跳到主要內容

發表文章

目前顯示的是 9月, 2012的文章

[繪圖] 喜帖

by Chung-Han Hsieh

[系統理論] 連續時間 週期訊號的 Fourier Transform Representation

延續前篇 [系統理論] 連續時間 非週期訊號的 Fourier Transform Representation ,我們知道 非週期訊號$x(t)$ 若滿足 Dirchlet conditions 則 Fourier Transform 存在,且我們可寫成 \[\left\{ \begin{array}{l} X\left( {j\omega } \right) = \int_{ - \infty }^\infty  {x\left( t \right){e^{ - j\omega t}}dt} \ \ \ \  (1) \\ x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \ \ \ \ (2) \end{array} \right.\]上式中 $(1)$ 稱為 $x(t)$ 的 Fourier Transform,$(2)$ 稱為 Inverse Fourier Transform。 事實上,對於週期訊號而言,除了 Fourier Series 之外, 我們亦可對 週期訊號 求解 Fourier Transform 。 那麼該怎麼做呢? 想法: 透過 Impulse function 幫助我們對 Fourier Transform 進行"取樣" 首先我們先做個觀察如下: 考慮一個訊號 $x(t)$ 其 Fourier Transform $X(j \omega)$ 為落在 $\omega = \omega_0$ 且面積為 $2 \pi$ 的單位脈衝函數如下 \[ X(j \omega) = 2 \pi \delta(\omega - \omega_0) \]現在利用 Inverse Fourier Transform 我們可得回 $x(t)$ \[\begin{array}{l} x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty  {X\left( {j\omega } \right){e^{j\omega t}}d\omega} \\ \begin{arr