[控制理論] 離散線性系統的 追蹤 與 調節 問題

Setpoint Tracking
考慮離散線性系統
\[\left\{ \begin{array}{l}
x\left( {k + 1} \right) = Ax\left( k \right) + Bu\left( k \right)\\
y\left( k \right) = Cx\left( k \right)
\end{array} \right.\] $x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^p, u \in \mathbb{R}^m$；一般而言，控制系統中常見的 追蹤(setpoint tracking)問題 (或稱 servo problem) 如下：
給定 setpoint  $y_{sp}$ (e.g., 步階訊號 or 常數)，我們希望在系統達到穩態(steady-state) 之後，系統的輸出 $ y  = y_{sp} $。

若我們考慮給定的 setpoint $y_{sp} = 0$ 則稱此類問題為 regulation problem。

回憶在最佳控制理論中的 LQR 方法給予我們對於線性系統的 regulation 問題提供一組最佳解，故我們的想問是否能將此法應用在 一般的追蹤問題?

答案是肯定的，僅需引入 deviation variable 做基本 座標轉換 即可。

現在我們令 $y_{sp}$ 為 output setpoint，定義系統穩態時候的狀態 與 控制力為 $(x_s, u_s)$ 則線性系統方程可改寫為
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_s} = A{x_s} + B{u_s}\\
{y_s} = C{x_s}
\end{array} \right.\]注意到對於穩態時 我們希望 $y_s = y_{sp}$ 故 我們有 $y_{sp} = C x_s$ 現在我們將上式改寫為矩陣形式
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_s} = A{x_s} + B{u_s}\\
{y_{sp}} = C{x_s}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{I - A}&{ - B}\\
C&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_s}}\\
{{u_s}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
{{y_{sp}}}
\end{array}} \right] \ \ \ \ (*)
\]若上述矩陣方程有解 (亦即可以解出 $x_s, u_s$)，且系統控制力無拘束，則我們可以定義 deviation variables 如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tilde x\left( k \right): = x\left( k \right) - {x_s}\\
\tilde u\left( k \right): = u\left( k \right) - {u_s}
\end{array} \right.\]現在觀察
\[\begin{array}{l}
\tilde x\left( {k + 1} \right) = x\left( {k + 1} \right) - {x_s}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = Ax\left( k \right) + Bu\left( k \right) - \left( {A{x_s} + B{u_s}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = A\left( {x\left( k \right) - {x_s}} \right) + B\left( {u\left( k \right) - {u_s}} \right)\\
 \Rightarrow \tilde x\left( {k + 1} \right) = A\tilde x\left( k \right) + B\tilde u\left( k \right)
\end{array}\]此表示我們的 deviation variable 仍然滿足原本給定的線性系統。且此時若考慮使用 deviation variable $\tilde{x}, \tilde{u}$ 則 我們的 setpoint tracking problem 被改寫為 regulation problem ；也就是說我們要找到一組 $\tilde{u}(k)$ 使得 $\tilde x(k) \to 0$ (此等價為 $x(k) \to x_s$，故 $C x(k) \to C x_s = y_{sp}$)。解完此 regulation problem 之後，真實的控制力 $u(k) = \tilde u(k) + u_s$。

Comment:
注意到上述論述建立在 $(n + p) \times (n + m)$ 的矩陣方程
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_s} = A{x_s} + B{u_s}\\
{y_{sp}} = C{x_s}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{I - A}&{ - B}\\
C&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_s}}\\
{{u_s}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
{{y_{sp}}}
\end{array}} \right] \ \ \ \ (*)
\]有解。但何時才有解/與此解是否唯一的問題 我們並未解決 !! 以下我們將對此點進行討論。


對任意 setpoint $y_{sp}$， 上述矩陣方程 $(*)$ 有解 的充分條件為：$(*)$ 要有 linearly independent rows；亦即 $p \le m$ 也就是說我們需要 控制力的數目 $m$ 與 量測輸出的數目 $p$ 至少要相等)。但在實際情況上卻是常常相反，我們可能會獲得非常多的量測輸出數目 (因為裝了很多 sensor)，但實際可以調控的變數卻少於 sensor 數目。為了要解決此問題，我們可選定某矩陣 $H$ 並引入新的 控制變數 $r \in \mathbb{R}^{n_c}$ 為 量測輸出的線性組合；亦即
\[
r := Hy
\]如此一來，若 $p > m$ 情況發生時，我們可選一部份的 輸出 $n_c \le m$ 作為控制變數 並且 對此引入的控制變數 $r$ 也給定所需的 setpoint $r_{sp}$。

另外若 $m > p$ (控制力數目 大於 量測輸出的數目) 時，則對某些 $H$ 與 $r_{sp}$，矩陣方程 $(*)$ 有解 但此時唯一性並不被保證，故我們會希望有唯一解，此時需要對 穩態控制力  $u_s$ 也給定 setpoint $u_{sp}$。


總和以上所述，我們可以建構以下 Steady-State Target Problem
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Steady-State Target Problem
考慮最佳化問題
\[
\min_{x_s, u_s} \frac{1}{2} (|u_s - u_{sp}|_{R_s}^2 + |y_s - y_{sp}|_{Q_s}^2)
\]subject to
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_s} = A{x_s} + B{u_s}\\
{y_{sp}} = C{x_s}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{I - A}&{ - B}\\
C&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_s}}\\
{{u_s}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
{{y_{sp}}}
\end{array}} \right]
\]與 $E u_s \le e$ 與 $F C x_s \le f$。其中 $R_s$ 為 正定矩陣。且對 控制變數的 setpoints $r_{sp}$，上述 target problem 為 feasible 。
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有了 steady-state 的解之後我們可以便可以求解 當初我們引入 deviation variable 的 regulation problem:
========================
Dynamic Regulation Problem
考慮以下 cost function
\[\begin{array}{l}
V\left( {\tilde x\left( 0 \right),{\bf{\tilde u}}} \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {\left| {\tilde x\left( k \right)} \right|_Q^2 + \left| {\tilde u\left( k \right)} \right|_R^2} \\
s.t.\\
\tilde x\left( {k + 1} \right) = A\tilde x\left( k \right) + B\tilde u\left( k \right)
\end{array}\]其中 $\tilde x(0) = \hat x(k) - x_s$ (此初始條件表示  透過 steady-state $x_s$ 平移估計狀態 $\hat x$ 而得。)；且所求得的 regulator 將會求解以下的 regulation problem
 \[\begin{array}{l}
\mathop {\min }\limits_{{\bf{\tilde u}}} V\left( {\tilde x\left( 0 \right),{\bf{\tilde u}}} \right)\\
s.t.\\
E\tilde u \le e - E{u_s}\\
FC\tilde x \le f - FC{x_s}
\end{array}\]===================
上述 regulation problem 的 optimal cost 為 $V^*(\tilde x(0))$ 且對應的控制力為 $\tilde {u}^0 (\tilde{x}(0))$

ref: J. B. Rawlings and D. Q. Mayne, "Model Predictive Control: Theory and Design"