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Definition: Manifold with Boundary
集合 $M \subset \mathbb{R}^n$ 為 $k$-dimensional manifold of class $C^r$ 若下列條件成立：
對任意點 $p \in M$，存在鄰域 $U_p \subset \mathbb{R}^k$ open 或者 $U_p \subset \mathbb{H}^k$ open in $\mathbb{H}^k$ 且 $V_p \subset M$；與 coordinate patch $\alpha: U_p \to V_p$ 滿足
(1) $\alpha \in C^r$
(2) $\alpha^{-1} \in C^0$
(3) $D \alpha$ 有 rank $k$
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接著我們可以介紹 Manifold 的 Interior Point 與 Boundary point：
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Definition: Interior Point and Boundary Point of a Manifold令 $M \subset \mathbb{R}^n$ 為 $k$-manifold 且 $p \in M$
我們說 $p$ 為 Manifold $M$ 中的 interior point 若下列條件成立：
對上述的 $p$ 而言，存在 coordinate patch $\alpha : U_p \to V_p$ 使得 $U_p$ 為 open in $\mathbb{R}^k$
反之，我們則稱此點 $p$ 為 boundary point。
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Comments:
上述的定義的 interior/boundary point 與 一般的 topology 中定義的 interior/ boundary point 不盡相同! 讀者須小心分辨
以下我們有個更好的判斷法來辨別是否為 interior point 或者 boundary point ：
==========================上述的定義的 interior/boundary point 與 一般的 topology 中定義的 interior/ boundary point 不盡相同! 讀者須小心分辨
以下我們有個更好的判斷法來辨別是否為 interior point 或者 boundary point ：
Lemma: 令 $M$ 為 $k$-manifold in $\mathbb{R}^n$ 且定義 $\alpha: U_p \to V_p$ 為 coordinate patch about $p \in M$
1. 若 $U_p$ 為 open in $\mathbb{R}^k$ 則 $p$ 為 interior point of $M$
2. 若 $U_p$ 為 open in $\mathbb{H}^k$ 且存在 $x_0 \in \mathbb{R}^{k-1} \times (0,\infty)$ 使得 $p = \alpha(x_0)$ 則 $p$ 為 interior point of $M$
3. 若 $U_p$ 為 open in $\mathbb{H}^k$ 且存在 $x_0 \in \mathbb{R}^{k-1} \times \{0\}$ 使得 $p = \alpha(x_0)$ 則 $p$ 為 boundary point of $M$
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Theorem: 令 $M$ 為 $k$-manifold of class $C^r$ 。令 $\partial M$ 為 $M$ 所有的 Boundary point 所形成的集合，若 $\partial M \neq \emptyset $ 則 $\partial M$ 為 $k-1$ manifold (without boundary)。
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Definition: Critical Point, Regular Point, and its Values
令 $f : U \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ 為 $C^1$ mapping 且 令 $D f(x)$ 為 $f$ 的導數，則
1. 我們說 點 $p \in U$ 為 critical point of $f$ 若 $Df(p)$ 不為 full rank。
2. 我們說 $q \in \mathbb{R}^n$ 為 critical value of $f$ 若 存在 $p$ 為 critical point of $f$ 使得 $f(p) = q$。
3. 我們說 $q \in \mathbb{R}^n$ 為 regular value of $f$ 若其並非 critical value
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Comment:
在一維空間時候，可知所謂的 critical point 即為 一階導數為零的點。
Graph 為 manifold。
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FACT 1: Graph of a function is a manifold令 $\beta: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ 為 $C^r$-mapping。則 graph of $\beta$
\[
\{(x, \beta(x)): x \in \mathbb{R}^n\} \subset \mathbb{R}^{n+k}
\] 為 $n$-manifold in $\mathbb{R}^{n+k}$
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FACT 2: 任意 $M \subset \mathbb{R}^m$ 為 $k$-manifold 為一個 Local property：亦即考慮 $M \subset \mathbb{R}^m$ 為子集合， 若 對任意 $p \in M$ 存在 open neighborhood $M'$ of $p$ 使得 $M'$ 為 $k$-manifold，則 $M$ 為 $k$-manifold。
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考慮 $M \subset \mathbb{R}^m$ 為子集合， 且給定任意 $p \in M$，可知 存在一個 open neighborhood $M'$ of $p$ 使得 $M'$ 為 $k$-manifold，
若 $p \in M'$ 為 $k$-manifold 則由 manifold 定義 存在 coordinate patch $\alpha :U \to V$ 其中 $U \subset \mathbb{H}^k$ 或者 $U \subset \mathbb{R}^k$ open 且 $V \subset M'$ open。
由於 $M'$ 為 open 故 $V \subset M$ 必為 open in $M$，因此 $\alpha$ 為 coordinate patch about $p$ into $M$ 且滿足所有 coordinate patch 所需的性質。故 $M$ 為 $k$-manifold；且 $k$-manifold 為一個 Local property。$\square$
上述兩個 FACT 可推得下面的重要結果：
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Theorem: Regular Value Theorem若 $f: U \subset \mathbb{R}^{n+k} \to \mathbb{R}^n$ 為 $C^r$-mapping 且 點 $p \in \mathbb{R}^n$ 為 regular value，則 對此點 $p$ 的 inverse image $f^{-1}(p)$ 為 $k$-manifold。
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comments:
注意到上述定理中 $p$ 為 regular value 故只為單值，不可放置多值 e.g., $f^{-1}[0,1]$。
現在我們給出上述 Regular Value Theorem 的證明：
Proof of Regular Value Theorem by using Rank Theorem
我們要證明其 inverse image $f^{-1}(p)$ 為 $k$-manifold。亦即給定 對任意 $p \in f^{-1}(p)$，要證 存在兩 open 鄰域 $U_p \subset \mathbb{R}^{k}, V_p \subset \mathbb{R}^n$ 且 有 coordinate patch $\alpha: U_p \to V_p$ 滿足三個條件。
由假設可知 $f: U \subset \mathbb{R}^{n+k} \to \mathbb{R}^n$ 為 $C^r$-mapping 且 點 $p \in \mathbb{R}^n$ 為 regular value， 故可知 $Df$ 具有 常數 rank $n$ 對任意 $q \in f^{-1}(p)$
現在回憶 Rank theorem：若 $f: U \subset \mathbb{R}^{n+k}$ 且導數 $Df(x)$ 具有 常數 rank 值，則：對點 $p_1 \in U$ 存在 $U_1, V_1 \subset \mathbb{R}^{n+k}$ 且有函數 $H: V_1 \to U_1$為 1-1 & onto 使得 對任意 $x \in V_1$,
\[
(f \circ H)(x) = f'(p_1) x + \varphi(f'(p_1))
\]且有 projection $P: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}(f(p_1))$ satisfying $P(\varphi(f(p_1)))x = 0$
令 $p \in \mathbb{R}^n$為 regular value, 我們考慮 $x$ 使得
\[
(f \circ H)(x) =p
\]但 $\{x \in V_1: (f \circ H)(x) =p\} = \{x \in V_1: f'(q)x = Pp\}:=L $ 其中 $f(q) = p$
注意到 $H^{-1}(q) \in L$，故 若$x_0 \in L, $ 則
\[
f'(q)x_0 = Pp
\]因此
\[
f'(q) (x_0 - H^{-1}(q)) = f'(q)x_0 - f'(q) H^{-1}(q) = Pp - Pp= 0
\]故 $x_0 = H^{-1}(q) + y$ 其中$y \in \mathcal{N}(f'(q))$. 現在觀察 $\mathcal{N}(f'(q))$ is a vector space with dimension $n+k-n = k$. (因為 range space 為 dimension $k$ )
令 $Q$ 為 composition of translation by $H^{-1}(q)$ and the linear map taking $\mathcal{N}(f'(q)) \to \mathbb{R}^k$
定義 $U_p := Q(L)$ 與 coordinate patch $\alpha := H \circ Q^{-1}: U_0 \to V_1$ 即為 所需的 coordinate patch. $\square$
看個例子：
Example
考慮 $S:=\{(x,y): x^2 + y^2 = r^2\}$ 若我們選 $f(x,y) := x^2 + y^2$ 則 $f: \mathbb{R}^{1+1} \to \mathbb{R}^1$ 且為 $C^2$ mapping。 故現在我們檢驗何時會是 regular value，利用 critical value 的定義：檢驗其一階導數
\[Df\left( x \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x}\\
{2y}
\end{array}} \right]\]故可發現若 $(x,y) = (0,0)$ 時 其 一階導數無法維持 full rank。故除了 $(0,0)$ 以外的點皆為 regular point，其餘任意一點 $(x,y)$ 所對應的值 ( regular value ) 我們記做 $r$ 。由上述 Regular Value Theorem 可知 其 inverse image $f^{-1}(\{r\})$ 為 1-manifold。
注意到
\[{f^{ - 1}}(\{ 1\} ): = \{ (x,y):{x^2} + {y^2} = 1\} = {S^1} = \{ (x,y):{x^2} + {y^2} = 1\} \]
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