[線性代數] 應用行列式計算三角形面積

考慮 $\mathbb{R}^2$空間 中的 頂點分別為 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 與 $(x_3,y_3)$ 的三角形 如下圖所示

則我們可以計算此三角形 $P_1P_2P_3$ 面積為

三角形$P_1P_2P_3$ 面積 = 梯形$AP_1P_2B$ 的面積  + 梯形 $BP_2P_3C$ 的面積 - 梯形 $A P_1 P_3 C$的面積

現在回憶 國/高中數學，梯形面積 $=$(上底 $+$ 下底) $\times$ 高 $/$ 2，故我們有
$$\begin{array}{l} Area\left( {{P_1}{P_2}{P_3}} \right) = Area\left( {A{P_1}{P_2}B} \right) + Area\left( {B{P_2}{P_3}C} \right) - Area\left( {A{P_1}{P_3}C} \right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{2}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{y_3} + {y_2}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{y_3} + {y_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{2}\left( {{x_1}{y_3} - {x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} - {x_2}{y_3} + {x_3}{y_2} - {x_3}{y_1}} \right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} =  - \frac{1}{2}\left( {\left( {{x_2}{y_3} - {x_3}{y_2}} \right) - \left( {{x_1}{y_3} - {x_3}{y_1}} \right) + \left( {{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)} \right) \end{array}$$ 但上述結果事實上剛好為 對下列矩陣的行列式 (讀者可自行驗證)
  $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right]$$
注意到由於行列式有正負之分，故若我們在計算面積時，需加上絕對值保證其恆為正數，故對於 $\mathbb{R}^2$ 空間三角形 $\Delta$ 面積可透過下式計算：
$$Area\left( \Delta  \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right]} \right)} \right|$$

Example 1:
試計算下圖中的三角形面積

Solution:
利用前述結果可得
$$\begin{array}{l} Area\left( \Delta  \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right]} \right)} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&6&1\\ { - 1}&4&1\\ 3&1&1 \end{array}} \right]} \right)} \right| = \frac{{17}}{2} \end{array}$$

Example 2:
試計算下圖四邊形面積

Solution
注意到圖中四邊形面積可視為兩個三角形面積之和，故
$$\begin{array}{l} Area = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&6&1\\ { - 1}&4&1\\ 3&1&1 \end{array}} \right]} \right)} \right| + \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&6&1\\ 6&3&1\\ 3&1&1 \end{array}} \right]} \right)} \right|\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array} = \frac{{17}}{2} + \frac{{17}}{2} = 17 \end{array}$$