[控制理論] 狀態回授控制(1)- Eigenstructure Assignment

控制理論中最重要的本質 便是 回授控制 (feedback control)，在實現上，回授控制具有下列四種主要功能：

1. 改善/保證 系統穩定度
2. 降低系統的 敏感度(提升強健性)
3. 改善系統 抑制 低頻外在干擾 或者 抑制 高頻雜訊 的能力
4. 改善 系統暫態響應

而 Eigenstructure Assignment (同時給定 eigenvalue 與 eigenvector )主要是透過回授控制達成第四個目標：改善 系統的 暫態響應。以下我們介紹 全狀態回授 (Full State Feedback) 的 Eigenstructure Assignment。


考慮系統
$$\dot x\left( t \right) = Ax\left( t \right) + Bu\left( t \right)$$ 其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$； $u(t) \in \mathbb{R}^m$

且狀態回授控制器 $u(t) = F x(t)$。
則將控制器帶入系統，可得閉迴路系統如下
$$\dot x\left( t \right) = \left( {A + BF} \right)x\left( t \right)$$
現在令 $\lambda_i$ 為系統 $A+BF$ 的 eigenvalue，且 $v_i$ 為對應的 eigenvector，則我們有 eigenvalue-eigenvector relationship 如下
$$(A+BF) v_i = \lambda_i v_i$$ 上式可改寫為
$$\begin{array}{l} (A + BF){v_i} = {\lambda _i}{v_i}\\  \Rightarrow \left( {{\lambda _i}I - A} \right){v_i} - BF{v_i} = 0 \end{array}$$

故我們現在定義 $S_{\lambda_i }:= [\lambda_i I - A \;\; B]$ 且定義其對應的分割矩陣
$${K_{{\lambda _i}}}: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{{\lambda _i}}}}\\ {{M_{{\lambda _i}}}} \end{array}} \right]$$ 此 $K_{\lambda_i}$ spans $\ker\{S_{\lambda_i}\}$

Theorem: (Moore, 1976) 令 $\{\lambda_i, i=1,...,n\}$ 為 self-conjugate 且 相異的特徵值所形成的集合。我們說 存在控制矩陣 $F$ 使得 對任意 $i=1,...n$ 而言，我們有 $(A+BF) v_i = \lambda_i v_i$  若且為若 對任意 $i=1,...n$，下列三個條件成立
1. (線性獨立) $v_i$ 彼此線性獨立
2. (共顎條件) $\lambda_i = \lambda_j^* \Rightarrow v_i = v_j^*$
3. $v_i \in \text{span}\{N_{\lambda_i}\}= \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}{v_i}} :{v_i} \in {N_{{\lambda _i}}},{c_i} \in \mathbb{R}} \right\}$

Proof: 
$(\Rightarrow)$ 假設 存在控制矩陣 $F$ 使得 對任意 $i=1,...n$ 而言，我們有 $(A+BF) v_i = \lambda_i v_i$，我們要證明三個條件成立；由於前面兩個條件由線性代數的理論可得；故我們只需檢驗條件 3. 假設 $(A+BF)v_i = \lambda_i v_i$, 則我們有
$$\begin{array}{l} (A + BF){v_i} = {\lambda _i}{v_i}\\ \Rightarrow \left( {{\lambda _i}I - A} \right){v_i} - BF{v_i} = 0\\ \Rightarrow \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _i}I - A}&B \end{array}} \right]}_{{S_{{\lambda _i}}}}\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_i}}\\ { - F{v_i}} \end{array}} \right]}_{{\in K_{{\lambda _i}}}} = 0 \end{array}$$ 由於 $K_{\lambda_i}$ 的 columns 做為基底建構 $\ker \{ {S_{{\lambda _i}}}\}  = \ker \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _i}I - A}&B \end{array}} \right]} \right\}$ ，故 $v_i \in \text{span}\{N_{\lambda_i}\}$.

$(\Leftarrow)$ 假設前述 Theorem 三個條件成立， 我們要證明存在一個實數矩陣 $F$ 使得對 $1 \le i \le n$，下式 eigenvalue-eigenvector relation 滿足
$$(A+BF)v_i = \lambda_i v_i.$$ 現在選 $v_i, \; 1\le i \le n$ 滿足 3 條件; i.e., 對 $1\le i \le n$

  1. $v_i$ 彼此線性獨立
  2. $\lambda_i = \lambda_j^* \Rightarrow v_i = v_j^*$
  3. $v_i \in \text{span}\{N_{\lambda_i}\}$

首先由條件 3 可知 $v_i \in \text{span}\{N_{\lambda_i}\}$ (the subspace spanned by colmuns of $N_{\lambda_i}$ and $v_i$ is the member of such subspace. ), 存在一個向量 $k_i$ (real or complex) 使得
$$v_i = N_{\lambda_i} k_i$$ 接著由於
$${K_{{\lambda _i}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{{\lambda _i}}}}\\ {{M_{{\lambda _i}}}} \end{array}} \right] = \ker \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _i}I - A}&{B} \end{array}} \right]} \right\}$$ 故暗示了
$$\left( {{\lambda _i}I - A} \right){N_{{\lambda _i}}}{k_i} - B{M_{{\lambda _i}}}{k_i} = 0$$ 上述結果暗示了 若我們選 $F$ 使得 $- {M_{{\lambda _i}}}{k_i} = F{v_i}$ 則 可得
$$\begin{array}{l} \left( {{\lambda _i}I - A} \right){v_i} + B{M_{{\lambda _i}}}{k_i} = 0\\ \Rightarrow \left( {{\lambda _i}I - A} \right){v_i} + B\left( { - F{v_i}} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ {{\lambda _i}I - \left( {A + BF} \right)} \right]{v_i} = 0 \end{array}$$ 亦即我們需要的結果。故剩下的證明便是要證明我們可以永遠建構出一控制矩陣 $F$ 滿足
$$F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_1}}&{{w_2}}& \cdots &{{w_n}} \end{array}} \right]$$ 其中 $w_i := -M_{\lambda_i} k_i$ ; i.e., 若這樣的 $F$ 存在 則必定滿足
$$F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {M_{{\lambda _1}}}{k_1}}&{ - {M_{{\lambda _2}}}{k_2}}& \cdots &{ - {M_{{\lambda _n}}}{k_n}} \end{array}} \right]$$

現在我們分成兩種情況討論

${\bf CASE 1: }$ 特徵值皆為實數的情況
若任意相異的 $\lambda_i$ 為實數，則 $v_i, w_i$ 亦為實數，且矩陣 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}} \end{array}} \right]$ 之反矩陣存在 (由條件 1)，故可得控制力矩陣 $F$ 為
$$\begin{array}{l} F = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_1}}&{{w_2}}& \cdots &{{w_n}} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}} \end{array}} \right]^{ - 1}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {M_{{\lambda _1}}}{k_1}}&{ - {M_{{\lambda _2}}}{k_2}}& \cdots &{ - {M_{{\lambda _n}}}{k_n}} \end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}} \end{array}} \right]^{ - 1}} \end{array}$$

${\bf CASE 2: }$ 特徵值具有共顎複數情況
若特徵值有共顎複數，在此我們假設 $\lambda_1 = \lambda_2^*$. 由條件2可知 $v_1 = v_2^*$ 故可推知 $w_1 = w_2^*$. 因此，設其他剩餘的特徵值皆為實數，則控制力矩陣 $F$ 必定需滿足
$$\small F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{1R}} + j{v_{1I}}}&{{v_{1R}} - j{v_{1I}}}& {{v_3}}& \cdots &{{v_n}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_{1R}} + j{w_{1I}}}&{{w_{1R}} - j{w_{1I}}}& {{w_3}}& \cdots &{{w_n}} \end{array}} \right]$$ 其中 $w_i := -M_{\lambda_i} k_i$. 現在兩邊同乘下式 的非奇異矩陣
$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/2}&{}&{ - j1/2}& {}\\ {1/2}&{}&{j1/2}& 0\\ \hline {}&0&{}& I \end{array}} \right]$$
則我們可得
$$F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{1R}}}&{{v_{1I}}}& {{v_3}}& \cdots &{{v_n}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_{1R}}}&{{w_{1I}}}& {{w_3}}& \cdots &{{w_n}} \end{array}} \right]$$
現在由於 $\{v_i\}_{i=1}^n$ 彼此獨立，故矩陣
$$V:=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_{1R}}}&{{v_{1I}}}& {{v_3}}& \cdots &{{v_n}} \end{array}} \right]$$ 之反矩陣存在，故我們可如前計算 $F$. (by taking inverse of $V$). $\square$