為 線性 Linear 若且為若 對任意輸入向量 $u_1$ 與 $u_2$ 與 任意純量 $\alpha_1$ 與 $\alpha_2$ 具有下列線性關係
\[
H(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2) = \alpha_1 Hu_1 + \alpha_2 H u_2
\]====================
comments :
1. 上述線性關係可視為 如果我們把一個輸入 $\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2$ 輸入到系統 $H$ 之中，則此結果等價於各別
輸入 $\alpha_1 u_1$ 與 $ \alpha_2 u_2$ 到系統 $H$ 之中再將結果疊加起來。 此性質稱為重疊原理 (superposition principle) 或者線性關係的 加法性(additivity) 與 齊次性(homogeneity)。
2. 線性系統必為 Relaxed System。反之則否。
3.
在我們討論 鬆弛系統的 I-O關係之前，我們需要先介紹一個重要的函數： Dirac delta function 或稱 Impulse function
定義 $\delta_{\Delta}(t - t_1)$ 為 Pulse function 如下
\[{\delta _\Delta }(t - {t_1}): = \left\{ \begin{array}{l}
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{if}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t < {t_1}\\
1/\Delta ,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{if}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{t_1} \le t < {t_1} + \Delta \\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\rm{if}}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t \ge {t_1} + \Delta
\end{array} \right.
\] 下圖顯示了 Pulse function
注意到 $\delta_{\Delta}(t- t_1)$ 面積為1，如果我們令 $\Delta \rightarrow 0$ 則可得
\[
\mathop {\lim }\limits_{\Delta \to 0} {\delta _\Delta }(t - {t_1}): = \delta (t - {t_1})
\] 上式稱為 單位脈沖函數 Unit-Impulse function 或稱 Dirac-delta function。
Comment:
任意分段連續 (piecewise continuous) 輸入函數 $u(t)$ 可以透過一連串的 pulse function 來近似；亦即我們可以將任意分段連續輸入 $u$ 寫為
\[
u = \sum_i u(t_i) \delta_{\Delta}(t - t_i) \Delta
\]
如下圖所示
因此我們有如下關係：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t- t_1) dt = 1
\] 且 對在 $t_1$ 連續的任意函數 $f$ ，我們有
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t- t_1) dt = f(t_1)
\]
有了上述 Impulse response 的想法，我們可以開始發展對 鬆弛線性系統的數學模型
考慮一個鬆弛線性系統的 近似 輸入輸出 關係如下
\[
y = H u
\] 則其中 $u = \sum_i u(t_i) \delta_{\Delta}(t - t_i) \Delta$，故
\[y = H\left( {\sum\limits_i u ({t_i}){\delta _\Delta }(t - {t_i})\Delta } \right) \Rightarrow y = \sum\limits_i {Hu} ({t_i}){\delta _\Delta }(t - {t_i})\Delta
\] 現在令 $\Delta \rightarrow 0$，則上式中的 近似的 $y$ 會逼近真實輸出，且 summation 會逼近積分，且 pulse function $\delta_{\Delta}(t - t_i)$ 會逼近 $\delta(t - t_1)$
\[
y = \int_{ - \infty }^\infty {Hu(\tau )\delta (t - \tau )d\tau } \ \ \ \ (\star)
\] 注意到若 對所有 $\tau$，已知 $H \delta( t- \tau)$，則所有的輸出都可以由上式計算出來。
我們現在定義 $H \delta (t - \tau ) := g(t, \tau)$，注意到 $g$ 有雙變數，其中 第二個變數 $\tau$ 表示在 $\tau$ 時刻 delta-function，另外第一個變數 $t$ 則為在時刻 $t$ 輸出被量測到。由於 $g(t, \tau)$ 為脈衝函數的系統響應(亦即如果 $u = \delta(t-\tau)$)，我們稱之為脈衝響應 ( Impulse response)。故可將 $\star$ 改寫為
\[
y(t) = \int_{ - \infty }^\infty g (t,\tau )u(\tau )d\tau
\] 也就是說對一個 relaxed linear 系統，其輸出可完全由上式積分決定，其中 $g(t, \tau)$ 為系統脈衝響應。
現在我們問一個問題：
給定任意系統在時刻 $t_0$，如何得知此系統已經為 relaxed?
想法如下：如果沒有輸入的時候，系統必須也沒有輸出，則我們就說此系統為 relaxed。我們將此結果改寫成下面定理：
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Theorem (How to determine the relaxedness of a given system)
考慮一個系統由脈衝響應表示
\[
y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t,\tau) u(\tau) d \tau
\]我們稱此系統在時刻 $t_0$ 為 relaxed，若且唯若 $u_{[t_0, \infty)} =0\Rightarrow y_{[t_0, \infty)} \equiv 0$
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Ref:
[1] Chi-Tsong Chen, Linear System Theory and Practice 2nd.
[2] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, with S. Hamid, Signal and Systems (2nd)
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