[機率論] 淺談機率公理 與 基本性質

機率公理(Axioms of probability) 是由俄國數學家 Andrey Kolmogorov (1903-1987) 建立。我們的目的主要是簡介此公理系統 並 進而檢驗由此公理系統所衍生的一些性質。

閱讀前建議具備基礎集合論概念。
讀者可參閱此文：[整理] 基礎集合論的數學語言(1) - Set Operations


再談之間機率公理之前我們先思考兩個 隨機實驗：

1. 從閉區間 $[0,1]$ 之中 任選一個數字
2. 做無限次的丟銅板實驗

上述兩個實驗，我們每做一次紀錄其 實驗結果 $\omega$，並將每次的輸出結果收集起來，此結果形成一個 樣本空間(sample space) $\Omega$。

對 實驗1 而言，樣本空間即為 $ \Omega :=[0,1]$ ，其 實驗結果記做 $\omega$

對於實驗2，我們可以定義樣本空間為
\[
\Omega_\infty := \{ \text{the set of infinite sequences of Heads' and Tail's}\}
\] 樣本輸出結果 $\omega = \omega_1 \omega_2 ...$ 其中 $\omega_n$ 為第 $n$ 次丟銅版的結果。

那麼如何對上述樣本空間中發生的 "事件" 定義 "機率" 呢? 我們需要 機率空間(Probability space) 的概念：

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Definition: Probability Space
一個 機率空間 (Probability space) 為一個三元素組成的集合記做 $(\Omega, \cal{F}, P)$。其中 $\Omega$ 定義為 實驗結果所形成的 非空集合（又稱為樣本空間），$\cal F$ 為 事件(or 多個事件) 形成的集合，而 $P$ 為一個函數 $P : \cal{F} \rightarrow [0,1]$ 用作指定對應事件的機率。
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Comment:
上述定義提及 $\cal{F}$ 又稱 $\sigma$-algebra or $\sigma$-field 滿足下列條件
(i) 對任意子集合 $A \subset \Omega$，若 $A \in \cal{F}$，則 $A^C \in \cal{F}$
(ii) 對任意 countable 子集 $A_1,A_2,... \in \Omega$，若 $A_i \in \cal{F},\;\; \forall i$ 則其 union $A_1 \cup A_2 \cup ... \in \cal{F}$
(iii) $\emptyset \in \cal{F}$ 且 $\Omega \in \cal{F}$

有了上述想法，我們可以開始討論 機率公理：

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機率公理(Axioms of Probability)：
給定任何 非空集合 $\Omega$ 為 樣本空間(Sample space)，接著我們定義一個函數 $P$ 在上述樣本空間  $\Omega$ 的子集合 $\cal F$ 上。則我們稱此函數 $P$ 為一個 機率測度 (Probability Measure) 若此函數能(同時)滿足下列四條公理

1. 空集合 $\emptyset$ 稱為 不可能發生的事件(Impossible event)，此不可能發生的事件(樣本空間上的子集合) 機率為 $0$，亦即 $P(\emptyset)=0$.


2. (非負性質) 機率 $P$ 為非負值，亦即 對任意事件 $A$而言，$P(A) \geq 0$.


3. (可數加法性質) 若 $A_1, A_2, ...$ 為兩兩互斥事件 (pairwise disjoint or mutually exclusive)，也就是說 對任意 $n \neq m$, $A_n \displaystyle \bigcap A_m = \emptyset $；則
   
   $P(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)$


4. 整個樣本空間的機率被稱作 確定事件(sure event) ，此事件發生之機率為1；亦即 $P(\Omega) =1$。

注意到若一個事件 $A \neq \Omega$ 但滿足 $P(A)=1$ 我們說此事件 $A$ 為 幾乎確定事件(almost-sure event)
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Comments:
1. 事實上所謂的公理 就是"你我在理性上認為是對的or直接同意的陳述，換句話說，我們可以把公理看成是無法被證明對錯，但(在你我的理性上)被假設為不證自明的一個命題

對於公理1，其實非常直覺，不可能發生的事件 <=> 發生機率為0 (0% 發生)
對於公理4，一定發生的事件 <=> 發生機率為1 (100% 發生)
對於公理2，任意事件發生的機率應該是在0~1之間(非負) (0~100%之間)
對於公理3，可看成若事件本身互斥 (EX: 比如說丟一枚銅板一次，不可能同時出現正面又出現反面，我們就說 出現正面 與 出現反面的事件為互斥事件)；則這麼一來，所有可能發生的事件可以看成個別相加。

2. 注意! 機率測度 本質上是一個 "函數" (吃 事件 吐出 某個介於 0到1的 " 數值" ) ；亦即 考慮機率空間為 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 則 機率測度定義為
$P : \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$

其中 $ \mathcal F$ 為 $\Omega$ 的子集合。 (一般稱 $\mathcal{F} $ 為 $\sigma$ - algebra)；且 $\mathcal{F}$ 中的元素稱為 事件 "event:"。
對 $\sigma$-algebra 有一點興趣的讀者可以前往閱讀此篇：
[測度論] Sigma Algebra 與 Measurable function 簡介

以下我們介紹一些機率公理的衍生性質：

定義機率空間   $(\Omega, \mathcal{F}, P)$，$A \in \mathcal{F}$ 為事件。則我們有以下結果

FACT 1 : $P(A^c) = 1 - P(A)$
Proof: 
首先觀察 $\Omega = A \cup A^c$ 且 $A $ 與 $A^c$ disjoint。故由 $P(\Omega)= 1$，可知道
\[\begin{array}{l}
\underbrace {P(\Omega )}_{ = 1} = P(A \cup {A^c}) = P(A) + P({A^c})\\
 \Rightarrow 1 = P(A) + P({A^c})\\
 \Rightarrow P({A^c}) = 1 - P(A) \ \ \ \ \square
\end{array}\]

FACT2: (Inclusion-Exclusion Formula)
考慮兩事件 $A,B \in \mathcal{F}$，則我們有
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
\]Proof: 
首先觀察 \[\left\{ \begin{array}{l}
A = \left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)\\
B = \left( {B \cap {A^c}} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)
\end{array} \right.\]且上述兩事件 $A,B$ 各自被表為 disjoint union，故其對應的機率為
\[\left\{ \begin{array}{l}
P\left( A \right) = P\left( {A \cap {B^c}} \right) + P\left( {A \cap B} \right)\\
P\left( B \right) = P\left( {B \cap {A^c}} \right) + P\left( {A \cap B} \right)
\end{array} \right.
\]現在觀察
\[\begin{array}{l}
\left( {A \cup B} \right) = \left( {A \cap {B^c}} \right) \cup \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {B \cap {A^c}} \right)\\
 \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = \underbrace {P\left( {A \cap {B^c}} \right)}_{ = P\left( A \right) - P\left( {A \cap B} \right)} + P\left( {A \cap B} \right) + \underbrace {P\left( {B \cap {A^c}} \right)}_{ = P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)}\\
 \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) \ \ \ \ \square
\end{array}\]

FACT3: (Monotonicity Property)
考慮兩事件 $A,B \in \mathcal{F}$，若 $A \subset B$ 則
\[
P(A) \le P(B)
\]Proof: 
由 $A \subset B$ 可推知 $B = A \cup {(B \backslash  A)}$ 且 $A$ 與 $B \backslash A$ 為 disjoint，故
\[P\left( B \right) = P\left( A \right) + \underbrace {P\left( {B\backslash A} \right)}_{ \ge 0} \ge P\left( A \right) \ \ \ \ \square
\]

FACT4: (Subadditivity)
考慮 countable 事件 $A_n \in \mathcal{F}, \; \forall \; n \in \mathbb{N}$，則
\[P\left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} } \right) \le \sum\limits_{n = 1}^\infty  {P\left( {{A_n}} \right)} \]
Proof:
觀察事件 $\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}}  = {A_1} \cup \left( {{A_2} \cap A_1^c} \right) \cup \left( {{A_3} \cap A_2^c \cap A_1^c} \right) \cup ...$ 。注意到我們將 countable union 事件  $\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} $ 改寫成 disjoint unions，故
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow P\left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} } \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2} \cap A_1^c} \right) + P\left( {{A_3} \cap A_2^c \cap A_1^c} \right) + ...\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right) + ... \square
\end{array}\]

FACT5: ( Continuity)
我們稱 機率測度 $P$  對 monotone sequence of events $\{A_n\}$ 連續 若下列任一情況成立：
(i) 若 $A_n \uparrow A$ 且 $A_n \in \mathcal{F}$ 則 $P(A_n) \uparrow P(A)$
(ii) 若 $A_n \downarrow A$ 且 $A_n \in \mathcal{F}$ 則 $P(A_n) \downarrow P(A)$

Proof:
我們只證明 (i)：
由於 monotone sequence of events $\{A_n\}$，且 $An \uparrow A$，我們可設
\[{A_1} \subset {A_2} \subset {A_3} \subset ... \subset {A_n} \subset ...
\]接著我們定義新的事件集合 $B_1 := A_1, B_2 := A_1 \backslash A_2, ..., B_n := A_n \backslash  A_{n-1}$ 則我們有以下結果
\[\bigcup\limits_{i = 1}^n {{B_i} \equiv {A_n}} ;\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {{B_i}}  = \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {{A_i} = A}
\]故現在觀察
\[\begin{array}{l}
P\left( A \right) = P\left( {\bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {{B_i}} } \right) = \sum\limits_{i = 1}^\infty  {P\left( {{B_i}} \right)} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{B_i}} \right)}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\bigcup\limits_{i = 1}^n {{B_i}} } \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {{A_n}} \right)
\end{array}\]