Manifold 一般譯為 "流形" ，本質上是作為 $\mathbb{R}^n$ 空間中 曲線 or 曲面 的進一步推廣。故我們可將 Manifold 視為 $\mathbb{R}^n$ 空間中的子集，這樣一來，整個 $\mathbb{R}^n$ 之上定義的概念 (極限、微分、積分) 都可以在 manifold上面做處理。
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Definition: k-dimensional manifold of class $C^r$ without Boundary
一個子集合 $M \subset \mathbb{R}^n$ 為 k-dimensional manifold of class $C^r$ without Boundary 若下列條件成立：對任意 $p \in M$ 存在兩個 open sets： $U_p \subset \mathbb{R}^k$ 與 $V_p \subset M$ ($V_p$ open in $M$) 且 存在 連續 bijection 函數 $\alpha:U_p \to V_p$ 滿足
(i) $\alpha \in C^1$
(ii) $\alpha^{-1}$ 為 連續
(iii) $D \alpha$ 具備 rank $k$
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Comment:
$\alpha: U_p \to V_p$ 一般稱為 coordinate patch。
以下我們看幾個例子：
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Example 1: 1-manifold example
考慮 $M:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 1 \}$，試問此集合是否為 1-dimensional manifold of class $C^1$?
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要證明上述集合為 manifold 我們需要證明：
對任意 $p \in M$ 存在兩個 open sets $U_p \subset \mathbb{R}^k$ 與 $V_p \subset M$ open in $M$ 且 存在 一連續 bijection 函數 $\alpha:U_p \to V_p$ 且
(i) $\alpha \in C^1$
(ii) $\alpha^{-1}$ 為 連續
(iii) $D \alpha$ 具備 rank $k$
注意到 $S$ 為 $\mathbb{R}^2$ 中的圓，故我們可以利用 參數表示法 將其用單變數表示：
現在給定 $p \in M \setminus (0,-1)$ ，考慮 $\alpha: (-\pi, \pi) \to V \subset M$，且滿足 $\alpha(x) := (\cos(x), \sin(x))$ 則可得
\[
\alpha(-\pi, \pi) \to M \setminus (0,-1)
\]現在我們宣稱此 參數表示 $\alpha$ 為 coordinate patch：故逐步檢驗三個性質：
(1) 注意到 $\alpha(x) := (\cos(x), \sin(x))$ ，由於 $(cos(x), sin(x)) $ 微分後仍為連續函數故滿足 $C^1$。
(2) 其反函數 $\alpha^{-1}(x,y)$
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Example 2: 1-manifold example
考慮 $M:=\mathbb{R}$，試問此集合是否為 1-dimensional manifold of class $C^1$?
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Proof:
令 $p \in M$，我們要證明存在兩個 open sets： $U_p \subset \mathbb{R}^1$ 與 $V_p \subset M$ ($V_p$ open in $M$) 且 存在 連續 bijection 函數 $\alpha:U_p \to V_p$ 滿足
(i) $\alpha \in C^1$
(ii) $\alpha^{-1}$ 為 連續
(iii) $D \alpha$ 具備 rank $1$
故令 $U_p := \mathbb{R}$ 且取 coordinate patch $\alpha:U_p \to V_p:=\alpha(U_p)$ 滿足 $\alpha(x) = x$ ，接著我們逐步檢驗 $\alpha$ 所需的條件如下
(i) $\alpha (x) = x$ 為 $C^1$ (因為 $x$ 為 $C^1$ 函數)，
(ii) 檢驗 $\alpha^{-1}$ 為 連續，故檢驗 $\alpha^{-1}$ 是否存在 (亦即 檢驗是否為 one-to-one：) 觀察
\[
\alpha(x) = \alpha(y) \Rightarrow x = y
\]故 $\alpha$ 為 one-to-one 且 onto (因為 $V_p := \alpha(U_p)$；故可推知 $\alpha^{-1}$ 存在，且 $\alpha^{-1}(x) = x$ 亦為 連續函數 (因為 $x$ 為連續函數)。
(iii) 檢驗 $D \alpha$ 具備 rank $1$，觀察 $D \alpha = 1 \neq 0$ (full rank) 故 $M:=\mathbb{R}$ 為 1-dimensional manifold of class $C^1$?
Exercise:
同上例，試證 $M:=[0,1]$ 為 1-manifold；
同上例，試證 $M:=\mathbb{R}^n$ 為 n-manifold；
Example: NOT a 2-manifolds
令 $M:= \mathbb{R}^3$ 試問 $M$ 是否為 2-manifolds?
Proof:
令 $p:=(p_1,p_2,p_3) \in M$，選 $U_p:=\mathbb{R}^2$，$V_p:=\alpha(\mathbb{R}^2)$ 且 $\alpha: \mathbb{R}^2 \to \alpha(\mathbb{R}^2)$ 滿足
\[\begin{array}{l}
\alpha (x,y): = p + (x,y,0)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = ({p_1},{p_2},{p_3}) + (x,y,0) = ({p_1} + x,{p_2} + y,{p_3})
\end{array}\]但注意到 $V_p:=\alpha(\mathbb{R}^2)$ 照上面的定法只能映射出平面! NEVER open in $\mathbb{R}^3$
Example
令 $\alpha: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ 且 $\alpha(x) := (x,x^2)$ 且 $M:=\alpha(\mathbb{R})$ 。試證明 $M$ 為 1-manifold 且 $M$ 僅被一個 coordinate patch 蓋住。
Proof:
要證 $M:=\alpha(\mathbb{R})$ 為 1-manifold。 令 $p \in M$ 且 取 鄰域 $U_p:=\mathbb{R}$ 為 open，定義 coordinate patch $\alpha: U_p \to V_p:=\alpha(\mathbb{R}) = M$ 滿足 $\alpha(x) = (x,x^2)$。
接著我們逐步檢驗 $\alpha$ 滿足三項條件：
(i) $\alpha$ 為 $C^1$ (因為 $x,x^2$ 皆為 $C^1$)，
(故此 $V_p:=\alpha(\mathbb{R}) \subset M$ $V_p := \alpha(\mathbb{R})$ 為 open 。)
(ii) 若 $\alpha(x) = \alpha(y) \Rightarrow (x-y,x^2-y^2)=(0,0)$，此暗示了 $x=y$ 。故可推知 $\alpha$ 為 one-to-one 因此 $\alpha^{-1}:V_p \to U_p$ 存在 且 $x = \alpha^{-1}(x,y)$ 為連續函數；
(iii) 最後我們檢驗 $D \alpha = [1, \; 2x]^T$ 為 full rank (對任意 $x$ 而言)。
總結以上 $M= \alpha(\mathbb{R})$ 為 1-manifold 且此表明 $\alpha(\mathbb{R}) \supset M$ 亦即 $M$僅被 一個 coordinate patch 蓋住 $\square$
現在我們可介紹 有邊界的 Manifold。
令 $\mathbb{H}^k := \mathbb{R}^{k-1} \times [0, \infty)$ 為 upper-half plane。現在我們可以定義有邊界的 Manifold：
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Definition: Manifold with Boundary
我們稱 集合 $M \subset \mathbb{R}^n$ 為 $k$-dimensional manifold of class $C^r$ (with boundary) 若下列條件成立：對任意點 $p \in M$，存在鄰域 $U_p \subset \mathbb{R}^k$ open 或者 $U_p \subset \mathbb{H}^k$ open in $\mathbb{H}^k$ 且 $V_p \subset M$ open，且有 coordinate patch $\alpha: U_p \to V_p$ 滿足
(1) $\alpha \in C^r$
(2) $\alpha^{-1} \in C^0$
(3) $D \alpha$ 有 rank $k$
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上述的定義有些基本問題需要解決：
- 何謂 $C^r$ 函數?
- 任意集合上的 $C^r$ 函數該如何界定?
- $D \alpha$ on $\mathbb{H}^k$ 該如何界定?
ANS1: $\alpha$ 為 $C^r$ in $U \subset \mathbb{R}^k$ 若 任意 $r$ 階 偏導數 存在且連續。
ANS2: 我們引入 extension function：
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Definition: $C^r$-Extension
令 $f : S \subset \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ ，我們稱 $g$ 為 $f$ 的 extension 若下列條件成立： 存在 $U \supset S $ open set 與 $g: U \to \mathbb{R}^n$ 使得 對任意 $x \in S$， $g(x) = f(x)$ 且 $g$ 為 $C^r$ on $U$。
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若 extension 函數 $g$ 為 $C^r$ 則原函數 $f$ 必為 $C^r$
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FACT:令 $f : S \subset \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ 若存在 extension $g$ of $f$ ，則 $f \in C^r$ on $S$。====================
事實上 class $C^r$ 是一個 local property! 亦即我們可以透過 extension function $g$ 來說函數 $f$ 在某點的鄰域附近仍為 $C^r$ 函數。
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令 $f: S \subset \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ 若 對任意 $x \in S$ 存在鄰域 $U_x$ 使得 $x \in U_x$ 且 $g_x: U_x \to \mathbb{R}^n$ 為 $C^r$-extension of $f$ on $U_x \cap S$ 則 $f$ 亦為 $C^r $ on S。
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現在我們可以回答 問題3： $D \alpha$ 在 $\mathbb{H}^k$ 如何界定? 我們可以 extend $\alpha$ 到 $\mathbb{R}^k$ 但此 extension 是否會影響 $D \alpha$? 以下我們將證明上述 manifold 定義中，$D \alpha $ 與 我們引入的 $C^r$-extension 無關。
現在考慮 coordinate patch: $\alpha: U \subset \mathbb{H}^k \to \mathbb{R}^n$ 且令 $\beta$ 為其 $C^r$-extension of $\alpha$，現在注意到由於 $\beta$ 為 $C^r$ 故一階導數存在 (且 $h \uparrow 0$ 或者 $h \downarrow 0$ 都成立)，故我們可只寫導數的單邊極限：
\[{D_j}\beta \left( x \right): = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\beta \left( {x + h{e_j}} \right) - \beta \left( x \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \searrow 0} \frac{{\beta \left( {x + h{e_j}} \right) - \beta \left( x \right)}}{h}\]注意到 $x \in U \subset \mathbb{H}^k$ 則其附近 $x + h e_j \in U$ 故
\[\begin{array}{l}
{D_j}\beta \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \searrow 0} \frac{{\beta \left( {x + h{e_j}} \right) - \beta \left( x \right)}}{h}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{h \searrow 0} \frac{{\alpha \left( {x + h{e_j}} \right) - \alpha \left( x \right)}}{h} = {D_j}\alpha \left( x \right)
\end{array}\]因此 $D_j \alpha$ 與 extension 無關，且 $D \alpha$ 在 $U \subset \mathbb{H}^{k}$ 定義亦可被接受。
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