所謂泛函通常是指一種 domain 為函數空間(亦即無窮維的向量空間)，而 codmain 為實數 或者 Euclidean 空間的 函數。簡而言之，泛函可視為 函數的函數。
我們給出泛函定義如下：
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Definition: Functional
令 $X$ 為任意 Vector Space，我們稱函數 $J: X \to \mathbb{R}$ 為一個 泛函 (Functional)
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考慮 $X, Y$ 為 Vector Space，則
1. $ g: X \rightarrow \mathbb{R}$ 為泛函
2. $ g: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ 為泛函
3. $ g: X \rightarrow Y$ :此稱為 operator 不稱為泛函
以下我們給出幾個 functional 例子：
Examples of Functional
0. 給定 $X$ 任意 賦範空間，則對任意 $x \in X$，定義 $f(x):=||x||$ 為一個 functional。
1.考慮 $y(x)$ 為定義在 $[a,b]$上 一階連續可微函數，則下式
\[
J[y] = \int_a^b y'^2(x)dx
\] 為一個 Functional
2. 考慮一平面上任兩點 $A,B$ ，現在假設有一 質點(particle) 具有固定速度 $v$ ，且此 質點 可以沿著任意平面上任意路徑從 $A$ 移動到 $B$，則如果想描述此質點 花多少時間來通過上述的(任意)路徑，則描述結果會是用一個積分 以 Functional 來表示。
3. 令 $F(\alpha, \beta, \gamma)$ 為三變數的連續函數，則下式
\[
J[y] = \int_a^b F[x,y(x),y'(x)]dx
\] 為一個 Functional，其中 $y(x)$ 定義在 $[a,b]$ 上一階連續可微函數。
基本變分問題
整個變分法主要處理的問題為試圖 "找出 某 Functional 的極值"，下面是一些經典的變分基本問題：
1. [最短曲線問題]
找出一曲線 $y = y(x)$ 使得
\[
\int_a^b \sqrt{1 + y'^2}dx
\]為最小。
2. [最速下降問題 (Brachistochrone problem)]
令 $A, B$ 為固定兩點，現在考慮一質點透過重力從 $A$ 滑向 $B$ 點的時間 是與其滑動的路徑有關，故我們的目標是找出一個曲線使得 此質點由 $A$ 滑向 $B$ 的時間最短。
3. [最大面積問題]
給定固定長度曲線段，試找出此曲線可圍成的最大面積。
事實上，上述所有問題皆可由下列 Functional 表示，再透過變分法求其極值。
\[\int_a^b F (x,y,y')dx\]
那麼我們該如何才能求解 Functional 的極值問題呢?? 事實上我們可以借鏡 數學分析中對於函數的極值問題求解方法。也就是說如果有辦法將 Functional 轉化為 Function 則我們便可以利用傳統數學分析的極值問題來對付它們：
透過 多變數函數分析 近似 Functional
首先回憶我們關心的 Functional 如下
\[
J[y] = \int_a^b F(x,y,y')dx, \;\; y(a) =A, \;\; y(b) = B
\] 我們現在利用 Rieman Integral 的想法來對付 上述 Functional，現在我們將區間 $[a,b]$ 分割成 $n+1$ 等分；亦即令
\[
a=x_0, \; x_1, \; ..., \; x_n, \;x_{n+1} = b
\]那麼我們可以將曲線 $y = y(x)$ 用 多邊線段連線，且對應的多邊線段各端點可寫為
\[
({x_0},\underbrace A_{y({x_0})}),\;({x_1},y({x_1})),\;...,\;({x_n},y({x_n})),\;({x_{n + 1}},\underbrace B_{y({x_{n + 1}})})
\]透過上述分割，我們可以將上述 Functional $J[y]$ 透過下面累加近似
\[J\left( {{y_1},{y_2},...,{y_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n + 1} {F\left( {{x_i},y\left( {{x_i}} \right),\frac{{y\left( {{x_i}} \right) - y\left( {{x_{i - 1}}} \right)}}{h}} \right)} h\]其中 $h = x_i - x_{i-1}$ 且 $y_i := y(x_i)$
最後，我們讓 $n \rightarrow \infty$ 使上述近似還原回 $J[y]$ 。
也就是說，基本變分問題 或者 泛函極值問題 (Functional Extrema Problem) 可以被轉換成 對 $J(y_1,y_2,...,y_n)$ 的 $n$ 變數函數極值問題 再取極限。
Comments
1. 注意到若 $n \rightarrow \infty$ 可看出 $J[y] = J(y_1, y_2, ....)$，亦即泛函可以視為是具有無窮多變數的函數。而我們採用的變分法則可視為是對應此無窮多變數函數 類比於微積分的數學工具。
2. 由於變分問題處理的對象為 Functional，又由前述comment可知 Functional 可視為無窮多變數的函數，故我們處理此問題需要在無窮維的函數空間 (function space)。
延伸閱讀：
[變分法] 泛函極值的必要條件
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