[數學分析] Volterra integral 與 Contraction Principle

首先回憶 Contraction Principle。

Theorem: Contraction Principle
若 $(X,d)$ 為 complete metric space 且 $\Phi$ 為 contraction on $X$，則
$\Phi$ 有 唯一 不動點 $x^*$ (unique fixed point)；亦即 存在 $x^* \in X$ 使得 $\Phi(x^*) = x^*$


考慮 $K$ 為在 $[a,b]\times[a,b]$上 連續函數
現在我們定義 Volterra Integral $\cal K$ 如下
若 $\phi \in C([a,b])$，$\cal K: C([a,b]) \to C([a,b])$ 且滿足
\[
\mathcal{K}f(x):= \phi(x) + \lambda \int_a^x K(x,y)f(y)dy
\]

利用 Contraction Principle 我們可以證明下面命題：

Proposition: 對任意 $\lambda>0$，Volterra Integral $\cal K$ 有 fixed point on $C([a,b])$ with sup metric。

Proof:
我們要證明 Volterra Integral $\cal K$ 有 fixed point on $C([a,b])$，由於 $C([a,b])$ with sup metric 為 complete metric space，故若我們可以證明  $\cal K$ 為 contraction 則由 Contraction Principle 可知必有唯一不動點。

回憶 一個函數 $\Phi$ 為 metric space $(X,d)$ 上的 contraction 定義為：$\Phi:X \to X$ 且 存在 $c$ 滿足 $0 \le c <1$ 使得 $d(\Phi(x),\Phi(y)) \le c \cdot d(x,y)$。

故我們觀察
\[\begin{array}{l}
d(K{f_1},K{f_2}) = \left\| {K{f_1} - K{f_2}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\sup }\limits_x \left| {\lambda \int_a^x K (x,y)\left[ {{f_1}(y) - {f_2}\left( y \right)} \right]dy} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \mathop {\sup }\limits_x \lambda \int_a^x {\left| {K(x,y)\left[ {{f_1}(y) - {f_2}\left( y \right)} \right]} \right|} dy
\end{array}\]由於 $K(x,y)$ 為 compact domain $ [a,b]\times [a,b]$上的連續函數故必有極值，我們可說 存在$M>0$使得對所有的 $x,y \in [a,b]\times [a,b]$$|K(x,y)| \le M$ ，故我們有
\[\begin{array}{l}
\left\| {K{f_1} - K{f_2}} \right\| \le \mathop {\sup }\limits_x \lambda \int_a^x {\left| {K(x,y)\left[ {{f_1}(y) - {f_2}\left( y \right)} \right]} \right|} dy\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \lambda M\mathop {\sup }\limits_x \int_a^x {\left| {{f_1}(y) - {f_2}\left( y \right)} \right|} dy\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \lambda M\left( {b - a} \right)\left\| {{f_1} - {f_2}} \right\|
\end{array}\]注意到上式儘管有 contraction 的樣子但並非為 contraction (why? 因為 前方係數 $c:=\lambda M (b-a)$ 不一定 小於 $1$)

那麼我們該怎麼做? 回憶我們可以對函數做 n-th iteration 在檢驗其是否為 contraction：首先做 2次 iteration 並
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow {K^2}f = \phi (x) + \lambda \int_a^x K (x,y)\left[ {\phi (y) + \lambda \int_a^y K (y,z)f(z)dz} \right]dy\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \phi (x) + \lambda \int_a^x {K(x,y)\phi (y)} dy + {\lambda ^2}\int_a^x {K(x,y)\int_a^y K (y,z)f(z)dz} dy
\end{array}\]現在再度檢驗 contraction property
\[\begin{array}{l}
{K^2}{f_1} - {K^2}{f_2} = {\lambda ^2}\int_a^x {K(x,y)\int_a^y K (y,z)\left[ {{f_1}(z) - {f_2}(z)} \right]dz} dy\\
 \Rightarrow \left| {{K^2}{f_1} - {K^2}{f_2}} \right| \le {\lambda ^2}{M^2}\left\| {{f_1} - {f_2}} \right\|\int_a^b {\int_a^b {dzdy} } \\
 \Rightarrow \left\| {{K^2}{f_1} - {K^2}{f_2}} \right\| \le \frac{{{\lambda ^2}{M^2}{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{2}\left\| {{f_1} - {f_2}} \right\|
\end{array}\]重複上述步驟 到 $n-th$ iteration 可得
\[\left\| {{K^n}{f_1} - {K^n}{f_2}} \right\| \le \frac{{{\lambda ^n}{M^n}{{\left( {b - a} \right)}^n}}}{{n!}}\left\| {{f_1} - {f_2}} \right\|\]故若取足夠大的 $N$ 使得 $n \ge N$ 我們可得到 contraction。

則由 contraction principle 可推知 Volterra integral 存在 unique fixed point。