考慮離散線性系統
{x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)y(k)=Cx(k) x∈Rn,y∈Rp,u∈Rm;一般而言,控制系統中常見的 追蹤(setpoint tracking)問題 (或稱 servo problem) 如下:
給定 setpoint ysp (e.g., 步階訊號 or 常數),我們希望在系統達到穩態(steady-state) 之後,系統的輸出 y=ysp。
若我們考慮給定的 setpoint ysp=0 則稱此類問題為 regulation problem。
回憶在最佳控制理論中的 LQR 方法給予我們對於線性系統的 regulation 問題提供一組最佳解,故我們的想問是否能將此法應用在 一般的追蹤問題?
答案是肯定的,僅需引入 deviation variable 做基本 座標轉換 即可。
現在我們令 ysp 為 output setpoint,定義系統穩態時候的狀態 與 控制力為 (xs,us) 則線性系統方程可改寫為
{xs=Axs+Busys=Cxs注意到對於穩態時 我們希望 ys=ysp 故 我們有 ysp=Cxs 現在我們將上式改寫為矩陣形式
{xs=Axs+Busysp=Cxs⇒[I−A−BC0][xsus]=[0ysp] (∗)若上述矩陣方程有解 (亦即可以解出 xs,us),且系統控制力無拘束,則我們可以定義 deviation variables 如下
{˜x(k):=x(k)−xs˜u(k):=u(k)−us現在觀察
˜x(k+1)=x(k+1)−xs=Ax(k)+Bu(k)−(Axs+Bus)=A(x(k)−xs)+B(u(k)−us)⇒˜x(k+1)=A˜x(k)+B˜u(k)此表示我們的 deviation variable 仍然滿足原本給定的線性系統。且此時若考慮使用 deviation variable ˜x,˜u 則 我們的 setpoint tracking problem 被改寫為 regulation problem ;也就是說我們要找到一組 ˜u(k) 使得 ˜x(k)→0 (此等價為 x(k)→xs,故 Cx(k)→Cxs=ysp)。解完此 regulation problem 之後,真實的控制力 u(k)=˜u(k)+us。
Comment:
注意到上述論述建立在 (n+p)×(n+m) 的矩陣方程
{xs=Axs+Busysp=Cxs⇒[I−A−BC0][xsus]=[0ysp] (∗)有解。但何時才有解/與此解是否唯一的問題 我們並未解決 !! 以下我們將對此點進行討論。
對任意 setpoint ysp, 上述矩陣方程 (∗) 有解 的充分條件為:(∗) 要有 linearly independent rows;亦即 p≤m 也就是說我們需要 控制力的數目 m 與 量測輸出的數目 p 至少要相等)。但在實際情況上卻是常常相反,我們可能會獲得非常多的量測輸出數目 (因為裝了很多 sensor),但實際可以調控的變數卻少於 sensor 數目。為了要解決此問題,我們可選定某矩陣 H 並引入新的 控制變數 r∈Rnc 為 量測輸出的線性組合;亦即
r:=Hy如此一來,若 p>m 情況發生時,我們可選一部份的 輸出 nc≤m 作為控制變數 並且 對此引入的控制變數 r 也給定所需的 setpoint rsp。
另外若 m>p (控制力數目 大於 量測輸出的數目) 時,則對某些 H 與 rsp,矩陣方程 (∗) 有解 但此時唯一性並不被保證,故我們會希望有唯一解,此時需要對 穩態控制力 us 也給定 setpoint usp。
總和以上所述,我們可以建構以下 Steady-State Target Problem
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Steady-State Target Problem
考慮最佳化問題
minxs,us12(|us−usp|2Rs+|ys−ysp|2Qs)subject to
{xs=Axs+Busysp=Cxs⇒[I−A−BC0][xsus]=[0ysp]與 Eus≤e 與 FCxs≤f。其中 Rs 為 正定矩陣。且對 控制變數的 setpoints rsp,上述 target problem 為 feasible 。
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有了 steady-state 的解之後我們可以便可以求解 當初我們引入 deviation variable 的 regulation problem:
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Dynamic Regulation Problem
考慮以下 cost function
V(˜x(0),˜u)=12N−1∑k=0|˜x(k)|2Q+|˜u(k)|2Rs.t.˜x(k+1)=A˜x(k)+B˜u(k)其中 ˜x(0)=ˆx(k)−xs (此初始條件表示 透過 steady-state xs 平移估計狀態 ˆx 而得。);且所求得的 regulator 將會求解以下的 regulation problem
min˜uV(˜x(0),˜u)s.t.E˜u≤e−EusFC˜x≤f−FCxs===================
上述 regulation problem 的 optimal cost 為 V∗(˜x(0)) 且對應的控制力為 ˜u0(˜x(0))
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