Ax=b 其中 b∈Rm 且 x∈Rn 為未知數待求。
往下閱讀之前,強烈建議讀者先回憶 以下幾個 線性代數 中的 基本名詞定義:
- 向量空間 (Vector Space)
- 子空間 (Subspace)
- 線性獨立 與 線性相關 (Linear Independence & Dependence)
- 矩陣的秩 (Rank)
- 線性生成 (Span)
- 基底 (Basis)
- 維度 (Dimension)
- 正交空間 (Orthogonal Space)
線性代數基本定理 (Fundamental Theorem of Linear Algebra)
對於 Ax=b 何時有解 以及 何時有唯一解 給出了完整的條件 (參閱 G. Strang, "Linear Algebra and its Applications") 。亦即 任意矩陣 Am×n 且 rank(A)=r ,則我們可將 Rn 空間 與 Rm 空間分解到四個基本子空間:
- 列空間(Column space) or (Range space ) :=R(A)⊂Rm; rank r
- 零空間 (Null Space) or kernel :=N(A)⊂Rn; rank n−r
- 行空間 (Row space) :=R(A′)⊂Rn; rank r
- 左零空間 (Left null space) :=N(A′)⊂Rm; rank m−r
Comments:
1. 前述 線性代數基本定理 有些學者亦稱為 秩-零度定理(Rank-Nullity Theorem)
2. N(A) 稱為 Null Space of A 定義為 N(A):={x∈Rn:Ax=0∈Rm}
3. R(A) 又稱為 Range Space of A 定義為 R(A):={Ax∈Rm:x∈Rn}
FACT 1: N(A) 為 subspace of Rn 且 R(A) 為 subspace of Rm
以下為重要的結果:
Theorem: 何時解存在?何時解唯一
對任意 b, Ax=b 的 解 存在 若且唯若 A 的 rows 彼此線性獨立。
Ax=b 的解 為 唯一解 若且唯若 A 矩陣的 columns 彼此線性獨立。
Proof: omitted.
上述有等價定理以 rank條件表示:
Theorem 2: 對任意線性系統 Ax=b ,其解 x 存在若且唯若 rank(A)=rank([A|b])
其解 x 為唯一若且唯若
rank(A)=rank([A|b])=dim(b)
Exercise:
給定矩陣
A=[135070001200000]
(a) 試求 rankA
(b) 試求 N(A) 及其基底 與 維度
(c) 試求 R(A) 及其基底 與 維度
(d) 試求 R(A′) 及其基底 與 維度
(e) 試求 N(A′) 及其基底 與 維度
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