[隨機過程] Wiener Integral (2) - arbitrary function

回憶先前我們曾定義對於 (nonrandom) simple function 的 Wiener integral，亦即對時間 $t$ 做有限個數區間內做分割 且對 $t_i < t \le t_{i+1}$， $g(\tau) = g_i$，反之則 $g(\tau) = 0$。

則我們定義 Wiener integral 為
\[\int_0^\infty  {g\left( \tau  \right)d{W_\tau }} : = \sum\limits_i^{} {{g_i}\left( {{W_{{t_{i + 1}}}} - {W_{{t_i}}}} \right)}
\]且由於此積分為對一組 independent, zero mean Gaussian random variable 做 summation，故此積分必為 zero mean Gaussian random variable 且 variance 為
\[E\left[ {{{\left( {\int_0^\infty  {g\left( \tau  \right)d{W_\tau }} } \right)}^2}} \right] = {\sigma ^2}\sum\limits_i^{} {{g_i}^2\left( {{t_{i + 1}} - {t_i}} \right)}  = {\sigma ^2}\int_0^\infty  {{g^2}\left( \tau  \right)d\tau } \]

現在我們要拓展 Wiener integral 到對任意函數 $g$ 。為了拓展到更廣的函數 $g$ 需要一些限制，我們要求 $g$ 必須滿足平方可積條件亦即
\[
\int_0^\infty g^2(\tau) d\tau < \infty
\]
現在我們看個結果：
===================
FACT: (Dense property) 若 $g$ 為平方可積 (亦即 $\int_0^\infty g^2(\tau) d\tau < \infty$)，則必定存在一 piecewise-constant 函數 sequence $g_n$ 且此 $g_n \rightarrow g$ in $L^2$
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^\infty  {{{\left| {{g_n}\left( \tau  \right) - g\left( \tau  \right)} \right|}^2}d\tau }  = 0 \ \ \ \ (*)
\]===================
Proof: omitted.

現在我們回憶 函數的 $L^2$-norm：
\[\left\| g \right\|_2^2: = \int_0^\infty  {{g^2}\left( \tau  \right)d\tau } \]那麼對於上述 FACT的式 $(*)$ 而言，事實上我們有
\[
\lim_{n \rightarrow \infty}||g_n - g||_2^2 =0
\]另外，由於 $g_n$ 為收斂到 $g$ 的 piecewise-constant 函數 sequence，且我們知道收斂 sequence 必為 Cauchy sequence。故存在一夠大的 $N>0$ 使得 $n,m \ge N$，
\[
||g_n - g_m||_2^2 \rightarrow 0
\]故我們知道 $g_n$ 為 Cauchy，且由於 $g_n$ 為 nonrandom simple function (piecewise-constant 函數)，故我們可以利用之前對 piecewise-constant 的定義建構 Wiener integral。故令隨機變數 $Y_n$ 定為 Wiener integral
\[
Y_n := \int_0^\infty g_n(\tau) dW_{\tau}
\]其中 $g_n$ 為 piecewise-constant function 。由之前討論可知 $Y_n$ 為 zero mean 的 Gaussian 隨機變數且 variance 為
\[{\sigma ^2}\int_0^\infty  {{g^2}\left( \tau  \right)d\tau }
\]現在我們觀察
\[\begin{array}{l}
\left\| {{Y_n} - {Y_m}} \right\|_2^2: = {\rm{E}}\left[ {{{\left| {{Y_n} - {Y_m}} \right|}^2}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = {\rm{E}}\left[ {{{\left| {\int_0^\infty  {{g_n}} (\tau )d{W_\tau } - \int_0^\infty  {{g_m}} (\tau )d{W_\tau }} \right|}^2}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = {\rm{E}}\left[ {{{\left| {\int_0^\infty  {\left[ {{g_n}(\tau ) - {g_m}(\tau )} \right]} d{W_\tau }} \right|}^2}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = {\sigma ^2}\underbrace {\int_0^\infty  {{{\left[ {{g_n}(\tau ) - {g_m}(\tau )} \right]}^2}} d\tau }_{: = \left\| {{g_n}(\tau ) - {g_m}(\tau )} \right\|_2^2}
\end{array}\]故我們有
\[\left\| {{Y_n} - {Y_m}} \right\|_2^2 = {\sigma ^2}\left\| {{g_n}(\tau ) - {g_m}(\tau )} \right\|_2^2\]又因為$g_n$ 為 Cauchy，故 $Y_n$ 亦為 Cauchy，由 $L^2$ 為 complete，可知必存在一個隨機變數 $Y \in L^2$ 使得 $||Y_n - Y||_2 \rightarrow 0$。故此我們定義此隨機變數為
\[
Y:= \int_0^\infty g(\tau) dW_{\tau}
\]並稱其為對任意函數 $g$ 的 Wiener integral。