[測度論] 淺論 Ring 與 Algebra 及其性質 (0)

令 $X$ 為一集合，且 $\mathcal{P}(X)$ 表示為 $X$ 的 Power Set。

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Definition: 我們稱 $R \subset \mathcal{P}(X)$ 為一個 ring 若下列條件成立
1. $\emptyset \in R$
2. 若 $A,B \in R$ 則 $A\setminus B \in R$
3. 若 $A, B \in R$ 則 $A \cup B \in R$
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以下我們看幾個 Ring 的性質：

令 $R$ 為一個 ring
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Property 1: 若 $A_1,...,A_n \in R$ 則 $\cup_{i=1}^n A_i \in R$
Proof:
由 $R$ 定義 (3) 可知 若 $A_1, A_2 \in R \Rightarrow A_1 \cup A_2 \in R$ ，故透過數學歸納法，假定 $A_1,...,A_n \in R \Rightarrow \cup_{i=1}^n A_i \in R$ 我們要證明
\[
A_1,...,A_n, A_{n+1} \in R \Rightarrow \cup_{i=1}^{n+1} A_i \in R
\]故 令 $B := \cup_{i=1}^n A_i $ 則
\[
\cup_{i=1}^{n+1} A_i  = B\cup A_{n+1}
\]由於 $A_{n+1} \in R$ ，利用 $R$ 的定義 (3) 可知 $B \cup A_{n+1} \in R$ 故得證。 $\square$

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Property 2: 若 $A, B \in R $ 則 $A \cap B \in R$
Proof:
注意到 $A \cap B = A \setminus (A\setminus B)$ ，又因為 $A \in R$ 且 $A\setminus B \in R$  故利用 $R$ 的定義 (2) 可知
\[
A \setminus (A\setminus B) \in R \;\;\;\; \square
\]

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Property 3: 若 $A_1,...,A_n \in R$ 則 $\cap_{i=1}^n A_i \in R$
Proof:
此證明雷同於 Property 1，
首先回顧 Property 2 ，我們知道 $A_1, A_2 \in R \Rightarrow A_1 \cap A_2 \in R$ 故透過數學歸納法，假定 $A_1,...,A_n \in R \Rightarrow \cap_{i=1}^n A_i \in R$ 我們要證明
\[
A_1,...,A_n, A_{n+1} \in R \Rightarrow \cap_{i=1}^{n+1} A_i \in R
\]故 令 $B := \cap_{i=1}^n A_i $ 則
\[
\cap_{i=1}^{n+1} A_i  = B\cap A_{n+1}
\]由於 $A_{n+1} \in R$ ，利用  Property (2) 可知 $B \cap A_{n+1} \in R$ 故得證。 $\square$

Property 4: $\mathcal{P}(X)$ 為 Ring


有了 Ring 的概念，我們便可以接著引入 algebra 的概念，以下給出定義：

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Definition: 我們稱 $R \subset \mathcal{P}(X)$ 為一個 algebra 若下列條件成立
1. $\emptyset \in R$
2. 若 $A,B \in R$ 則 $A\setminus B \in R$
3. 若 $A, B \in R$ 則 $A \cup B \in R$
4.  $X \in R$
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Comments: 
1. 讀者可發現 algebra 僅僅比 Ring 多了第四個條件 $X \in R$。

2. 在抽象代數中所定義的 Ring 與這邊介紹的 Ring 可以互通有無，考慮向量空間 $(R, \oplus, \odot)$ ，若任取兩集合 $A,B \in R$ 我們定義其上的 加法  為  $A \oplus B := A \Delta B := (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ 且其上的 乘法 定為 $A \odot B := A \cap B$ 則可看出其滿足 抽象代數中所要求的 Ring 的加法與乘法的封閉性，亦即 $A \oplus B \in R$ 且 $A \odot B \in R$。有興趣的讀者可驗證剩餘的性質。

3. 前述對於 Ring 與 Algebra 是用來做之後推廣到 $\sigma$-Ring 與 $\sigma$-Algebra 的準備。我們介紹如下。


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Definition: 我們稱 $R \subset \mathcal{P}(X)$ 為一個 $\sigma$-ring 若下列條件成立
1. $\emptyset \in R$
2. 若 $A,B \in R$ 則 $A\setminus B \in R$
3. 若 $A_1, A_2,... \in R$ 則 $\cup_{n=1}^\infty A_n \in R$
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Definition: 我們稱 $R \subset \mathcal{P}(X)$ 為一個 $\sigma$-algebra 若下列條件成立
1. $\emptyset \in R$
2. 若 $A,B \in R$ 則 $A\setminus B \in R$
3. 若 $A_1, A_2,... \in R$ 則 $\cup_{n=1}^\infty A_n \in R$
4.  $X \in R$
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Comment: 
1. 前述兩個定義所稱的 $\sigma$ 表達 可數多個 "countably many"
2. $\sigma$-algebra/ring 有多個等價定義，我們之後會再行介紹。
3. $\sigma$-algebra 必定為 $\sigma$-ring
4. 機率論中，$\sigma-$algebra 表示所有 事件 所形成的集合


接著我們考慮以下情況：通常我們不一定能得到 $\sigma$-algebra 或者 $\sigma$-ring 而是只有 $X$ 中的某些子集合 比如說 $D \subset P(X)$，那我們該如何得到  $\sigma$-algebra 或者 $\sigma$-ring?

令 $D \subset \mathcal{P}(X)$
Definition:  我們稱 Ring generated by $D$ 為如下定義 $\mathcal{R}(D) := \{\text{ intersection of all rings in $\mathcal{P}(X)$ which contains $D$}\}$

上述透過子集合產生的 Ring 可推廣到產生  $\sigma$-algebra 或者 $\sigma$-ring 。