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by Chung-Han Hsieh

[系統理論] 連續時間 週期訊號的 Fourier Transform Representation

延續前篇
[系統理論] 連續時間 非週期訊號的 Fourier Transform Representation,我們知道 非週期訊號$x(t)$ 若滿足 Dirchlet conditions 則 Fourier Transform 存在,且我們可寫成
\[\left\{ \begin{array}{l}
X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt} \ \ \ \  (1) \\
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \ \ \ \ (2)
\end{array} \right.\]上式中 $(1)$ 稱為 $x(t)$ 的 Fourier Transform,$(2)$ 稱為 Inverse Fourier Transform。

事實上,對於週期訊號而言,除了 Fourier Series 之外, 我們亦可對 週期訊號 求解 Fourier Transform 。 那麼該怎麼做呢?

想法: 透過 Impulse function 幫助我們對 Fourier Transform 進行"取樣"

首先我們先做個觀察如下:
考慮一個訊號 $x(t)$ 其 Fourier Transform $X(j \omega)$ 為落在 $\omega = \omega_0$ 且面積為 $2 \pi$ 的單位脈衝函數如下
\[
X(j \omega) = 2 \pi \delta(\omega - \omega_0)
\]現在利用 Inverse Fourier Transform 我們可得回 $x(t)$
\[\begin{array}{l}
x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&…