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[線性代數] Ax=b 何時有解? 何時解為唯一?

令 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 為 實數矩陣 (有 $m$ rows 與 $n$ columns 故 $A$ 可不為方陣 )。我們通常有興趣求解下列形式的線性方程組
\[
A {\bf x} = {\bf b}
\] 其中 ${\bf b} \in \mathbb{R}^m$ 且 ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ 為未知數待求。

往下閱讀之前,強烈建議讀者先回憶 以下幾個 線性代數 中的 基本名詞定義:
  • 向量空間 (Vector Space)
  • 子空間 (Subspace)
  • 線性獨立 與 線性相關 (Linear Independence & Dependence)
  • 矩陣的秩 (Rank) 
  • 線性生成 (Span)
  • 基底 (Basis)
  • 維度 (Dimension)
  • 正交空間 (Orthogonal Space)
待上述基本概念補齊之後再往下閱讀:


線性代數基本定理 (Fundamental Theorem of Linear Algebra)
對於 $A {\bf x} = {\bf b}$ 何時有解 以及 何時有唯一解 給出了完整的條件 (參閱 G. Strang, "Linear Algebra and its Applications") 。亦即 任意矩陣 $A_{m \times n}$ 且 $rank(A)=r$ ,則我們可將 $\mathbb{R}^n$ 空間 與 $\mathbb{R}^m$ 空間分解到四個基本子空間:
  1. 列空間(Column space) or  (Range space ) $:= \mathcal{R}(A) \subset \mathbb{R}^m$; rank $r$
  2. 零空間 (Null Space) or kernel $:=\mathcal{N}(A) \subset \mathbb{R}^n$; rank $n-r$
  3. 行空間 (Row space) $:= \mathcal{R}(A') \subset \mathbb{R}^n $; rank $r$
  4. 左零空間 (Left null space) $:= \mathcal{N}(A') \subset \mathbb{R}^m $; rank $m-r$

Comments:
1. 前述 線性代數基本定理 有些學者亦稱為 秩-零度定理(Rank-Nullity Theorem)
2. $\mathcal{N}(A)$ 稱為 Null Space of $A$ 定義為 $\mathcal{N}(A) := \{{\bf x} \in \mathbb{R}^n : A{\bf x} = {\bf 0} \in \mathbb{R}^m\}$
3.  $\mathcal{R}(A)$ 又稱為 Range Space of $A$ 定義為 $\mathcal{R}(A) := \{ A{\bf x} \in \mathbb{R}^m : {\bf x} \in \mathbb{R}^n\}$


FACT 1: $\mathcal{N}(A)$ 為 subspace of $\mathbb{R}^n$ 且 $\mathcal{R}(A)$ 為 subspace of $\mathbb{R}^m$


以下為重要的結果:

Theorem: 何時解存在?何時解唯一
對任意 $\bf b$, $A {\bf x} = {\bf b}$ 的 解 存在 若且唯若 $A$ 的 rows 彼此線性獨立。
$Ax = b$ 的解 為 唯一解 若且唯若 $A$ 矩陣的 columns 彼此線性獨立。
Proof: omitted.

上述有等價定理以 rank條件表示:

Theorem 2: 對任意線性系統 $A {\bf x} = {\bf b}$ ,其解 ${\bf x}$ 存在若且唯若 $$
rank(A)=rank( [A|{\bf b}])
$$
其解 ${\bf x}$ 為唯一若且唯若
\[
rank(A) = rank([A|{\bf b}]) = dim({\bf b})
\]


Exercise:
給定矩陣
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&5&0&7\\
0&0&0&1&2\\
0&0&0&0&0
\end{array}} \right]\]
(a) 試求 $rank A$
(b) 試求 $\mathcal{N}(A)$ 及其基底 與 維度
(c) 試求 $\mathcal{R}(A)$ 及其基底 與 維度
(d) 試求 $\mathcal{R}(A')$ 及其基底 與 維度
(e) 試求 $\mathcal{N}(A')$ 及其基底 與 維度

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[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念:

Norm:一般翻譯成範數
(在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣),

也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的:
比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "!

但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說
\[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T
\]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$???
再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]
\],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。

也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。

故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來)

==================
Definition: Norm
考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質:

(a) $||v|| \geq 0$, $||v||=…

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if
 (此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。)

中文翻譯叫做 若且唯若 (or 當且僅當),記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛莫能助,畢竟有翻跟沒翻一樣,都是有看沒有懂。

在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種雙條件句,通常可以直接將其視為"定義(Definition)"待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他

假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B.
注意到,在此我們不必考慮這兩個陳述句到底是什麼,想表達什麼,或者到底是否為真(true),這些都不重要。只要知道是兩個陳述即可。

現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B"
好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢?
事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是
"( A if B ) and ( A only if B )"

那麼先針對第一個部分 A if B 來看,
其實這句就是說 if B then A,
更直白一點就是 "if B is true, then A is also true". 
在數學上等價可以寫為 "B implies A". 
或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A" 

現在針對第二個部分 A only if B
此句意指 "If B is not true, then A is also not true".
所以如果已知 A is true, 那麼按照上句不難推得 B is also true
也就是說 A only if B 等價為 "If A is true then B is also true".
同樣,也可以寫作"A implies B"
或者用箭頭表示 "A $\Rightarrow$  B".

所以現在總結如下,下列七個 if and only if 陳述完全等價:

"A if and only if B" "A iff…