[系統理論] 閉迴路系統的暫態響應 與 eigenvalue/eigenvector 關係

首先考慮  $n$階 線性微分方程如下
\[
\dot {\bf x}(t) = G{\bf x}(t); \;\; { \bf x}(0) ={\bf x}_0
\]上式一般表示為 無外力輸入 $u$ 的系統。且我們可對其求解得到
\[{\bf x}(t) = e^{Gt} {\bf x}_0 \ \ \ \ \ \ (*)
\] 我們可進一步將上式的解 $(*)$ 重新用 矩陣 $G$ 的 eigenvalues/eigenvectors 表示; i.e., 若 $G$ 為 $n \times n$ 則 下式 eigenvalue-eigenvector 關係需被滿足
\[G{{\bf{v}}_i} = {\lambda _i}{{\bf{v}}_i}, \text{ for $i=1,2,...,n$}
\]其中 $\lambda_i$ 為 $G$ 的 eigenvalues 且 $v_i$ 為對應的 eigenvectors。 注意到在此我們假設 $G$ 的 eigenvalues 均相異。現在使用這些 eigenvectors, $v_i$，建構  非奇異轉換矩陣 或稱 modal matrix  $M$ 如下
\[M: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{v}}_1}}&{{{\bf{v}}_2}}& \cdots &{{{\bf{v}}_n}}
\end{array}} \right]
\]注意到 $M$ 為 nonsingular 因為 $\{v_i\}$ 彼此線性獨立 (因為相異 eigenvalue 對應 線性獨立的 eigenvector) ；現在使用 $M$，定義下列新狀態 $\bf z$ 轉換
\[
{\bf x} = M {\bf z}
\]將上述新的狀態關系代入原系統 $\dot {\bf x}(t) = G{\bf x}(t)$ 我們可以改寫如下
\[\begin{array}{l}
{\bf{\dot x}}(t) = G{\bf{x}}(t)\\
 \Rightarrow M{\bf{\dot z}}\left( t \right) = GM{\bf{z}}(t)\\
 \Rightarrow {\bf{\dot z}}\left( t \right) = {M^{ - 1}}GM{\bf{z}}(t)
\end{array}
\]其中初始值 (Initial Condition, I.C.) 為 $\begin{array}{l}
{\bf{z}}(0) = {M^{ - 1}}{\bf{x}}(0)\\
\end{array}$
上述轉換又稱對角化，故我們得到 $G$ 如下
\[{M^{ - 1}}GM = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _1}}&{}&{}&{}\\
{}&{{\lambda _2}}&{}&{}\\
{}&{}& \ddots &{}\\
{}&{}&{}&{{\lambda _n}}
\end{array}} \right]: = \Lambda \]因此，若我們求解 ${{\bf{\dot z}}\left( t \right) = {M^{ - 1}}GM{\bf{z}}(t)}$ 可得
\[{\bf{z}}(t) = {e^{{M^{ - 1}}GMt}}{\bf{z}}(0) = {e^{\Lambda t}}{\bf{z}}(0)
\]現在將上述結果轉回原本的狀態 $\bf x$
\[{\bf{x}}(t) = M\underbrace {{\bf{z}}(t)}_{ = {e^{\Lambda t}}{\bf{z}}(0)} = M{e^{\Lambda t}}\underbrace {{\bf{z}}(0)}_{ = {M^{ - 1}}{\bf{x}}(0)} = M{e^{\Lambda t}}{M^{ - 1}}{\bf{x}}(0) \ \ \ \ \ (**)
\] 其中
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{M{e^{\Lambda t}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\bf{v}}_1}}&{{{\bf{v}}_2}}&{...}&{{{\bf{v}}_n}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{{\lambda _1}t}}}&0& \cdots &0\\
0&{{e^{{\lambda _2}t}}}&{}& \vdots \\
 \vdots &{}& \ddots &0\\
0& \cdots &0&{{e^{{\lambda _n}t}}}
\end{array}} \right]}\\
{\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{{\lambda _1}t}}{{\bf{v}}_1}}&{{e^{{\lambda _2}t}}{{\bf{v}}_2}}&{...}&{{e^{{\lambda _n}t}}{{\bf{v}}_n}}
\end{array}} \right]}
\end{array}
\]另外我們觀察 $M^{-1}$ 定義 $L:= M^{-1}$ 具有 rows 向量為 $l_i$; i.e.,
\[L = {M^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{{{l}}}_1}}\\
{{{{l}}_2}}\\
 \vdots \\
{{{{l}}_n}}
\end{array}} \right]\]
因此我們可以更進一步改寫 $(**)$ 如下
\[\begin{array}{l}
{\bf{x}}(t) = M{e^{\Lambda t}}{M^{ - 1}}{\bf{x}}(0)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{e^{{\lambda _1}t}}{{\bf{v}}_1}}&{{e^{{\lambda _2}t}}{{\bf{v}}_2}}&{...}&{{e^{{\lambda _n}t}}{{\bf{v}}_n}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{l_1}}\\
{{l_1}}\\
 \vdots \\
{{l_n}}
\end{array}} \right]{\bf{x}}(0)
\end{array}
\]或者更簡潔的表示成矩陣的形式
\[{\bf{x}}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{e^{{\lambda _i}t}}{{\bf{v}}_i}{l_i}} {\bf{x}}(0) \ \ \ \ (\star)
\] 也就是說
\[{\bf x}(t) = e^{Gt} {\bf x}_0 = \sum\limits_{i = 1}^n {{e^{{\lambda _1}t}}{{\bf{v}}_i}{\alpha _i}}\]
現在我們觀察 $(\star)$ 整理結果如下：上述的(自由響應 (free response) )解 與下列三者有關：

1. ${\bf eigenvalues}$：用以決定 系統自由響應 的 衰減率/增長率 
2. ${\bf eigenvectors}$： 用以決定 系統自由響應的 " shape "
3. ${\bf Initial Condition.}$： 用以決定哪一個系統的 mode 參與自由響應的程度