- 改善/保證 系統穩定度
- 降低系統的 敏感度(提升強健性)
- 改善系統 抑制 低頻外在干擾 或者 抑制 高頻雜訊 的能力
- 改善 系統暫態響應
而 Eigenstructure Assignment (同時給定 eigenvalue 與 eigenvector )主要是透過回授控制達成第四個目標：改善 系統的 暫態響應。以下我們介紹 全狀態回授 (Full State Feedback) 的 Eigenstructure Assignment。
考慮系統
\[\dot x\left( t \right) = Ax\left( t \right) + Bu\left( t \right)
\] 其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$； $u(t) \in \mathbb{R}^m$
且狀態回授控制器 $u(t) = F x(t)$。
則將控制器帶入系統，可得閉迴路系統如下
\[\dot x\left( t \right) = \left( {A + BF} \right)x\left( t \right)
\]
現在令 $\lambda_i$ 為系統 $A+BF$ 的 eigenvalue，且 $v_i$ 為對應的 eigenvector，則我們有 eigenvalue-eigenvector relationship 如下
\[
(A+BF) v_i = \lambda_i v_i
\] 上式可改寫為
\[\begin{array}{l}
(A + BF){v_i} = {\lambda _i}{v_i}\\
\Rightarrow \left( {{\lambda _i}I - A} \right){v_i} - BF{v_i} = 0
\end{array}\]
故我們現在定義 $S_{\lambda_i }:= [\lambda_i I - A \;\; B]$ 且定義其對應的分割矩陣
\[{K_{{\lambda _i}}}: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{N_{{\lambda _i}}}}\\
{{M_{{\lambda _i}}}}
\end{array}} \right]\]此 $K_{\lambda_i}$ spans $\ker\{S_{\lambda_i}\}$
Theorem: (Moore, 1976) 令 $\{\lambda_i, i=1,...,n\}$ 為 self-conjugate 且 相異的特徵值所形成的集合。我們說 存在控制矩陣 $F$ 使得 對任意 $i=1,...n$ 而言，我們有 $(A+BF) v_i = \lambda_i v_i$ 若且為若 對任意 $i=1,...n$，下列三個條件成立
1. (線性獨立) $v_i$ 彼此線性獨立
2. (共顎條件) $\lambda_i = \lambda_j^* \Rightarrow v_i = v_j^*$
3. $v_i \in \text{span}\{N_{\lambda_i}\}= \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}{v_i}} :{v_i} \in {N_{{\lambda _i}}},{c_i} \in \mathbb{R}} \right\}$
Proof:
$(\Rightarrow)$ 假設 存在控制矩陣 $F$ 使得 對任意 $i=1,...n$ 而言，我們有 $(A+BF) v_i = \lambda_i v_i$，我們要證明三個條件成立；由於前面兩個條件由線性代數的理論可得；故我們只需檢驗條件 3. 假設 $(A+BF)v_i = \lambda_i v_i$, 則我們有
\[\begin{array}{l}
(A + BF){v_i} = {\lambda _i}{v_i}\\
\Rightarrow \left( {{\lambda _i}I - A} \right){v_i} - BF{v_i} = 0\\
\Rightarrow \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _i}I - A}&B
\end{array}} \right]}_{{S_{{\lambda _i}}}}\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_i}}\\
{ - F{v_i}}
\end{array}} \right]}_{{\in K_{{\lambda _i}}}} = 0
\end{array}\] 由於 $K_{\lambda_i}$ 的 columns 做為基底建構 $\ker \{ {S_{{\lambda _i}}}\} = \ker \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _i}I - A}&B
\end{array}} \right]} \right\}$ ，故 $v_i \in \text{span}\{N_{\lambda_i}\}$.
$(\Leftarrow)$ 假設前述 Theorem 三個條件成立， 我們要證明存在一個實數矩陣 $F$ 使得對 $1 \le i \le n$，下式 eigenvalue-eigenvector relation 滿足
\[
(A+BF)v_i = \lambda_i v_i.
\]現在選 $v_i, \; 1\le i \le n$ 滿足 3 條件; i.e., 對 $1\le i \le n$
1. $v_i$ 彼此線性獨立
2. $\lambda_i = \lambda_j^* \Rightarrow v_i = v_j^*$
3. $v_i \in \text{span}\{N_{\lambda_i}\}$
首先由條件 3 可知 $v_i \in \text{span}\{N_{\lambda_i}\}$ (the subspace spanned by colmuns of $N_{\lambda_i}$ and $v_i$ is the member of such subspace. ), 存在一個向量 $k_i$ (real or complex) 使得
\[
v_i = N_{\lambda_i} k_i
\]接著由於
\[{K_{{\lambda _i}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{N_{{\lambda _i}}}}\\
{{M_{{\lambda _i}}}}
\end{array}} \right] = \ker \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\lambda _i}I - A}&{B}
\end{array}} \right]} \right\}\]故暗示了
\[
\left( {{\lambda _i}I - A} \right){N_{{\lambda _i}}}{k_i} - B{M_{{\lambda _i}}}{k_i} = 0
\] 上述結果暗示了 若我們選 $F$ 使得 $ - {M_{{\lambda _i}}}{k_i} = F{v_i}$ 則 可得
\[\begin{array}{l}
\left( {{\lambda _i}I - A} \right){v_i} + B{M_{{\lambda _i}}}{k_i} = 0\\
\Rightarrow \left( {{\lambda _i}I - A} \right){v_i} + B\left( { - F{v_i}} \right) = 0\\
\Rightarrow \left[ {{\lambda _i}I - \left( {A + BF} \right)} \right]{v_i} = 0
\end{array}
\]亦即我們需要的結果。故剩下的證明便是要證明我們可以永遠建構出一控制矩陣 $F$ 滿足
\[F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_1}}&{{w_2}}& \cdots &{{w_n}}
\end{array}} \right]\]其中 $w_i := -M_{\lambda_i} k_i$ ; i.e., 若這樣的 $F$ 存在 則必定滿足
\[F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {M_{{\lambda _1}}}{k_1}}&{ - {M_{{\lambda _2}}}{k_2}}& \cdots &{ - {M_{{\lambda _n}}}{k_n}}
\end{array}} \right]\]
現在我們分成兩種情況討論
${\bf CASE 1: }$ 特徵值皆為實數的情況
若任意相異的 $\lambda_i$ 為實數，則 $v_i, w_i$ 亦為實數，且矩陣 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}}
\end{array}} \right]$ 之反矩陣存在 (由條件 1)，故可得控制力矩陣 $F$ 為
\[\begin{array}{l}
F = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_1}}&{{w_2}}& \cdots &{{w_n}}
\end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}}
\end{array}} \right]^{ - 1}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {M_{{\lambda _1}}}{k_1}}&{ - {M_{{\lambda _2}}}{k_2}}& \cdots &{ - {M_{{\lambda _n}}}{k_n}}
\end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_1}}&{{v_2}}& \cdots &{{v_n}}
\end{array}} \right]^{ - 1}}
\end{array}\]
${\bf CASE 2: }$ 特徵值具有共顎複數情況
若特徵值有共顎複數，在此我們假設 $\lambda_1 = \lambda_2^*$. 由條件2可知 $v_1 = v_2^*$ 故可推知 $w_1 = w_2^*$. 因此，設其他剩餘的特徵值皆為實數，則控制力矩陣 $F$ 必定需滿足
\[ \small
F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_{1R}} + j{v_{1I}}}&{{v_{1R}} - j{v_{1I}}}& {{v_3}}& \cdots &{{v_n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_{1R}} + j{w_{1I}}}&{{w_{1R}} - j{w_{1I}}}& {{w_3}}& \cdots &{{w_n}}
\end{array}} \right]
\]其中 $w_i := -M_{\lambda_i} k_i$. 現在兩邊同乘下式 的非奇異矩陣
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1/2}&{}&{ - j1/2}& {}\\
{1/2}&{}&{j1/2}& 0\\
\hline
{}&0&{}& I
\end{array}} \right]\]
則我們可得
\[F\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_{1R}}}&{{v_{1I}}}& {{v_3}}& \cdots &{{v_n}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_{1R}}}&{{w_{1I}}}& {{w_3}}& \cdots &{{w_n}}
\end{array}} \right]\]
現在由於 $\{v_i\}_{i=1}^n$ 彼此獨立，故矩陣
\[V:=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{v_{1R}}}&{{v_{1I}}}& {{v_3}}& \cdots &{{v_n}}
\end{array}} \right]
\] 之反矩陣存在，故我們可如前計算 $F$. (by taking inverse of $V$). $\square$
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