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基本想法：
設法讓 非週期訊號 用 週期訊號表示，則原本對 週期訊號的 Fourier Series 展開的方法仍然適用。那麼要如何才能辦到? 我們讓非週期訊號以週期 $T \rightarrow \infty$ 的方式重現 週期訊號。
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下面我們更具體一點的來看看如何實現上述的基本想法，現在考慮 $x(t)$ 為 (有限範圍) 的 連續 非週期訊號如下圖
亦即存在實數 $T_1$ 使得非週期訊號 $x(t) := 0$ 若 $|t| > T_1$。
現在我們複製上面的 有限範圍 ($-T_1 < t < T_1 $) 非週期訊號 $x(t)$，並藉此建構一週期為 $T$ 的 週期訊號 $\tilde{ x}(t)$ 如下：
注意到上圖我們所建構的週期訊號，對 $|t| < T/2 $， $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$。且對於上述週期訊號 $\tilde {x} (t)$，我們有 Fourier Series Pair 如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \\
{a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\tilde x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt
\end{array} \right.\] 其中 $\omega_0 = 2\pi/T$。
現在注意到因為 $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$ 只有在 $|t| < T/2$ 成立，且對於 $|t| \ge T/2$ 而言， $x(t) =0$，也就是說
\[\tilde x\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| < T/2\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}otherwise
\end{array} \right.\]故我們可以改寫 Fourier Series coefficient $a_k$ 用 $x(t)$ 表示：
\[\begin{array}{l}
{a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\tilde x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt = \frac{1}{T}\int_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt
\end{array}\]現在定義
\[X\left( {j\omega } \right): = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right)} {e^{ - j\omega t}}dt
\]則 Fourier Series Coefficient $a_k$ 可改寫為
\[
a_k = \frac{1}{T}X(j k \omega_0)
\]且我們所建構的 週期訊號 $\tilde{x}(t)$ 亦可寫為
\[\tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\frac{1}{T}X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}}
\]或者，由 $T = \frac{2 \pi}{ \omega_0}$，我們有
\[\tilde x\left( t \right) = \frac{{{\omega _0}}}{{2\pi }}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}} \]下圖可以說明上式，若讓 $\omega_0 \rightarrow 0$ 則 下圖的面積區域會逼近 其 外緣 $x(t)$。
故現在讓 $T \rightarrow \infty$ 則因為 $T = 2 \pi/ \omega_0$，故我們有 $\omega_0 \rightarrow 0$，且 $\tilde{x}(t) \rightarrow x(t)$ 且上式的 summation 過渡成積分：
\[\tilde x\left( t \right) = \frac{{{\omega _0}}}{{2\pi }}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}} \to x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }
\] 或者我們可寫
\[\mathop {\lim }\limits_{{\omega _0} \to 0} \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}} {\omega _0} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega } \]現在我們總結如下：
非週期函數的可以視為 週期函數 Fourier Series 的極限 ($T \rightarrow \infty$)，如下：
\[\left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega } \\
X\left( {j\omega } \right){\rm{ = }}\int_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right)} {e^{ - j\omega t}}dt
\end{array} \right.\]上式稱為 Fourier Transform Pair 。
Comments:
1. $x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }$ 稱為 Inverse Fourier Transform； $X(j \omega)$ 稱為 $x(t)$ 的 Fourier Transform 或者稱 Fourier integral。
2. $x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }$ 仍具備 Fourier Series 的本質：將非週期訊號用 complex exponential 做線性組合。
3. 對比於 Fourier Series，非週期訊號的 Fourier Transform, $X(j\omega)$ 又稱為 $x(t)$的 頻譜 (spectrum)，因為其提供了對於不同頻率上，將 $x(t)$ 用 complex expoential 做線性組合 所需要的資訊。
4. 儘管 Fourier transform 獲得巨大的成功，但其 積分收斂性問題仍揮之不去，在控制理論中，Fourier transform 只能分析穩定系統，對於不穩定系統並不存在 Fourier transform，所幸此問題可透過 單邊型拉氏轉換(Unilateral Laplace Transform) 進一步拓展 Fourier transform 使其亦可分析不穩定系統，亦即
\[
X(s) := \cal{L}[x(t)]= \int_{0^-}^\infty x(t) e^{-st} dt
\]其中 $s = \sigma + j \omega$，$X(s)$ 稱為 s-domain function。
Laplace Transform 可視為 Fourier Transform 的進一步推廣。而如果我們讓 $\sigma =0$，亦即 $s= j \omega$，可得到 Fourier Transform (在系統理論中 $s = j \omega$又稱 頻率響應)。
5. 若下面三個 Dirchlet conditions 滿足，則非週期訊號保證 Fourier Transform 存在：
- $x(t)$ 必須絕對值可積分，亦即 $\int_\infty^\infty |x(t)|dt < \infty$
- $x(t)$ 在任意有限區間內必須有 bounded variation，亦即 在任意區間內，只有有限個最大值或最小值。
- $x(t)$ 在任意有限區間內，只有有限個不連續點。
現在我們看下面一些例子：
Example 1
考慮下列訊號
\[
x(t) = e^{-a |t|}, \;\; a>0
\]試求其對應的 Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution:
注意到 $x(t) = e^{-a |t|}$ 為非週期訊號(但滿足 Dirchlet conditions)，故我們可求 Fourier Transform，利用 Fourier Transform formula
\[
X(j \omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{-a |t|}e^{-j \omega t} dt \ \ \ \ (*)
\]注意到
\[{e^{ - a\left| t \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{ - at}},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t \ge 0\\
{e^{at}},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t < 0
\end{array} \right.
\]故上式 $(*)$ 可改寫為
\[\begin{array}{l}
X(j\omega ) = \int_{ - \infty }^\infty {{e^{ - a|t|}}} {e^{ - j\omega t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_0^\infty {{e^{ - at}}} {e^{ - j\omega t}}dt + \int_{ - \infty }^0 {{e^{at}}} {e^{ - j\omega t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{a + j\omega }} + \frac{1}{{a - j\omega }}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{2a}}{{{a^2} + {\omega ^2}}}. \ \ \ \ \ \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 2
考慮下列訊號
\[
x(t) = \delta (t)
\]其中 $\delta(t)$ 為單位脈衝函數 (Unit Impulse Function) ，試求其對應的 Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution
單位脈衝函數為非週期函數(但滿足 Dirchlet conditions)，故我們計算其Fourier Transform：
\[\begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty {\delta \left( t \right)} {e^{ - j\omega t}}dt = \int_{ - \infty }^\infty {\delta \left( {t - 0} \right)} {e^{ - j\omega t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = {e^{ - j\omega 0}} = 1. \ \ \ \ \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 3
考慮下列方波訊號
\[x\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| < {T_1}\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| > {T_1}
\end{array} \right.\]試求其對應的 Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution
注意到上式方波為非週期訊號(但滿足 Dirchlet conditions)，我們計算 其 Fourier Transform
\[\begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt} = \int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {{e^{ - j\omega t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{j\omega }}\left( {{e^{j\omega {T_1}}} - {e^{ - j\omega {T_1}}}} \right) = \frac{2}{\omega }\frac{{{e^{j\omega {T_1}}} - {e^{ - j\omega {T_1}}}}}{{2j}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{2}{\omega }\sin \left( {\omega {T_1}} \right) \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 4
考慮訊號 $x(t)$ 其 Fourier Transform 為
\[X\left( {j\omega } \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| < W\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| > W
\end{array} \right.\]試求其原本訊號 $x(t) =?$
Solution
利用 Inverse Fourier Transform：
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega } = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - W}^W {{e^{j\omega t}}d\omega } \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\left[ {\frac{1}{{jt}}\left( {{e^{jWt}} - {e^{ - jWt}}} \right)} \right] = \frac{1}{{\pi t}}\left( {\frac{{{e^{jWt}} - {e^{ - jWt}}}}{{2j}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{\pi t}}\sin \left( {Wt} \right). \ \ \ \ \ \ \ \square
\end{array}\]
下面例子讓讀者自行計算：
Practice 1
考慮下列訊號
\[
x(t) = e^{-at}u(t), \;\; a>0
\]其中 $u(t)$為單位步階函數(Unit Step function) 定義如下
\[u\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t \ge 0\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t < 0
\end{array} \right.\]試求其 Fourier Transform $X(j \omega) =?$
ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems
