但是若該我們所具有的成本函數本質不凸 (nonconvex) 的時候，是否可找出其他方式來進行分析 ? 以下介紹的 logconcavity 便為其中一種方式
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Definition: Logarithmically Concave Function
函數 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 為 log-concave 若下列條件成立：
1. 對任意 $x \in dom\{f\}$，$f(x) >0$
2. $\log f$ 為 concave。
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Comments:
a. 上述定義亦可用於 convex function 若 條件 2 改為 $\log f$ 為 convex。
b. 一般而言，我們可進一步放寬條件 1. 使其允許 $f =0 $ 且 定義 $\log f(x) = -\infty$ 。我們稱此 $f$ 為 log-concave 若其 擴展值域函數 (extended-value function) $\log f$ 為 concave。
c. log-concave 函數有另外一種等價定義：亦即，給定 $x,y \in \mathbb{R}^n$ 且 $\lambda \in [0,1]$ 下列不等式滿足
\[
f(\lambda x +(1 - \lambda)y ) \ge f(x)^\lambda f(y)^{1-\lambda}
\]
在此不贅述有興趣讀者可參閱 [1]。
由上述 logconcave 與 logconvex 函數的 定義我們可立即得到以下結果：
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FACT:
$f$ 為 log-convex 若且為若 $1/f$ 為 log-concave 。
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Proof:
$(\Rightarrow)$ 假設 $f$ 為 log-convex ，要證明 $1/f$ 為 log-concave。亦即要證明
1. 對任意 $x \in dom\{1/f\}$，$1/f(x) >0$
2. $\log (1/f)$ 為 concave。
對於條件 1.，由於 $f >0$ 故 $1/f >0$。
接著我們證明條件 2. ，首先觀察
\[
\log (1/f) = \log 1 - \log f = - \log f
\]又因為 $f$ 為 log-convex，可由定義可知 $\log f$ 為 convex ，故 $-\log f$ 為 concave。$\square$
讀者可嘗試證明以下 logconcave/logconvex 函數的例子
Example
1. $f(x) = a^T x + b$ 為 log-concave on $\{x: a^Tx+b>0\}$
2. $f(x) = x^a$ on $x >0 , a \ge 0$為 log-concave ；若 $a \le 0$ 則 $f(x) = x^a$ 為 log-convex
3. $f(x) = e^{ax}$ 為 log-convex 與 log-concave
4. 常態分布累計密度函數為 log-concave
\[
\Phi(x) := \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-u^2/2}du
\]
以下我們簡介幾個重要的 logconcave 函數的性質：
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Property 1: 若 $f$ 與 $g$ 為 log-concave，則 $h:=f g$ 為 log-concave。
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Proof:
令 $f$ 與 $g$ 為 log-concave ，我們知道 $f,g >0$。故$h=fg >0$。接著觀察
\[
\log(h) = \log(fg) = \log f + \log g
\] 且 $ \log f , \log g$ 為 concave (因為 $f$ 與 $g$ 為 log-concave)；最後注意到 函數加法運算 可維持 concavity；亦即 $\log f + \log g$ 為 concave；故 $h:=f g$ 為 log-concave。$\square$
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Property 2: (Prekopa's Lemma)
若 $f : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ 為 log-concave，則
\[
g(x) = \int_{\mathbb{R}^m} f(x,y) dy
\]為 log-concave of $x \in \mathbb{R}^n$
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Proof: 證明繁雜，請參閱 [2]。
接著我們介紹一個重要結果：回憶 凸分析中，我們知道 期望值運算可以維持 concavity (or convexity)，故我們想問是否 期望值運算 也能保證維持 log-concavity 呢? 答案是否定的。 以下我們看個例子。
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Property 3: Expectation Does NOT preserve the log-concavity.
期望值運算 不保證維持 log-concavity
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反例：
考慮 $Y$ 為隨機變數 滿足 $P(Y=0)=P(Y=1)=1/2$。現在定義
\[
g(x,Y)=e^{Yx}
\]則 $g(x,Y)$ 為 log concave in $x$ 因為 $\log g(x,Y) = Yx$ 為線性 (in x) 函數。故若我們計算其期望值可得
\[
E[g(x,Y)] = \frac{1 + e^x}{2}
\]故
\[
\log E[g(x,Y)] = \log(1/2) + \log(1 + e^x)
\]此函數不再是 log-concave。(如下圖)
參考文獻
[1] S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge, 2004
[2] A. Prekopa, "On Logarithmic Concave Measures and Functions". Acta Scientiarum (Szeged), vol. 34 pp. 335-343, 1973
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