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2/23/2015

[線性代數] Ax=b 何時有解? 何時解為唯一?

ARm×n 為 實數矩陣 (有 m rows 與 n columns 故 A 可不為方陣 )。我們通常有興趣求解下列形式的線性方程組
Ax=b 其中 bRmxRn 為未知數待求。

往下閱讀之前,強烈建議讀者先回憶 以下幾個 線性代數 中的 基本名詞定義:
  • 向量空間 (Vector Space)
  • 子空間 (Subspace)
  • 線性獨立 與 線性相關 (Linear Independence & Dependence)
  • 矩陣的秩 (Rank) 
  • 線性生成 (Span)
  • 基底 (Basis)
  • 維度 (Dimension)
  • 正交空間 (Orthogonal Space)
待上述基本概念補齊之後再往下閱讀:


線性代數基本定理 (Fundamental Theorem of Linear Algebra)
對於 Ax=b 何時有解 以及 何時有唯一解 給出了完整的條件 (參閱 G. Strang, "Linear Algebra and its Applications") 。亦即 任意矩陣 Am×nrank(A)=r ,則我們可將 Rn 空間 與 Rm 空間分解到四個基本子空間:
  1. 列空間(Column space) or  (Range space ) :=R(A)Rm; rank r
  2. 零空間 (Null Space) or kernel :=N(A)Rn; rank nr
  3. 行空間 (Row space) :=R(A)Rn; rank r
  4. 左零空間 (Left null space) :=N(A)Rm; rank mr

Comments:
1. 前述 線性代數基本定理 有些學者亦稱為 秩-零度定理(Rank-Nullity Theorem)
2. N(A) 稱為 Null Space of A 定義為 N(A):={xRn:Ax=0Rm}
3.  R(A) 又稱為 Range Space of A 定義為 R(A):={AxRm:xRn}


FACT 1: N(A) 為 subspace of RnR(A) 為 subspace of Rm


以下為重要的結果:

Theorem: 何時解存在?何時解唯一
對任意 bAx=b解 存在 若且唯若 A 的 rows 彼此線性獨立。
Ax=b 的解 為 唯一解 若且唯若 A 矩陣的 columns 彼此線性獨立。
Proof: omitted.

上述有等價定理以 rank條件表示:

Theorem 2: 對任意線性系統 Ax=b ,其解 x 存在若且唯若 rank(A)=rank([A|b])
其解 x 為唯一若且唯若
rank(A)=rank([A|b])=dim(b)


Exercise:
給定矩陣
A=[135070001200000]
(a) 試求 rankA
(b) 試求 N(A) 及其基底 與 維度
(c) 試求 R(A) 及其基底 與 維度
(d) 試求 R(A) 及其基底 與 維度
(e) 試求 N(A) 及其基底 與 維度

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