先前我們提及 對於 週期訊號 可以透過 Fourier Series Represenation,但如果要處理的對象是 非週期訊號 (aperiodic) 該怎麼辦呢? ------------------ 基本想法: 設法讓 非週期訊號 用 週期訊號表示 ,則原本對 週期訊號的 Fourier Series 展開的方法仍然適用。那麼要如何才能辦到? 我們讓非週期訊號以週期 $T \rightarrow \infty$ 的方式重現 週期訊號。 ------------------- 下面我們更具體一點的來看看如何實現上述的基本想法,現在考慮 $x(t)$ 為 (有限範圍) 的 連續 非週期訊號如下圖 亦即存在實數 $T_1$ 使得非週期訊號 $x(t) := 0$ 若 $|t| > T_1$。 現在我們複製上面的 有限範圍 ($-T_1 < t < T_1 $) 非週期訊號 $x(t)$,並藉此建構一週期為 $T$ 的 週期訊號 $\tilde{ x}(t)$ 如下: 注意到上圖我們所建構的週期訊號,對 $|t| < T/2 $, $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$。且對於上述週期訊號 $\tilde {x} (t)$,我們有 Fourier Series Pair 如下 \[\left\{ \begin{array}{l} \tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \\ {a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\tilde x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt \end{array} \right.\] 其中 $\omega_0 = 2\pi/T$。 現在注意到因為 $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$ 只有在 $|t| < T/2$ 成立,且對於 $|t| \ge T/2$ 而言, $x(t) =0$,也就是說 \[\tilde x\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya