[機率論] Almost Sure Convergence

固定 機率空間 $(\Omega, \mathcal{B}, P)$。我們說 隨機事件 $A$  almost surely (a.s.) 成立，若下列條件成立：
存在一個事件 $N \in \mathcal{B}$ 且 $P(N)=0$ 使得 若 $\omega \in N^c$ 事件 $A$ 都成立。


Example 1: Two r.v. equal Almost Surely
令 $X, X'$ 為兩個隨機變數，則 $X=X'$ almost surely 亦即
$$P(\omega: X(\omega) = X'(\omega)) = 1$$ 亦即，存在事件 $N \in \mathcal{B}$ 使得 $P(N)=0$ 且  $\omega \in N^c \Rightarrow X(\omega) = X(\omega)'$ 都成立。$\square$


Example 2: 
令 $X, X'$ 為兩個隨機變數，則 $X \le X'$ almost surely 亦即
$$P(\omega: X(\omega) \le X'(\omega)) = 1$$ 亦即，存在事件 $N \in \mathcal{B}$ 使得 $P(N)=0$ 且  $\omega \in N^c \Rightarrow X(\omega) \le X(\omega)'$ 都成立。$\square$


Example 3: random variable sequence
若' $\{X_n\}$ 為 隨機變數的 sequence，則 $\lim_{n\rightarrow \infty}X_n$存在 almost surly 意指 存在事件 $N \in \mathcal{B}$ 使得 $P(N)=0$ 且  $\omega \in N^c \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}X_n$ 存在 ；此陳述等價為
$$\limsup_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega) = \liminf_{n\rightarrow \infty }X_n(\omega)$$ 我們會寫作 $\lim_{n \rightarrow \infty}X_n = X$ almost surely 或者 $X_n \rightarrow X$ a.s. $\square$

Example 3: random series
若' $\{X_n\}$ 為 隨機變數的 sequence，則 $\sum_n X_n$ converges almost surly 意指 存在事件 $N \in \mathcal{B}$ 使得 $P(N)=0$ 且  $\omega \in N^c \Rightarrow  \sum_n X_n$ converges  存在  $\square$

基於 almost sure equality，大部分隨機變數的機率性質都不改變。比如說 若 $X = X'$ almost surely，則若 $X \in L^1$ 若且唯若 $X' \in L^1$ 且 $EX = EX'$


注意到 隨機變數 sequence 儘管有 almost surely convergence 並不表示 convergence everywhere。現在我們看個例子：

Example: Almost Sure Convergence fails to be Convergence Everywhere
考慮機率空間 $([0,1], \mathcal{B}_{[0,1]}, \lambda)$ 且 $\lambda$ 為 Lebesgue measure。現在定義隨機變數
$${X_n}(\omega ): = \left\{ \begin{array}{l} n,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}0 \le \omega  \le \frac{1}{n}\\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\frac{1}{n} < \omega  \le 1 \end{array} \right.$$ 試證 $X_n \rightarrow 0$ almost surely；但 $X_n$ 並非 converge everywhere。
Proof:
若 $N = \{0\}$ 則 $\omega \in N^c \Rightarrow X_n(\omega ) \rightarrow 0$；

但是若我們現在關注 $\omega = 0$ 這一點時，可以發現 $X_n(0) = n \rightarrow \infty \neq 0$ $\square$

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Proposition: 令 $\{X_n\}$ 為 i.i.d. 隨機變數 且具有共同的 分布函數 $F(x)$。假設 $F(x) <1$；令
$$M_n := \max\{X_1,X_2,...,X_n\}$$ 則 $M_n \rightarrow \infty$ almost surely 當 $n\rightarrow \infty$。
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Proof: 我們要證  $M_n \rightarrow \infty$ almost surely 當 $n\rightarrow \infty$；亦即要證明 存在事件 $N$ 使得 $P(N)=0$ 且若 $\omega \in N^c$ 我們有 $M_n \rightarrow \infty$ 。我們需要證明 存在事件 $N \in \mathcal{B}$ 使得 $P(N) =0$ 且若 $\omega \in N^c$ 我們有
$$\lim_{n \rightarrow \infty} M_n(\omega) = \infty$$ 由 $lim$ 定義，上述可改寫為 要證明 對任意 $j>0$， 存在 $n_0$ 使得若 $n \ge n_0$ 則 $M_n(\omega) \ge j$。

首先注意到 由於 $\{X_n\}$ 為 i.i.d. 隨機變數 且具有共同的 分布函數 $F(x)$，故我們可寫
$$\begin{array}{l} P\left( {{M_n} \le x} \right) = P\left( {\max \left( {{X_1},{X_2},...,{X_n}} \right) \le x} \right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = P\left( {{X_1} \le x,{X_2} \le x,...,{X_n} \le x} \right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = \prod\limits_{i = 1}^n {P\left( {{X_i} \le x} \right)} = {F^n}\left( x \right) \end{array}$$ 故注意到由於 $F(x)<1$ 我們有
$$\sum_n P(M_n \le j) = \sum_n F^n(j) < \infty$$ 故由 Borel-Cantelli Lemma 可知
$$P\left( {\left\{ {{M_n} \le j} \right\}i.o.} \right) = 0$$ 亦即
$$P\left( {\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {{M_n} \le j} \right\}} \right) = 0$$ 故現在定義 事件 ${\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left\{ {{M_n} \le j} \right\}}$ 則我們有 $P(N_j) = 0$ 對任意 $j$。

且注意到 ${N_j}^c: = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \left\{ {{M_n} > j} \right\}$，故對任意 $\omega \in N_j^c$，若有夠大的 $n$，則我們有 $M_n(\omega) >j$。

現在定義 $N:= \cup_j N_j$ 則
$$P(N) \le \sum_j P(N_j) =0$$ 且若 $\omega \in N^c$，我們有對任意 $j$，若 有夠大的 $n$，則 $M_n(\omega) >j$ 。 $\square$