謝宗翰的隨筆

先前我們提及 對於 週期訊號 可以透過 Fourier Series Represenation，但如果要處理的對象是 非週期訊號 (aperiodic) 該怎麼辦呢?
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基本想法：
設法讓 非週期訊號 用 週期訊號表示，則原本對 週期訊號的 Fourier Series 展開的方法仍然適用。那麼要如何才能辦到? 我們讓非週期訊號以週期 $T \rightarrow \infty$ 的方式重現 週期訊號。
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下面我們更具體一點的來看看如何實現上述的基本想法，現在考慮 $x(t)$ 為 (有限範圍) 的 連續 非週期訊號如下圖



亦即存在實數 $T_1$ 使得非週期訊號 $x(t) := 0$ 若 $|t| > T_1$。

現在我們複製上面的 有限範圍 ($-T_1 < t < T_1 $) 非週期訊號 $x(t)$，並藉此建構一週期為 $T$ 的 週期訊號 $\tilde{ x}(t)$ 如下：

注意到上圖我們所建構的週期訊號，對 $|t| < T/2 $， $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$。且對於上述週期訊號 $\tilde {x} (t)$，我們有 Fourier Series Pair 如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \\
{a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\tilde x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt
\end{array} \right.\] 其中 $\omega_0 = 2\pi/T$。

現在注意到因為  $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$ 只有在 $|t| < T/2$ 成立，且對於 $|t| \ge T/2$ 而言， $x(t) =0$，也就是說
\[\tilde x\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right),\begin{arr…

令 $x(t)$ 與 $y(t)$ 為具有週期為 $T$ 的連續時間週期訊號，且存在 Fourier Series Representation 如下
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}\\
y\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{b_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}
\end{array}
\]

我們首先證明下面的結果：

Fact: 給定兩時域訊號相乘 $\Rightarrow$ 頻域訊號 convolution
定義兩訊號乘積 $z(t) := x(t) y(t) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{c_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}$，則 其乘積的 Fourier Series Coefficient 為離散 convolution
\[
c_k = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n b_{k-n}
\]Proof:
觀察 $z(t) = x(t)y(t)$ 如下
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right)y\left( t \right) = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}} {e^{jn{\omega _0}t}}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{b_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\left( {{b_k}\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}} {e^{jn{\omega _0}t}}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}}
\end{array}\]又注意到 $b_k$ 為 $y(t)$ …

令 $x(t)$ 為週期訊號，若 $x(t)$ 存在 Fourier Series Representation，則我們可寫下
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] Fourier 認為 "任意" 週期訊號都可以被表示成 complex exponentials 的線性組合，亦即任意週期訊號都 存在 Fourier Series，但事實上這個陳述並不正確。亦即，並非所有的週期訊號都有 Fourier Series；最關鍵的問題是 Fourier Series 本身牽涉到無窮級數，一旦級數涉及無窮項必然存在級數收斂性問題。

Validity of Fourier Series Representation 首先觀察一個具有週期 $T$ 的週期訊號 $x(t)$ ，但我們僅透過 有限 $N$ 項 complex exponentials 的線性組合來表示近似此週期訊號。用有限 $N$ 項 complex exponentials 線性組合的近似週期訊號記做 $x_N(t)$ 如下 \[{x_N}\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \]
現在我們定義 $e_N(t)$ 為  $x(t)$ 與 $x_N(t)$的近似誤差 如下：
\[{e_N}\left( t \right): = x\left( t \right) - {x_N}\left( t \right) = x\left( t \right) - \sum\limits_{k =  - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}}
\]那麼有了上述 近似誤差 $e_N(t)$ 的定義，我們仍然不容易知道到底 $e_N(t)$ 怎樣算是好 ($x_N(t)$ 有多接近 $x(t)$)。故我們首先只觀察一個週期，然後透過 2-norm (或者說 energy idea) 定義 "近似誤差的大小"
\[
E_N := \int_T |e_N(t)|^2dt
\]那麼我們的目標是找出到底怎樣的 $a_k$ 使得 $E_N$ 被最小化，亦即 $\min_{a_k} E_N$…

真實電路中，常見的兩端點元件 e.g., 電阻、電感、電容、或者 二極體 (diode)，但這些元件並無法將輸出端的電流或者電壓進行放大。故我們需要一個電路元件 可以幫助我們辦到這項目標。

比如說現在要建構一個新元件具備 電流控制 的電流放大器(current amplifier)元件。那麼這個元件應該具備怎樣的特性呢?? 我們首先繪製下圖


中間的 問號方塊即為我們要設計的三端子元件。目的是要透過電流 $i_s$ 來得到放大的輸出電流 $i_o$ 。現在我們把方塊內部繪製如下：



上圖中 $R_L$ 表示負載 (e.g., 馬達)。途中藍色線框標示處表示我們要設計的電流放大元件，觀察內部會發現有幾個設計參數待定：

輸入電阻 $R_i$輸出電阻 $R_o$放大倍數 $A$
由於 $A$ 表示 放大倍數，我們會希望 $i_i$ 被放大 $A$ 倍; i.e., $A i_i$。

現在觀察上圖左方電路，計算 $i_i$ 電流：由分流定理我們可知
\[
i_i = i_s \frac{R_s}{R_s + R_i}
\]觀察上式，若輸入電阻 $R_i$ 設計成很小，則我們可以得到 $i_i \cong i_s$ ($i_s$ 都流經電阻 $R_i$ ，沒有損失太多電流)。

現在觀察上圖右方電路，此時輸入到右方電路的電流為 $A i_i$，我們可以計算 輸出電流 $i_o$，由分流定理可知
\[
i_o = (A i_i) \cdot \frac{R_o}{R_o + R_L}
\]故若 $R_o$ 選定很大，則我們可以得到較大輸出電流 $i_o$。

結論：對於電流放大元件的需求：

輸入電阻 $R_i$ 要小輸出電組 $R_o$ 要大放大倍數 $A$ 要大 ($\neq 0$)
那麼我們如何滿足上述條件呢? 透過 diode 單向導通的想法即可達成：首先取兩組diode，現在對其中一組 diode順向偏壓 (diode導通，此時等同得到輸入電阻很小)，且對另外一組diode逆向偏壓 (diode不通，等同輸出電阻很大的效果)，現在將兩組diode合併。如下圖 npn 電晶體：



另外亦可接成 npn 電晶體，將 Forward bias 換成 reverse bias 即可。在此不再贅述。