[線性代數] 伴隨矩陣 $adj(A)$ 的一些性質

給定 $n \times n$ 的非奇異方陣 $A$，則下列性質成立
Claim: $adj A$ 為非奇異矩陣
Proof: 由於 $A$ 為 nonsingular，我們有
\[
A^{-1} = \frac{1}{detA} adj (A) \]
注意到等號左方 $A^{-1}$ 亦為 nonsingular (why? 由 $A$ 為 nonsingular 的定義出發，我們可知$A A^{-1} = I$ 等價說明 $A^{-1}$ 為 nonsingular)，且由於 $det A$ 僅為常數，故 $adj A$ 必定為 nonsingular。 $\square$

Claim: $\det (adj A) = (\det A)^{n-1}$
Proof: 由 $A^{-1}$ 可知
\[\begin{array}{l}
{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow \left( {\det A} \right)\left( {{A^{ - 1}}} \right) = adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow \det \left( {\left( {\det A} \right)\left( {{A^{ - 1}}} \right)} \right) = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^n}\det \left( {{A^{ - 1}}} \right) = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^n}\frac{1}{{\det A}} = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^{n - 1}} = \det \left( {adj\left( A \right)} \right)
\end{array}\]


Claim: $(adj A)^{-1} = adj (A^{-1}) = \frac{1}{det A} A$
首先注意到
\[\begin{array}{l}
{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow \left( {\det A} \right)I = adj\left( A \right)A
\end{array}\]由 Claim 1 可知 $adj A$ 為 nonsingular 故 $(adj (A))^{-1}$ 存在，亦即我們可改寫上式如下
\[\begin{array}{l}
{\left( {adj\left( A \right)} \right)^{ - 1}}\left( {\det A} \right)I = {\left( {adj\left( A \right)} \right)^{ - 1}}adj\left( A \right)A\\
 \Rightarrow \left( {\det A} \right){\left( {adj\left( A \right)} \right)^{ - 1}} = A\\
 \Rightarrow {\left( {adj\left( A \right)} \right)^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}A
\end{array}\]

接著我們證明 $adj (A^{-1}) = \frac{1}{det A} A$
我們觀察
\[\begin{array}{l}
{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\det A}}adj\left( A \right)\\
 \Rightarrow A = \frac{1}{{\det \left( {{A^{ - 1}}} \right)}}adj\left( {{A^{ - 1}}} \right)\\
 \Rightarrow A = \left( {\det A} \right)adj\left( {{A^{ - 1}}} \right)\\
 \Rightarrow \frac{1}{{\det A}}A = adj\left( {{A^{ - 1}}} \right)
\end{array}\]
故綜合以上所述，我們可得 $(adj A)^{-1} = adj (A^{-1}) = \frac{1}{det A} A$ $\square$

[線性代數] 應用行列式計算三角形面積

考慮 $\mathbb{R}^2$空間 中的 頂點分別為 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 與 $(x_3,y_3)$ 的三角形 如下圖所示

則我們可以計算此三角形 $P_1P_2P_3$ 面積為

三角形$P_1P_2P_3$ 面積 = 梯形$AP_1P_2B$ 的面積  + 梯形 $BP_2P_3C$ 的面積 - 梯形 $A P_1 P_3 C$的面積

現在回憶 國/高中數學，梯形面積 $=$(上底 $+$ 下底) $\times$ 高 $/$ 2，故我們有
\[\begin{array}{l}
Area\left( {{P_1}{P_2}{P_3}} \right) = Area\left( {A{P_1}{P_2}B} \right) + Area\left( {B{P_2}{P_3}C} \right) - Area\left( {A{P_1}{P_3}C} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{y_3} + {y_2}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{y_3} + {y_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}\left( {{x_1}{y_3} - {x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} - {x_2}{y_3} + {x_3}{y_2} - {x_3}{y_1}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} =  - \frac{1}{2}\left( {\left( {{x_2}{y_3} - {x_3}{y_2}} \right) - \left( {{x_1}{y_3} - {x_3}{y_1}} \right) + \left( {{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)} \right)
\end{array}\]但上述結果事實上剛好為 對下列矩陣的行列式 (讀者可自行驗證)
 \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}&{{y_1}}&1\\
{{x_2}}&{{y_2}}&1\\
{{x_3}}&{{y_3}}&1
\end{array}} \right]\]
注意到由於行列式有正負之分，故若我們在計算面積時，需加上絕對值保證其恆為正數，故對於 $\mathbb{R}^2$ 空間三角形 $\Delta$ 面積可透過下式計算：
\[Area\left( \Delta  \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}&{{y_1}}&1\\
{{x_2}}&{{y_2}}&1\\
{{x_3}}&{{y_3}}&1
\end{array}} \right]} \right)} \right|\]

Example 1:
試計算下圖中的三角形面積

Solution:
利用前述結果可得
\[\begin{array}{l}
Area\left( \Delta  \right) = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}&{{y_1}}&1\\
{{x_2}}&{{y_2}}&1\\
{{x_3}}&{{y_3}}&1
\end{array}} \right]} \right)} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&6&1\\
{ - 1}&4&1\\
3&1&1
\end{array}} \right]} \right)} \right| = \frac{{17}}{2}
\end{array}\]

Example 2:
試計算下圖四邊形面積

Solution
注意到圖中四邊形面積可視為兩個三角形面積之和，故
\[\begin{array}{l}
Area = \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&6&1\\
{ - 1}&4&1\\
3&1&1
\end{array}} \right]} \right)} \right| + \frac{1}{2}\left| {\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&6&1\\
6&3&1\\
3&1&1
\end{array}} \right]} \right)} \right|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{17}}{2} + \frac{{17}}{2} = 17
\end{array}\]