[系統理論] 連續時間 非週期訊號的 Fourier Transform Representation

先前我們提及 對於 週期訊號 可以透過 Fourier Series Represenation，但如果要處理的對象是 非週期訊號 (aperiodic) 該怎麼辦呢?
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基本想法：
設法讓 非週期訊號 用 週期訊號表示，則原本對 週期訊號的 Fourier Series 展開的方法仍然適用。那麼要如何才能辦到? 我們讓非週期訊號以週期 $T \rightarrow \infty$ 的方式重現 週期訊號。
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下面我們更具體一點的來看看如何實現上述的基本想法，現在考慮 $x(t)$ 為 (有限範圍) 的 連續 非週期訊號如下圖

亦即存在實數 $T_1$ 使得非週期訊號 $x(t) := 0$ 若 $|t| > T_1$。

現在我們複製上面的 有限範圍 ($-T_1 < t < T_1 $) 非週期訊號 $x(t)$，並藉此建構一週期為 $T$ 的 週期訊號 $\tilde{ x}(t)$ 如下：

注意到上圖我們所建構的週期訊號，對 $|t| < T/2 $， $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$。且對於上述週期訊號 $\tilde {x} (t)$，我們有 Fourier Series Pair 如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \\
{a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\tilde x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt
\end{array} \right.\] 其中 $\omega_0 = 2\pi/T$。

現在注意到因為  $\tilde{x}(t) \equiv x(t)$ 只有在 $|t| < T/2$ 成立，且對於 $|t| \ge T/2$ 而言， $x(t) =0$，也就是說
\[\tilde x\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| < T/2\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}otherwise
\end{array} \right.\]故我們可以改寫 Fourier Series coefficient $a_k$ 用 $x(t)$ 表示：
\[\begin{array}{l}
{a_k} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {\tilde x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\int_{ - T/2}^{T/2} {x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt = \frac{1}{T}\int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right)} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt
\end{array}\]現在定義
\[X\left( {j\omega } \right): = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right)} {e^{ - j\omega t}}dt
\]則 Fourier Series Coefficient $a_k$ 可改寫為
\[
a_k = \frac{1}{T}X(j k \omega_0)
\]且我們所建構的 週期訊號 $\tilde{x}(t)$ 亦可寫為
\[\tilde x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}}  = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\frac{1}{T}X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}}
\]或者，由 $T = \frac{2 \pi}{ \omega_0}$，我們有
\[\tilde x\left( t \right) = \frac{{{\omega _0}}}{{2\pi }}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}} \]下圖可以說明上式，若讓 $\omega_0 \rightarrow 0$ 則 下圖的面積區域會逼近 其 外緣 $x(t)$。

故現在讓 $T \rightarrow \infty$ 則因為 $T = 2 \pi/ \omega_0$，故我們有 $\omega_0 \rightarrow 0$，且 $\tilde{x}(t) \rightarrow x(t)$ 且上式的 summation 過渡成積分：
\[\tilde x\left( t \right) = \frac{{{\omega _0}}}{{2\pi }}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}}  \to x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }
 \] 或者我們可寫
\[\mathop {\lim }\limits_{{\omega _0} \to 0} \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {X\left( {jk{\omega _0}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}} {\omega _0} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega } \]現在我們總結如下：
非週期函數的可以視為 週期函數 Fourier Series 的極限 ($T \rightarrow \infty$)，如下：
\[\left\{ \begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega } \\
X\left( {j\omega } \right){\rm{ = }}\int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right)} {e^{ - j\omega t}}dt
\end{array} \right.\]上式稱為 Fourier Transform Pair 。

Comments:
1. $x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }$ 稱為 Inverse Fourier Transform； $X(j \omega)$ 稱為 $x(t)$ 的 Fourier Transform 或者稱 Fourier integral。

2. $x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }$ 仍具備 Fourier Series 的本質：將非週期訊號用 complex exponential 做線性組合。

3. 對比於 Fourier Series，非週期訊號的 Fourier Transform, $X(j\omega)$ 又稱為 $x(t)$的 頻譜 (spectrum)，因為其提供了對於不同頻率上，將 $x(t)$ 用 complex expoential 做線性組合 所需要的資訊。

4. 儘管 Fourier transform 獲得巨大的成功，但其 積分收斂性問題仍揮之不去，在控制理論中，Fourier transform 只能分析穩定系統，對於不穩定系統並不存在 Fourier transform，所幸此問題可透過 單邊型拉氏轉換(Unilateral Laplace Transform) 進一步拓展 Fourier transform 使其亦可分析不穩定系統，亦即
\[
X(s) := \cal{L}[x(t)]= \int_{0^-}^\infty x(t) e^{-st} dt
\]其中 $s = \sigma + j \omega$，$X(s)$ 稱為 s-domain function。
 Laplace Transform 可視為 Fourier Transform 的進一步推廣。而如果我們讓 $\sigma =0$，亦即 $s= j \omega$，可得到 Fourier Transform (在系統理論中 $s = j \omega$又稱 頻率響應)。

5.  若下面三個 Dirchlet conditions 滿足，則非週期訊號保證 Fourier Transform 存在：

• $x(t)$ 必須絕對值可積分，亦即 $\int_{-\infty}^\infty |x(t)|dt < \infty$
• $x(t)$ 在任意有限區間內必須有 bounded variation，亦即 在任意區間內，只有有限最大值或最小值。
• $x(t)$ 在任意有限區間內，只有有限個不連續點。

6. Fourier Transform 亦可適用於 週期訊號。此部分我們之後的文章會在做介紹。

現在我們看下面一些例子：
Example 1
考慮下列訊號
\[
x(t) = e^{-a |t|}, \;\; a>0
\]試求其對應的 Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution:
注意到 $x(t) = e^{-a |t|}$ 為非週期訊號(但滿足 Dirchlet conditions)，故我們可求 Fourier Transform，利用 Fourier Transform formula
\[
X(j \omega) = \int_{-\infty}^\infty e^{-a |t|}e^{-j \omega t} dt \ \ \ \ (*)
\]注意到
\[{e^{ - a\left| t \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{ - at}},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t \ge 0\\
{e^{at}},\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t < 0
\end{array} \right.
\]故上式 $(*)$ 可改寫為
\[\begin{array}{l}
X(j\omega ) = \int_{ - \infty }^\infty  {{e^{ - a|t|}}} {e^{ - j\omega t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \int_0^\infty  {{e^{ - at}}} {e^{ - j\omega t}}dt + \int_{ - \infty }^0 {{e^{at}}} {e^{ - j\omega t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{a + j\omega }} + \frac{1}{{a - j\omega }}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{2a}}{{{a^2} + {\omega ^2}}}. \ \ \ \ \  \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 2
考慮下列訊號
\[
x(t) = \delta (t)
\]其中 $\delta(t)$ 為單位脈衝函數 (Unit Impulse Function) ，試求其對應的 Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution
單位脈衝函數為非週期函數(但滿足 Dirchlet conditions)，故我們計算其Fourier Transform：
\[\begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {\delta \left( t \right)} {e^{ - j\omega t}}dt = \int_{ - \infty }^\infty  {\delta \left( {t - 0} \right)} {e^{ - j\omega t}}dt\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = {e^{ - j\omega 0}} = 1. \ \ \ \ \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 3
考慮下列方波訊號
\[x\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| < {T_1}\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| > {T_1}
\end{array} \right.\]試求其對應的 Fourier Transform $X(j \omega)$。
Solution
注意到上式方波為非週期訊號(但滿足 Dirchlet conditions)，我們計算 其 Fourier Transform
\[\begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt}  = \int_{ - {T_1}}^{{T_1}} {{e^{ - j\omega t}}dt} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{j\omega }}\left( {{e^{j\omega {T_1}}} - {e^{ - j\omega {T_1}}}} \right) = \frac{2}{\omega }\frac{{{e^{j\omega {T_1}}} - {e^{ - j\omega {T_1}}}}}{{2j}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{2}{\omega }\sin \left( {\omega {T_1}} \right) \ \ \ \square
\end{array}\]
Example 4
考慮訊號 $x(t)$ 其 Fourier Transform 為
\[X\left( {j\omega } \right) = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| < W\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\left| t \right| > W
\end{array} \right.\]試求其原本訊號 $x(t) =?$
Solution
利用 Inverse Fourier Transform：
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega }  = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - W}^W {{e^{j\omega t}}d\omega } \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{2\pi }}\left[ {\frac{1}{{jt}}\left( {{e^{jWt}} - {e^{ - jWt}}} \right)} \right] = \frac{1}{{\pi t}}\left( {\frac{{{e^{jWt}} - {e^{ - jWt}}}}{{2j}}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{{\pi t}}\sin \left( {Wt} \right). \ \ \ \ \ \ \ \square
\end{array}\]


下面例子讓讀者自行計算：
Practice 1
考慮下列訊號
\[
x(t) = e^{-at}u(t), \;\; a>0
\]其中 $u(t)$為單位步階函數(Unit Step function) 定義如下
\[u\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t \ge 0\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}t < 0
\end{array} \right.\]試求其 Fourier Transform $X(j \omega) =?$

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems

[系統理論] 連續時間週期訊號的 Fourier Series Representation (4)-Parseval's relation for periodic signal

令 $x(t)$ 與 $y(t)$ 為具有週期為 $T$ 的連續時間週期訊號，且存在 Fourier Series Representation 如下
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}\\
y\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{b_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}
\end{array}
\]

我們首先證明下面的結果：

Fact: 給定兩時域訊號相乘 $\Rightarrow$ 頻域訊號 convolution
定義兩訊號乘積 $z(t) := x(t) y(t) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{c_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}$，則 其乘積的 Fourier Series Coefficient 為離散 convolution
\[
c_k = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n b_{k-n}
\]Proof:
觀察 $z(t) = x(t)y(t)$ 如下
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right)y\left( t \right) = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}} {e^{jn{\omega _0}t}}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{b_k}} {e^{jk{\omega _0}t}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\left( {{b_k}\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}} {e^{jn{\omega _0}t}}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}}
\end{array}\]又注意到 $b_k$ 為 $y(t)$ 的 Fourier Series Coefficient，故我們有
\[{b_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {y\left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt
\] 帶入上式可得
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right)y\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\left( {\frac{1}{T}\int_T^{} {y\left( t \right){e^{ - jk{\omega _0}t}}} dt\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}} {e^{jn{\omega _0}t}}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\left( {\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}} \underbrace {\frac{1}{T}\int_T^{} {y\left( t \right){e^{ - j\left( {k - n} \right){\omega _0}t}}dt} }_{ = {b_{k - n}}}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\left( {\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}} {b_{k - n}}} \right){e^{jk{\omega _0}t}}}
\end{array}\]亦即
\[{c_k} = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}} {b_{k - n}} \ \ \ \ \square
\]
Theorem: Parseval's Relation for Periodic Signals
現在我們令上述 $y(t) := x^*(t)$ (其中 ${}^*$ 表 complex conjugate)。則下列結果成立
\[
\frac{1}{T} \int_0^T |x(t)|^2 dt =\sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2
\]

Comment: 上式說明了一個週期訊號 $x(t)$ 的 單一週期的 total energy 除以 週期 $T$ (或者 直接說 average power) 等同於 其對應的 Fourier Series coefficient 的平方 $|a_k|^2$ 做無窮級數。 (此平方項 $|a_k|^2$又稱 k-th harmonic components)

Proof:
觀察 ${\left| {x\left( t \right)} \right|^2} = x\left( t \right){x^*}\left( t \right)$，故我們有
\[\frac{1}{T}\int_0^T {{{\left| {x\left( t \right)} \right|}^2}dt}  = \frac{1}{T}\int_0^T {x\left( t \right){x^*}\left( t \right)dt} \]接著帶入 $x(t)$ (對應的 Fourier Series coefficient 為 $a_k$) 與 $x^*(t)$ ( $x^*(t)$ 對應的 Fourier Series 為 $a_{-k}^*$)。
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{T}\int_0^T {{{\left| {x\left( t \right)} \right|}^2}dt}  = \frac{1}{T}\int_0^T {\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}} {e^{jn{\omega _0}t}}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {a_{ - k}^*} {e^{ - jk{\omega _0}t}}dt} }\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\int_0^T {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {a_{ - k}^*{a_n}{e^{ - jk{\omega _0}t}}} {e^{jn{\omega _0}t}}} dt} }\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {a_{ - k}^*\underbrace {\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{a_n}\int_0^T {{e^{ - jk{\omega _0}t}}{e^{jn{\omega _0}t}}dt} } }_{ = {a_k}T}} }\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{T}\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {a_{ - k}^*{a_k}T}  = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{{\left| {{a_k}} \right|}^2}} } \ \ \ \ \square
\end{array}
\]

ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems

[系統理論] 連續時間週期訊號的 Fourier Series Representation (3)- Convergence condition

令 $x(t)$ 為週期訊號，若 $x(t)$ 存在 Fourier Series Representation，則我們可寫下
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] Fourier 認為 "任意" 週期訊號都可以被表示成 complex exponentials 的線性組合，亦即任意週期訊號都 存在 Fourier Series，但事實上這個陳述並不正確。亦即，並非所有的週期訊號都有 Fourier Series；最關鍵的問題是 Fourier Series 本身牽涉到無窮級數，一旦級數涉及無窮項必然存在級數收斂性問題。

Validity of Fourier Series Representation

首先觀察一個具有週期 $T$ 的週期訊號 $x(t)$ ，但我們僅透過 有限 $N$ 項 complex exponentials 的線性組合來表示近似此週期訊號。用有限 $N$ 項 complex exponentials 線性組合的近似週期訊號記做 $x_N(t)$ 如下

\[{x_N}\left( t \right) = \sum\limits_{k =  - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} \]
現在我們定義 $e_N(t)$ 為  $x(t)$ 與 $x_N(t)$的近似誤差 如下：
\[{e_N}\left( t \right): = x\left( t \right) - {x_N}\left( t \right) = x\left( t \right) - \sum\limits_{k =  - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}}
\]那麼有了上述 近似誤差 $e_N(t)$ 的定義，我們仍然不容易知道到底 $e_N(t)$ 怎樣算是好 ($x_N(t)$ 有多接近 $x(t)$)。故我們首先只觀察一個週期，然後透過 2-norm (或者說 energy idea) 定義 "近似誤差的大小"
\[
E_N := \int_T |e_N(t)|^2dt
\]那麼我們的目標是找出到底怎樣的 $a_k$ 使得 $E_N$ 被最小化，亦即 $\min_{a_k} E_N$ ，現在將 $e_N(t) = x\left( t \right) - \sum\limits_{k =  - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} $ 帶入 $E_N$ 可得
\[{E_N} = {\int_T {\left| {x\left( t \right) - \sum\limits_{k =  - N}^N {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}}} } \right|} ^2}dt
\]現在觀察上式，若我們取 $a_k$ = Fourier Series Coefficient：
\[
{a_n} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jn{\omega _0}t}}dt}
\]則讀者可驗證確實 $E_N$為最小值。

上述結果說明了若週期訊號 $x(t)$ 有 Fourier Series Representation，則其透過有限 $N$ 項的最佳近似即為將 Fourier Series Representation 的前面 $N$ 項和。且隨著 $N$ 增加，我們的誤差 $E_N$ 便會逐步縮小直到誤差為$0$。


Question: 一個週期訊號在甚麼情況下存在 Fourier Series Representation? (此問等價於 一個週期訊號在甚麼情況下可以用 Complex Exponentials 做線性組合展開?)
注意到我們的剛剛推出的有限N項最佳誤差估計 (或者無限項的 or Fourier Series Coefficient formula)
\[{a_k} = \frac{1}{T}\int_T^{} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}
\]並不一定永遠收斂 (亦即 $a_k \rightarrow \infty$ 積分有可能到無窮大)
再者就算每一項 $a_k$ 都可以定義 (積分存在)，我們把這些 Fourier Series 係數收集起來，用 Complex exponential 展開
\[
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}
\] 此時牽涉到無窮級數，如前所敘，有可能發生儘管每一項 $a_k$ 都有界，但其級數發散亦即 $x(t) \rightarrow \infty$

事實上，有兩類不同的條件可以解決前述的收斂性問題。如果週期訊號滿足此兩類條件，就能保證該週期訊號確實存在 Fourier Series Representation。

第一類條件： $L^2$ condition or energy condition
考慮週期訊號 $x(t)$，若在該訊號一個週期內的total energy為有限值，則此訊號存在 Fourier Series Representation，亦即若下列條件成立則 $x(t)$ 有 Fourier Series Representation
\[
\int_T |x(t)|^2 dt < \infty
\]當此條件成立，則 $a_k < \infty \; \forall k \in \mathbb{Z}$。


第二類條件： Dirichlet conditions
1. 對任意週期 $T$，$x(t)$ 必須絕對值可積分，亦即
\[
\int_T |x(t)|dt < \infty
\]
2. 對任意有限時間區間，$x(t)$ 有 bounded variation。亦即任意單一周期內，$x(t)$ 的最大或者最小值的數目為有限個。

3. 在任意有限時間區間內，$x(t)$ 只有 有限個 不連續點(discontinuous points)。

若上述三個 Dirichlet conditions 成立，則 $x(t)$ 存在 Fourier Series Representation 且除了不連續點之外，保證 $x(t)$等於 Fourier Series。且 在不連續點上，Fourier Series 收斂到 不連續點兩邊的平均值。亦即對不連續點 $t$
\[\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {{a_k}} {e^{jk{\omega _0}t}} = \frac{1}{2}(x(t + ) + x(t - ))\]其中
\[\begin{array}{l}
x(t + ) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t^ + }} x(t)\\
x(t - ) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t^ - }} x(t)
\end{array}\]


小結：
上述兩類條件其中一種成立，則我們說該 $x(t)$ 存在 Fourier Series Representation。


ref: A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab, Signals and Systems

[電子學] 淺談雙極性接面電晶體(BJTs) 的基本想法。

真實電路中，常見的兩端點元件 e.g., 電阻、電感、電容、或者 二極體 (diode)，但這些元件並無法將輸出端的電流或者電壓進行放大。故我們需要一個電路元件 可以幫助我們辦到這項目標。

比如說現在要建構一個新元件具備 電流控制 的電流放大器(current amplifier)元件。那麼這個元件應該具備怎樣的特性呢?? 我們首先繪製下圖

中間的 問號方塊即為我們要設計的三端子元件。目的是要透過電流 $i_s$ 來得到放大的輸出電流 $i_o$ 。現在我們把方塊內部繪製如下：

上圖中 $R_L$ 表示負載 (e.g., 馬達)。途中藍色線框標示處表示我們要設計的電流放大元件，觀察內部會發現有幾個設計參數待定：

• 輸入電阻 $R_i$
• 輸出電阻 $R_o$
• 放大倍數 $A$

由於 $A$ 表示 放大倍數，我們會希望 $i_i$ 被放大 $A$ 倍; i.e., $A i_i$。

現在觀察上圖左方電路，計算 $i_i$ 電流：由分流定理我們可知
\[
i_i = i_s \frac{R_s}{R_s + R_i}
\]觀察上式，若輸入電阻 $R_i$ 設計成很小，則我們可以得到 $i_i \cong i_s$ ($i_s$ 都流經電阻 $R_i$ ，沒有損失太多電流)。

現在觀察上圖右方電路，此時輸入到右方電路的電流為 $A i_i$，我們可以計算 輸出電流 $i_o$，由分流定理可知
\[
i_o = (A i_i) \cdot \frac{R_o}{R_o + R_L}
\]故若 $R_o$ 選定很大，則我們可以得到較大輸出電流 $i_o$。

結論：對於電流放大元件的需求：

1. 輸入電阻 $R_i$ 要小
2. 輸出電組 $R_o$ 要大
3. 放大倍數 $A$ 要大 ($\neq 0$)

那麼我們如何滿足上述條件呢? 透過 diode 單向導通的想法即可達成：首先取兩組diode，現在對其中一組 diode順向偏壓 (diode導通，此時等同得到輸入電阻很小)，且對另外一組diode逆向偏壓 (diode不通，等同輸出電阻很大的效果)，現在將兩組diode合併。如下圖 npn 電晶體：

另外亦可接成 npn 電晶體，將 Forward bias 換成 reverse bias 即可。在此不再贅述。