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目前顯示的是 三月, 2015的文章

[系統理論] Picard Iteration

考慮狀態空間
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = f\left( {t,{\bf{x}}\left( t \right)} \right),{\bf{x}}\left( 0 \right) = {{\bf{x}}^0}\]則 Picard Iteration 給定
1. Initial guess
\[
x(t) = x^0
\]2.. Update Step
\[{{\bf{x}}^{k + 1}}\left( t \right) = {{\bf{x}}^0} + \int_0^t {f\left( {\tau ,{{\bf{x}}^k}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \]
注意到上述迭代式為 sequence of $\{{\bf x}^k\}$


Example 1:
考慮下列非線性系統
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ \begin{array}{l}
{{\dot x}_1}\\
{{\dot x}_2}
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
\cos {x_1}\\
t{x_1} + {e^{ - t}}{x_2}
\end{array} \right]
\]且 $x_1(0) = 2$ 與 $x_2(0) = -1$。
試透過 Picard iteration 求取 ${\bf x }^1(t)$

Solution:
\[\begin{array}{l}
{{\bf{x}}^{k + 1}}\left( t \right) = {{\bf{x}}^0} + \int_0^t {f\left( {\tau ,{{\bf{x}}^k}\left( \tau  \right)} \right)d\tau } \\
{{\bf{x}}^1}(t) = {{\bf{x}}^0}(t) + \int_0^t {\left[ \begin{array}{l}
\cos {x_1}\left( \tau  \right)\\
\tau {x_1} + {e^{ - \tau }}{x_2}\left( \tau  \right)
\end{array} \right]} d\tau \\
 \Rig…

[推廣] 國小/國中 的線上遊戲學習平台 PaGameO

除了國外的 Khan Academy 與台灣的 均一教育平台,台大電機 葉丙成老師 團隊開發 一個也非常優秀的 線上遊戲學習平台: PaGameO (打Game喔) ;主要內容為透過 線上遊戲問答的方式來提升學生學習的成效與動機。此平台也已有數所國小/中教師開始採用進行輔助教學。在此分享給有興趣的老師們參考/或者上去親自玩一玩

目前該平台國小內容涵蓋 從小一到小六: 注音/國語、數學,英文、社會。另外國中部分涵蓋 國/英/數/自/社 與 歷年國中基測/會考題目。

以下為遊戲畫面截圖


答題介面(以國小自然科為例)


相關連結:
PaGameO Facebook
PaGameO 官方網站 BoniO

[系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (1) - Lyapunov Stability Theory

延續前篇 [系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (0) - 先備概念,我們現在可以開始介紹 Lyapunov Stability Theory。

Definition: Lyapunov Function
一個函數 $V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ 被稱作為 Lyapunov function for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$ 若下列條件成立:
存在函數 $\alpha_1(\cdot), \alpha_2(\cdot),  \alpha_3(\cdot) \in \mathcal{K}_\infty$ 使得對任意 $x \in \mathbb{R}^n$,
$V(x) \ge \alpha_1(|x|_\mathcal{A})$$V(x) \le \alpha_2(|x|_\mathcal{A})$$V(f(x)) - V(x) \le -\alpha_3(|x|_\mathcal{A})$
給定 $\mathcal{A}$ 為 closed positive invariant for $x^+ = f(x)$ 且 $\mathcal{A} \subset X$ 我們說函數  $V(\cdot)$ 為 Lyapunov function in $X$ for system $x^+ = f(x)$ 與 集合 $\mathcal{A}$ 若下列條件成立: 對任意 $x \in X$,$V(\cdot)$ 滿足上述三條不等式。
上述 Lyapunov function 與 globally asymptotically stable 息息相關,事實上此Lyapunov function 的存在性為 globally asymptotically stable 的充分條件。我們將此記做下方結果
=================== Theorem 1: Existence of Lyapunov Function Implies Globally Asymptotically Stability 假設 $V(\cdot)$ 為 Lyapuonv function for $x^+ = f(x)$ 與 $\mathcal{A}$,則 $\mathcal{A}$ 為 glo…

[系統理論] 離散時間系統的穩定度理論 (0) - 先備概念

穩定度理論可追朔至 Aleksandr Lyapunov在 1892 出版的 The General Problem of Stability of Motion 提出,主要是透過建構 Lyapunov 函數 來判別動態系統是否穩定。以下討論我們將以 離散時間 非線性動態系統為主。

現在考慮以下 離散時間 非線性動態系統
\[
x^+ = f(x,u)
\]其中 $x \in \mathbb{R}^n$ 為當前系統狀態 且  $u \in \mathbb{R}^m$ 為當前的控制力;$x^+$ 為下個時刻的系統狀態。且假設 $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ 為連續函數。

定義 $\phi(k; x, {\bf u}) $為在時刻 $k$,對於動態系統 $x^+ = f(x,u)$ 的解 (初始值為 $x(0)=x$ ; 控制力序列 $\bf u$ $:=\{u(0), u(1), ...\}$)

若 控制律 $u := \kappa (x)$ 決定,則系統閉迴路可表為
\[
x^+ = f(x,\kappa(x)):=f_c(x)
\]注意到 $\kappa(\cdot)$ 不一定為連續函數,此時對應的 $f(x, \kappa(\cdot))$ 亦不一定為連續。對此不連續的情況我們額外假設 $f_c(\cdot)$ 為 局部有界(locally bounded)。

目標:我們希望 控制系統 要"穩定"。

在此所謂的穩定 意指 控制系統對於 初始狀態 的小擾動 不會 導致 閉迴路系統響應 大幅度擾動 且 系統狀態能夠收斂到指定的狀態 或者 收斂到指定的 狀態集合 (此情況多半發生在有外部干擾的時候)。


以下我們會針對定義 系統的 穩定度 與 漸進穩定度;在介紹之前我們需要先定義一些名詞:首先是 如何指出系統狀態的收斂

============
Definition: Equilibrium Point or Steady-State
狀態 $x^*$ 被稱作 $x^+ = f(x)$ 的 平衡點(equilibrium point) 若 $$x(0) = x^* \Rightarrow x(k) = \phi(k;x^*) = x^*, \;\; \forall k \ge…